WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA SPRĘŻYSTOŚCI CIAŁ SPRĘŻYSTYCH

(PYTANIA Z ZESZŁYCH LAT)

1.Prawo Hooke'a

Prawo Hooke’a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Ta prawidłowość, sformułowana przez Roberta Hooke’a (1635-1703) w formie ut tensio sic vis (gdzie naprężenie, tam siła), pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy Hooke’a (zwanej też granicą proporcjonalności), i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke’a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej lepkości.

http://www.fizykon.org/statyka_osr_ciagle/sprezystosc_prawo_hooke.htm

http://www.if.pwr.wroc.pl/lpf/opisy/cw010.pdf

2.Moduł odkształcalności objętościowej

Współczynnik sprężystości objętościowej, moduł Helmholtza, moduł odkształcalności objętościowej – Wielkość uzależniająca odkształcenie objętościowe materiału od naprężenia jakie w nim występuje. Opisuje ona odporność ciała izotropowego na zmianę objętości, gdy jest ono poddane kompresji izometrycznej (jednolitej w każdym kierunku).

Moduł sprężystości objętościowej K formalnie określa wyrażenie:

gdzie:

p to ciśnienie,

V to objętość,

∂p/∂V oznacza pochodną cząstkową ciśnienia względem objętości.

3.Moduł Younga

Moduł Younga (E) – inaczej moduł odkształcalności liniowej albo moduł (współczynnik) sprężystości podłużnej (w układzie jednostek SI) moduł sprężystości przy rozciąganiu lub ściskaniu – wielkość określająca sprężystość materiału. Wyraża ona, charakterystyczną dla danego materiału, zależność względnego odkształcenia liniowego ε materiału od naprężenia σ, jakie w nim występuje w zakresie odkształceń sprężystych.

Jednostką modułu Younga jest paskal, czyli N/m².

Moduł Younga jest hipotetycznym naprężeniem, które wystąpiłoby przy dwukrotnym wydłużeniu próbki materiału, przy założeniu, że jej przekrój nie ulegnie zmianie (założenie to spełnione jest dla hipotetycznego materiału o współczynniku Poissona ).

Wielkość została nazwana na cześć angielskiego fizyka i lekarza Thomasa Younga. W przypadku materiału izotropowego moduł Younga powiązany jest z innymi stałymi materiałowymi:

gdzie:

– moduł Kirchhoffa,

– Liczba Poissona,

– moduł Helmholtza,

i – stałe Lamégo.

4.Co to jest naprężenie

Obciążenie działające na próbkę podzielone przez pole powierzchni tego działania. Jako wielkość używana w większości badań właściwości mechanicznych, naprężenie opiera się na polu powierzchni pierwotnego przekroju poprzecznego bez uwzględnienia zmian pola powierzchni w wyniku przyłożonego obciążenia. Jest czasami nazywane naprężeniem umownym lub obliczeniowym. Naprężenie rzeczywiste jest równe wartości obciążenia podzielonej przez pole powierzchni chwilowego przekroju poprzecznego na jakie działa to obciążenie

5.Obliczyć współczynnik sprężystości sprężyny

Współczynnik sprężystości – stała określająca wielkość odkształcenia w odpowiedzi na siły działające na ciała sprężyste. Współczynnik sprężystości nie jest pojęciem jednoznacznym i jest używany w różnych kontekstach jako:

• stała materiałowa

  • liniowy współczynnik sprężystości (odwrotność modułu Younga)

  • współczynnik sprężystości poprzecznej

  • współczynnik sprężystości objętościowej

• stała określająca cechy danego ciała (sprężyny, drutu)

Jednostka współczynnika zależy od jego rodzaju.

Dla sprężyny lub drutu określa się współczynnik sprężystości wzdłużnej spełniający zależność

,

gdzie

F – siła rozciągająca,

Δx – wydłużenie,

k – współczynnik sprężystości sprężyny (drutu) w N/m.

