$E = \frac{J_{z}*\omega^{2}}{2}$ - energia kinetyczna ciała sztywnego

poruszającego się ruchem obrotowym wokół osi Oz

Jz – moment bezwładności ciała względem osi Oz,

ω– prędkość kątowa ciała sztywnego poruszającego

się ruchem obrotowym wokół osi Oz.

87.Energia kinetyczna ciała w ruchu ogólnym

$$\mathbf{E}\mathbf{=}\frac{\mathbf{m}\mathbf{*}\mathbf{V}_{\mathbf{S}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{J}_{\mathbf{L}}\mathbf{*}\mathbf{\omega}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$$

v_s - prędkość środka masymoment bezwładności

J_z - moment bezwładności ciała względem osi chwilowego obrotu, przechodzącej przez środek masy,

ω- chwilowa prędkość kątowa wokół osi chwilowego obrotu

88.Pracą siły stałej na prostoliniowym przesunięciu punktu przyłożenia tej siły nazywa się iloczyn bezwzględnej wartości przesunięcia i miary rzutu siły na kierunek przesunięcia.

Praca jest iloczynem skalarnym wektora siły i wektora przesunięcia.

W układzie współrzędnych prostokątnych:

$$\overrightarrow{P} = \left\lbrack P_{x},P_{y},P_{z} \right\rbrack\text{\ \ \ \ }\overrightarrow{S} = \left\lbrack S_{x}S_{y}S_{z} \right\rbrack\text{\ \ }$$

$$L = \overrightarrow{P}*\overrightarrow{s} = P_{x}s_{x} + P_{y}s_{y} + P_{z}s_{z}$$

Praca wypadkowej sił przyłożonych do jednego punktu jest równa sumie prac poszczególnych sił:

$$L = \overrightarrow{P}*\overrightarrow{s} = \left( \sum_{i = 1}^{n}{\overrightarrow{P}}_{i} \right)*\overrightarrow{s} = {\overrightarrow{P}}_{1}*\overrightarrow{s} + {\overrightarrow{P}}_{2}*\overrightarrow{s} + \ldots + {\overrightarrow{P}}_{n}*\overrightarrow{s}$$

Jeśli punkt przyłożenia siły opisuje odcinek toru krzywoliniowego, to:

$$L = \int_{A_{1}A_{2}}^{}\overrightarrow{P}*d\overrightarrow{r} = \int_{A_{1}A_{2}}^{}\left( P_{x}\text{dx} + P_{y}\text{dy} + P_{z}\text{dz} \right)$$

Składowe Px, Py, Pz mogą zależeć od czasu i każdej ze współrzędnych położenia.

89. Praca w ruchu obrotowym Praca siły w ruchu obrotowym równa jest iloczynowi momentusiły względem osi obrotu i kąta obrotu ciała. L = M₁φ

90. Siły zachowawcze

Praca wykonana nad punktem materialnym przez siły zachowawcze nie zależy od kształtu toru a tylko od położenia

punktu początkowego i końcowego. Praca wykonana przez te siły po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru.

Pole zachowawcze sił – przestrzeń, w której działają siły zachowawcze.

Przykład siły zachowawczej – siła ciężkości.

Przykłady sił niezachowawczych – siła tarcia, siła oporu aerodynamicznego.

Praca wykonana przez siły ciężkości nie zależy od kształtu toru a jedynie od różnicy wysokości nad umownym poziomem

odniesienia.

P_z = −m * g

P_y = P_x = 0

,

L = m * g * h

91. Energia potencjalna punktu materialnego jest to praca, jaką może wykonać nad punktem materialnym siła ciężkości

w jednorodnym polu zachowawczym sił ciężkości

V = mg(z₁−z₂) = mgh

h – różnica poziomów między punktem początkowym a końcowym.

92. Energia mechaniczna punktu materialnego jest sumą jego energii kinetycznej i energii potencjalnej.

Zasada zachowania energii mechanicznej: Podczas ruchu punktu materialnego w zachowawczym polu sił, suma jego energii kinetycznej i potencjalnej, zwana energią mechaniczną, jest wielkością stałą: E + V = const

93. Równoważność pracy i energii kinetycznej: Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy sumie prac, które wykonały w tym czasie wszystkie siły zewnętrzne działające na ten punkt E₂−E₁=L

94. Przykład 1: Punkt materialny o masie m porusza się w polu zachowawczym sił ciężkości. Wyznaczyć prędkość tego punktu na wysokości z, jeśli jego prędkość na wysokości z₀ wynosi v₀.