Podobnie można określić współczynnik sprężystości przy zginaniu. Wówczas Δx oznacza wielkość ugięcia.

Jeżeli ciało, np. drut, jest skręcane przy użyciu momentu sił M, wówczas definiuje się współczynnik sprężystości przy skręcaniu za pomocą wzoru

,

gdzie α jest kątem skręcenia. Jednostką tak określonego k jest N·m/rad

6.Co to jest sprężystość

Zdolność materiału do powrotu do pierwotnego kształtu, kiedy zostanie usunięte obciążenie powodujące deformację.

http://www.fizykon.org/statyka_osr_ciagle/sprezystosc.htm

7.Zadanie: T=3s, A=10cm, ruch harmoniczny, obliczyć wychylenie po 1/4sekundy

Ciało wykonuje drgania harmoniczne o okresie T=3s i amplitudzie A=10cm. W chwili początkowej znajduje się w położeniu równowagi. Jak będzie odległość ciała od położenia równowagi po upływie 1/4 sekundy.

Dane:

T = 3s
A = 10cm
t = 1/4 s

Szukane:

x = ?

Rozwiązanie:

Ponieważ w chwili początkowej (t = 0) ciało znajdowało się w położeniu równowagi, to wartość wychylenia jest równa x = 0. Zakładamy również, że faza początkowa φ jest równa zero.
Z danych wiemy, że mamy tu do czynienia z ruchem harmonicznym o amplitudzie A = 10 cm i okresie T = 3 s.
W ruchu harmonicznym prostym wychylenie definiujemy jako funkcję zależną od czasu:

Skorzystamy teraz z zależności

Odpowiedź: Odległość ciała od położenia równowagi po upływie 1/4 sekundy wyniesie 5 centymetrów.

8. Zadanie : Na sprężynie zawieszono ciężarek o masie m=100g i pobudzono do ruchu drgającego. Oblicz współczynnik sprężystości tej sprężyny (k, wiedząc, że częstotliwość tego ruchu była równa f=2Hz.

Na sprężynie zawieszono ciężarek o masie m=100g i pobudzono do ruchu drgającego. Oblicz współczynnik sprężystości tej sprężyny (k, wiedząc, że częstotliwość tego ruchu była równa f=2Hz.

Zależność między okresem drgań a częstotliwością:

f = 1/T

Okres drgań ciężarka zawieszonego na sprężynie:

T = 2π(m/k)^0,5

Wstawiając wyrażenia na okres drgań do wzoru na częstotliwość, otrzymujemy:

f = [(k/m)^0,5] / 2π

Podnosimy obie strony tego równania do kwadratu i otrzymujemy:

f² = k / (4π²m)

Z ostatniego wzoru wyznaczamy współczynnik sprężystości sprężyny:

k = 4π²mf²

gdzie:

f = 2 Hz - częstotliwość drgań,

m = 100g = 0,1 kg - masa ciężarka

Podstawiając dane do wzoru, otrzymujemy:

k = 4π²∙0,1kg∙(2Hz)² = 15,8 kg∙m/s²∙m = 15,8 N/m

Odpowiedź: Współczynnik sprężystości sprężyny ma wartość 15,8 N/m.

9. Moduł Kirchoffa

Moduł Kirchhoffa (G)( inaczej moduł odkształcalności postaciowej albo moduł sprężystości poprzecznej) - współczynnik uzależniający odkształcenie postaciowe materiału od naprężenia, jakie w nim występuje. Jednostką modułu Kirchhoffa jest paskal. Jest to wielkość określająca sprężystość materiału.

gdzie - naprężenia ścinające, - odkształcenie postaciowe

Moduł Kirchhoffa dla materiałów izotropowych bezpośrednio zależy od modułu Younga i współczynnika Poissona:

gdzie - współczynnik Poissona, - moduł Younga

http://home.agh.edu.pl/~lis/media/upload/attachments/nom-wyklad-8.pdf

http://www.matthewz.republika.pl/wyt24.htm

http://riad.usk.pk.edu.pl/~s-4/lab/lab.pdf

Odkształcenie sprężyste - odkształcenie, które ustępuje po usunięciu siły, która je spowodowała. Siła, która powoduje, że odkształcenie jest sprężystym nosi nazwę siły spreżystości. Odkształcenie sprężyste metali zachodzi poprzez przemieszczanie się atomów na odległości nie większe niż odległości sieciowe, dzięki czemu nie następują zasadnicze zmiany w ułożeniu atomów w sieci. Najczęściej spotykanymi układami takich sił są: rozciąganie, ściskanie, skręcanie. Odkształcenia sprężyste występują w każdej konstrukcji budowlanej, maszynie, urządzeniu, nie występują w ciałach idealnie plastycznych (ich przybliżeniem jest np. glina).

Odkształcenie ciała stałego- Ciało stałe ulega odkształceniu, jeśli skutkiem działania sił przyłożonych z zewnątrz jest zmiana odległości punktów ciała. Odkształcenia mogą być różnych rodzajów. Najprostszymi są: odkształcenia objętościowe, gdy zmieniają się rozmiary ciała bez zmiany jego kształtu i odkształcenie postaciowe, bez zmiany objętości. W wielu przypadkach zachodzi jednocześnie zmiana objętości i postaci. Gdy odkształcenia są bardzo małe, większość ciał wraca do poprzednich rozmiarów i kształtu po usunięciu sił zewnętrznych. Odległości poszczególnych cząstek ciała wracają do poprzednich wartości. Takie odkształcenia nazywa się odkształceniami sprężystymi. Gdy odległości te nie wracają do poprzednich wartości, mówimy o odkształceniu trwałym lub plastycznym.
Do odkształceń sprężystych stosuje się prawo Hooke´a, które mówi: Odkształcenie ciała stałego jest wprost proporcjonalne do wywołującego je naprężenia. Naprężenie mierzy się w jednostkach ciśnienia.