Odp: $v = \sqrt{v_{0}^{2}} + 2g(z_{0} - z)$

95. Przykład 2: Wahadło matematyczne (punkt materialny zawieszony na nici) wychylono z położenia równowagi o kąt φ = π/2 i puszczono swobodnie. Wyznaczyć prędkość liniową punktu oraz siłę naciągu nici w funkcji kąta φ

Odp: $V = \sqrt{2\text{gl}*\cos}\varphi\text{\ \ \ }S = 3\text{mg}*\text{cosφ}$

96. Przykład 3: Jednorodny krążek o promieniu R i masie m toczy się po poziomej prostej bez poślizgu, z prędkością liniową środka masy równą v0. Obliczyć energię kinetyczną krążka. $E = \frac{3}{4}mv_{0}^{2}$

„Wytrzymałość” materiału – właściwość ciała stałego polegająca na przeciwstawianiu się niszczącemu działaniu sił zewnętrznych. W materiale poddanym działaniu sił zewnętrznych (obciążeń) powstają siły wewnętrzne, będące wynikiem oddziaływania pomiędzy poszczególnymi cząstkami ciała jednorodnego.

97.Wytrzymałość materiałów posługuje się modelem ciała jednorodnego, izotropowego i idealnie sprężystego.

Ciało jednorodne – ciało, w którym materia wypełnia jego objętość w sposób ciągły.

Materiał izotropowy – materiał, którego właściwości są takie same we wszystkich kierunkach.

Odkształcenia sprężyste – odkształcenia, które ustępują po usunięciu obciążeń.

98. Modele nominalne w wytrzymałości materiałów:

- pręt

- wał

- belka

99. Obciążenia i siły wewnętrzne

Dla ujawnienia sił wewnętrznych korzysta się z zasady myślowych przekrojów.

Siły wewnętrzne są wynikiem oddziaływania jednej części ciała oddzielonej myślowym przekrojem na drugą.

100. Siły wewnętrzne w myślowo podzielonym ciele

N - siła normalna (siła osiowa)

T_Y , T_z –siły poprzeczne

M_X - moment skręcający

M_Y , M_Z –momenty zginające

101. Proste przypadki obciążęń

Rozciąganie (ściskanie), gdy działe tylko siła N, siła N skierowana na zewnątrz rozpatrywanego przekroju jest siłą dodatnią powodującą rozciąganie (Znak „+”); siła N skierowana do wewnątrz powoduje ściskanie (znak „-„ )

Ścinanie gdy działa jedna z sił poprzecznych T_Y lub T_Z

Skręcanie gdy działa moment skręcający M_x

Zginanie gdy dziala jeden z momentów zginających, moment M­_Z powoduje zginanie przekroju w płaszczyźnie XY (pionowej) natomiast moment M_Y zginanie w płaszczyźnie XZ (poziomej)

Układy sił równoważne z punktu widzenia statyki mogą się charakteryzować różną wytrzymałością.

Do oceny wytrzymałości danej konstrukcji na zniszczenie wprowadza się pojęcie naprężenia.

Natężeniem w punkcie C nazywa się wektor zdefiniowany zależnością:

$$\overset{\overline{}}{\mathbf{\sigma}}\mathbf{=}\operatorname{}\frac{\mathbf{}\mathbf{N}}{\mathbf{}\mathbf{A}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{dN}}}{\mathbf{\text{dA}}}$$

$$\overset{\overline{}}{\sigma} = \sigma_{x}i + \tau_{\text{xy}}j + \tau_{\text{xz}}k$$

Jednostką naprężenia jest paskal [Pa] 1Pa = 1N/1m²

102. Związki między siłami wewnętrznymi i naprężeniami

N = ∫_Aσ_xdA T_y = ∫_Aτ_xydA T_z = ∫_Aτ_xzdA

M_x = ∫_A(τ_xzy − τ_xyz)dA

M_y = ∫_Aσ_xz dA

M_z = −∫_Aσ_xy dA

103. Przykład4: Określić związki między siłami wewnętrznymi a naprężeniami,

jeśli naprężenia w przekroju prostokątnym rozłożone są jak na rysunku.

Dane: a, b, σ₀.

$$\tau_{\text{xy}} = \tau_{\text{xz}} = 0\ \ \sigma_{x} = \frac{\sigma_{0}}{2}(1 - \frac{2z}{a})$$

N = ∫_Aσ_xdA T_y = ∫_Aτ_xydA T_z = ∫_Aτ_xzdA

M_x = ∫_A(τ_xzy − τ_xyz)dA M_y = ∫_Aσ_xz dA

M_z = −∫_Aσ_xy dA

104. Odkształcenia i przemieszczenia

105. Rodzaje odkształceń:

-liniowe, które są określone jako wektory o początku w pewnym punkcie ciała nieodkształconego i końcu w tym samym punkcie ciała odkształconego

-kątowe, które są określone za pomocą kąta zawartego pomiędzy dowolnie krótkim odcinkiem związanym z rozpatrywanym ciałem przed odkształceniem i po jego odkształceniu.