Proste odkształcenia sprężystego materiału — rozciąganie i ściskanie   Pod wpływem sił zewnętrznych elementy konstrukcyjne mogą zmieniać swoje pierwotne kształty. W celu jednoznacznego określenia tych zmian wprowadzono pojęcia odkształcenia liniowego i odkształcenia postaciowego.       W zależności od sposobu działania obciążenia na ciało rozróżniamy następujące podstawowe rodzaje odkształceń: rozciąganie, ściskanie, ścinanie, skręcanie i zginanie. Rozciąganie. Składają się na nie dwie przeciwnie działające siły, powodujące wydłużenie ciała w kierunku linii działania tych sił. Elementy pracujące na rozciąganie nazywamy prętami i cięgnami.                    Ściskanie. Składają się na nie dwie siły o przeciwnych zwrotach, powodujące ściśnięcie (skrócenie) ciała w kierunku linii działania tych sił.                    Ścinanie. Wywołane jest działaniem dwóch sił tworzących parę sił, powodują w ostateczności ścięcie elementu. Na ścinanie pracują przede wszystkim nity, śruby, sworznie i spoiny.                    Skręcanie. Wywołane jest siłami dającymi moment skręcający, pod którego działaniem poszczególne przekroje poprzeczne przedmiotu zostają obrócone względem siebie wokół pewnej osi. Typowym przykładem elementów skręcanych są wały maszyn.                    Zginanie. Wywołane jest działaniem sił prostopadłych do osi belki i leżącymi w płaszczyźnie zawierającej tę oś lub równoległej do niej. Typowe elementy zginane to: belki, osie i wały maszyn.                W praktyce częściej spotykanymi odkształceniami są odkształcenia złożone (jednoczesne zginanie i skręcanie, zginanie ukośne, zginanie z rozciąganiem lub ściskaniem). Odkształcenie – miara deformacji ciała poddanego siłom zewnętrznym. Aby móc mówić o odkształceniu, należy wyróżnić dwa stany ciała: początkowy i końcowy. Na podstawie różnic w położeniach punktów w tych dwóch stanach można wyznaczać liczbowe wartości odkształcenia. Zależność pomiędzy stanem odkształcenia, a naprężenia określa m.in. Prawo Hooke'a. Odkształcenie postaciowe (odkształcenie kątowe)- połowa zmiany kąta prostego, wyznaczonego kierunkami 2 osi układu współrzędnych Podobnie rozważa się zmiany miar kątowych w bezpośrednim otoczeniu punktu. Odkształcenie kątowe γ jest granicą ilorazu różnicy kata pomiędzy dwoma dowolnie wybranymi odcinkami w ciele nieobciążonym i obciążonym, gdy długości tych odcinków zmierzają do zera. Mając dane pole przemieszczeń jak wyżej można zapisać:  ;  ; Odkształcenie objętościowe Chociaż odkształcenia liniowe ε i kątowe γ w pełni definiują stan odkształcenia, możliwe jest wyznaczenie innych charakterystycznych wartości odkształceń. Jednym z nich jest odkształcenie objętościowe, które jest miarą zmiany objętości ciała. Z definicji odkształcenie objętościowe to: gdzie: V^(0) - objętość początkowa, V - objętość końcowa Można udowodnić, że w układzie kartezjańskim: Współczynnik sprężystości objętościowej, moduł Helmholtza, moduł odkształcalności objętościowej – Wielkość uzależniająca odkształcenie objętościowe materiału od naprężenia jakie w nim występuje. Opisuje ona odporność ciała izotropowego na zmianę objętości, gdy jest ono poddane kompresji izometrycznej (jednolitej w każdym kierunku). Moduł sprężystości objętościowej K formalnie określa wyrażenie: gdzie: p to ciśnienie, V to objętość, ∂p/∂V oznacza pochodną cząstkową ciśnienia względem objętości. Ruch harmoniczny - drgania opisane funkcją sinusoidalną (harmoniczną). Jest to najprostszy w opisie matematycznym rodzaj drgań. Ruch harmoniczny jest często spotykanym rodzajem drgań, również wiele rodzajów bardziej złożonych drgań może być opisane jako w przybliżeniu harmoniczne. Każde drganie można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych. Przekształceniem umożliwiającym rozkład ruchu drgającego na drgania harmoniczne jest transformacja Fouriera. Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem okresowym. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi: gdzie - siła, - współczynnik proporcjonalności, - wychylenie z położenia równowagi. Ruch harmoniczny prosty jest ruchem drgającym. Ruch ten odbywa się pod wpływem siły zwróconej zawsze w stronę położenia równowagi i posiadającej wartość wprost proporcjonalną do wychylenia z położenia równowagi. Taką siłą może być przykładowo siła sprężystości sprężyny F = – kx. Definicje podstawowych wielkości opisujących ruch drgający: Amplituda – A [m] Amplituda to największe wychylenie z położenia równowagi. Okres drgań – T [s] Okres drgań to czas, w którym ciało drgające wykona jedno pełne drganie. Częstotliwość drgań – f [Hz] Częstotliwość drgań wyraża liczbę drgań zachodzących w ciągu jednej sekundy. Częstość kołowa – ω [^1/s] ω=2π⋅f Częstość kołowa odpowiada wartości prędkości kątowej w ruchu po okręgu. Faza drgania – α [rad] α=ω⋅t+ϕ, gdzie ϕ to faza początkowa, która wynosi zero gdy obserwacje zaczynamy od położenia równowagi. Faza drgania, to faza ruchu określona przez kąt α. Podstawowe równania opisujące ruch harmoniczny: Równanie Wykres Wychylenie z położenia równowagi: x=A⋅sin(ωt+ϕ). xmax= A. Prędkość: v=Aω⋅cos(ωt+ϕ). vmax= Aω. Przyspieszenie: a= −Aω^2 ⋅ sin(ωt+ϕ). amax= A ω^2. Można zauważyć, że: a= −ω^2 ⋅ x. Energia kinetyczna: Energia potencjalna: Energia całkowita: