Opiekun: Dariusz Karp	Imię Nazwisko: Wydział/kierunek: SKP Termin zajęć: Piątek godz. 9:15
Temat: Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy na podstawie prawa Stokesa.	Nr ćwiczenia: 8
Termin wykonania ćwiczenia: 14.05.2010r	Termin oddania sprawozdania: 18.05.2010r

Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia było badanie ruchu ciał spadających w ośrodku ciekłym, wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa.

Wstęp teoretyczny:

Lepkością lub tarciem wewnętrznym nazywamy zjawisko występowania sił stycznych przeciwstawiających się przemieszczeniu jednych części ciała względem innych jego części. Zjawisko to powstaje na skutek ruchów cieplnych cząsteczek oraz sił międzycząsteczkowych. W wyniku działania siły tarcia wewnętrznego występującego między warstwami cieczy, poruszająca się warstwa pociąga za sobą warstwy sąsiadujące z nią z prędkością tym bardziej zbliżoną do prędkości własnej, im ciecz jest bardziej lepka. Analogicznie − spoczywająca warstwa cieczy hamuje sąsiadujące z nią poruszające się warstwy.

Ze względu na to, że wszystkie rzeczywiste ciecze są lepkie, zjawisko lepkości odgrywa istotną rolę podczas przepływu cieczy oraz podczas ruchu ciała stałego w ośrodku ciekłym.

W ćwiczeniu badaliśmy ruch kulki w cieczy oraz wyznaczaliśmy współczynnik lepkości cieczy na podstawie prawa Stokesa.

Ciało stałe, poruszające się w ośrodku ciekłym, napotyka na opór. Mechanizm tego zjawiska jest następujący: warstwa cieczy przylegająca do powierzchni poruszającego się ciała, wprawia w ruch pozostałe warstwy cieczy. Tak więc istotną rolę odgrywa tu lepkość cieczy. Wypadkowa siła oporu działa przeciwnie do kierunku ruchu ciała. Doświadczalnie stwierdzono, że dla małych prędkości siła oporu R jest wprost proporcjonalna do prędkości v, zależy od charakterystycznego wymiaru liniowego ciała l oraz od współczynnika lepkości cieczy η.

Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy z użyciem naczynia cylindrycznego

W pierwszej części ćwiczenia wyznaczaliśmy współczynnik lepkości metodą Stokesa, posługując się szerokim szklanym naczyniem cylindrycznym wypełnionym badaną cieczą. Na zewnątrz powierzchni bocznej naczynia znajdowały się dwa przesuwne pierścienie.

Za ich pomocą ustaliliśmy drogę na której badaliśmy czas ruchu kulki ruchem jednostajnym. Wybraną kulkę puszczaliśmy tuż nad powierzchnią cieczy w ten sposób, aby jej tor w przybliżeniu pokrywał się z osią naczynia. Kilkakrotnie wykonywaliśmy pomiary czasu przebycia przez kulkę drogi pomiędzy pierścieniami. Następnie dla średniej wartości tego czasu obliczyliśmy współczynnik lepkości cieczy na podstawie wzoru wyprowadzonego na podstawie równania różniczkowego ruchu kulki z wykorzystaniem prawa Stokesa:

$$\eta = \ \frac{2*{(\frac{d}{2})}^{2}*g*t*(q_{k} - q_{c})}{9*h}$$

gdzie:

r − promień kulki,

g = 9,81 m/s² − przyspieszenie ziemskie,

q_k − gęstość materiału kulki,

q_c − gęstość cieczy,

t – czas spadania kulki

h – odległość między pierścieniami ( wysokość z której spadała kulka)

Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy z użyciem wiskozymetru Hpplera

W drugiej części ćwiczenia wyznaczaliśmy współczynnik lepkości cieczy wykorzystując metodę Stokesa w wiskozymetrze Hpplera.

Stosunkowo duża kulka (r ≅ R) poruszała się w cieczy zamkniętej w szklanej rurze. Całość znajdowała się w osłonie termostatycznej. Dzięki możliwości obrotu wiskozymetru wokół osi poprzecznej zmierzyliśmy czas ruchu kulki między kreskami granicznymi.

Pomiar powtórzyliśmy dziesięciokrotnie i dla średniego czasu ruchu kulki obliczyliśmy współczynnik lepkości na podstawie wzoru:

η = k * (q_k−q_c) * t

gdzie:

k − stała określona przez warunki doświadczenia (określona dla wiskozymetru),

q_k − gęstość materiału kulki,

q_c − gęstość cieczy,

t − czas przebycia zadanej drogi w ruchu jednostajnym,

Wyniki pomiarów (dla naczynia cylindrycznego):

Pomiar średnicy kulki (po kolei przeźroczystej, białej, czarnej): lp d [mm] lp d [mm]   lp d [mm] 1 8,31 1 6,43   1 6,43 2 8,28 2 6,49   2 6,44 3 8,3 3 6,49   3 6,42 4 8,31 4 6,43   4 6,44 5 8,29 5 6,46   5 6,43 6 8,28 6 6,44   6 6,43 7 8,34 7 6,44   7 6,39 8 8,31 8 6,44   8 6,42 9 8,31 9 6,47   9 6,41 10 8,31 10 6,47   10 6,46 11 8,15 11 6,48 11 6,41 12 8,17 12 6,39 12 6,42 13 8,23 13 6,49   13 6,45 14 8,24 14 6,44 14 6,42 15 8,27 15 6,48 15 6,42 16 8,48 16 6,48 16 6,4 17 8,42 17 6,49 17 6,35 18 8,19 18 6,37 18 6,46 19 8,29 19 6,46 19 6,4 20 8,13 20 6,36 20 6,39 dśr = 8,3 mm = 0,0083 m Δdśr = 0,04 mm = 0,0004 m dśr = 6,5 mm = 0,0065 m Δdśr = 0,02 mm = 0,0002 m dśr = 6,4 mm = 0,0064 m Δdśr = 0,01 mm = 0,0001 m Pomiar gęstości cieczy aerometrem: qc = 1260 $\frac{\text{kg}}{m^{3}}$ Δ qc = 10 $\frac{\text{kg}}{m^{3}}$ Pomiar odległości między pierścieniami: L.p. h [mm] 1 266,3 hśr = 266,3 mm = 0,2663 m Δ hśr = 1 mm = 0,001 m

Pomiar masy kulki (po kolei przeźroczystej, białej, czarnej): L.p. masa [g] L.p. masa [g] L.p. masa [g] 1 0,70 1 0,28 1 0,23 2 0,70 2 0,29 2 0,24 3 0,70 3 0,28 3 0,24 4 0,67 4 0,28 4 0,24 5 0,66 5 0,29 5 0,23 6 0,67 6 0,28 6 0,23 mśr = 0,69 g = 0,00069 kg mśr = 0,28 g = 0,00028 kg mśr = 0,23 g = 0,00023 kg Δ mśr = 0,01 g = 0,00001 kg Pomiar czasu spadania kulki (przeźroczystej, białej, czarnej): L.p. t [s] L.p. t [s] L.p. t [s] 1 6,00 1 9,46 1 14,24 2 6,23 2 9,32 2 13,70 3 5,65 3 9,00 3 14,33 4 5,85 4 9,01 4 15,11 5 5,76 5 8,96 5 16,58 6 5,60 6 9,28 6 14,63 7 5,78 7 9,83 7 13,83 8 5,87 8 8,93 8 14,24 9 5,54 9 8,46 9 14,72 10 5,56 10 9,01 10 14,06 11 5,58 11 9,65 11 14,67 12 6,00 12 9,32 12 14,46 13 5,68 13 9,35 13 14,44 14 5,74 14 9,15 14 14,34 15 6,06 15 9,39 15 15,04 16 5,71 16 9,30 16 14,62 17 6,13 17 9,76 17 13,82 18 5,76 18 9,29 18 14,53 19 5,95 19 9,52 19 13,58 20 5,75 20 9,00 20 13,90 21 5,91 21 9,17 21 15,06 22 5,67 22 9,20 22 14,71 23 5,77 23 9,04 23 14,35 24 5,81 24 8,88 24 14,88 25 5,81 25 9,80 25 14,31 26 5,37 26 9,72 26 14,18 27 5,24 27 8,90 27 14,13 28 5,94 28 9,36 28 14,15 tśr = 5,78 s Δ tśr = 0,1 s tśr = 9,25 s Δ tśr = 0,1 s tśr = 14,45 s Δ tśr = 0,1 s

Obliczenia:

$$q_{k\text{p.}} = \frac{3*m}{4*\pi*({\frac{d}{2})}^{3}\ } = 2300\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

$$\Delta q_{k\text{p.}} = \left( \frac{\Delta m}{m} + 3*\frac{\Delta\frac{d}{2}}{\frac{d}{2}} \right)*q_{k} = 59\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

$\eta_{\text{p.}} = \frac{2*{(\frac{0,0156}{2})}^{2}*9,81*1,5*(2200 - 1250)}{9*0,253}$ = 6 $\frac{\text{kg}}{m*s}$

${\Delta\eta}_{\text{p.}} = \eta*\left( 2*\frac{\Delta\frac{d}{2}}{\frac{d}{2}} + \frac{\text{Δt}}{t} + \frac{\Delta q_{k}}{q_{k}} + \frac{\Delta q_{c}}{q_{c}} + \frac{\text{Δh}}{h} \right) =$ 0,3$\ \frac{\text{kg}}{m*s}$

$$q_{k\text{b.}} = \frac{3*m}{4*\pi*({\frac{d}{2})}^{3}\ } = 2000\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

$$\Delta q_{k\text{b.}} = \left( \frac{\Delta m}{m} + 3*\frac{\Delta\frac{d}{2}}{\frac{d}{2}} \right)*q_{k} = 34\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

$\eta_{b} = \frac{2*{(\frac{0,0156}{2})}^{2}*9,81*1,5*(2200 - 1250)}{9*0,253}$ = 4 $\frac{\text{kg}}{m*s}$

${\Delta\eta}_{b} = \eta*\left( 2*\frac{\Delta\frac{d}{2}}{\frac{d}{2}} + \frac{\text{Δt}}{t} + \frac{\Delta q_{k}}{q_{k}} + \frac{\Delta q_{c}}{q_{c}} + \frac{\text{Δh}}{h} \right) =$ 0,1$\ \frac{\text{kg}}{m*s}$

$$q_{k\text{cz}} = \frac{3*m}{4*\pi*({\frac{d}{2})}^{3}\ } = 1660\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

$$\Delta q_{k\text{cz}} = \left( \frac{\Delta m}{m} + 3*\frac{\Delta\frac{d}{2}}{\frac{d}{2}} \right)*q_{k} = 35\ \frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

$\eta_{\text{cz}} = \frac{2*{(\frac{0,0156}{2})}^{2}*9,81*1,5*(2200 - 1250)}{9*0,253}$ = 3,5 $\frac{\text{kg}}{m*s}$

${\Delta\eta}_{\text{cz}} = \eta*\left( 2*\frac{\Delta\frac{d}{2}}{\frac{d}{2}} + \frac{\text{Δt}}{t} + \frac{\Delta q_{k}}{q_{k}} + \frac{\Delta q_{c}}{q_{c}} + \frac{\text{Δh}}{h} \right) =$ 0,2$\ \frac{\text{kg}}{m*s}$

Wyniki pomiarów (dla wiskozymetru):

Wyniki pomiarów:

Wyniki dla kulki szklanej Stałe przyjęte do obliczeń: k = 0,7941 * 10^-6 $\frac{m^{2}}{s^{2}}$ qk = (2410 ± 1) $\frac{\text{kg}}{m^{3}}$ qc = (1235 ± 0,5) $\frac{\text{kg}}{m^{3}}$ Obliczenia: η = 0, 7941 * 10^−6(2410−1235) * 138, 2 = 1, 29 $$\Delta\eta = 1,29*\left( \frac{1}{2410} + \frac{0,5}{1235} + \frac{0,1}{138,2} \right) = 0,002$$	Lp. t [s]   t [s]   poziom 1 poziom 2 poziom 3 1 156 290 430 2 45 185 321 3 149 292 428 tśr = (138,2 ± 0,1) s

Prawidłowo zapisane wyniki końcowe:

Dla naczynia cylindrycznego:

η = (6 ± 0,3) $\frac{\text{kg}}{m*s}$

η = (4 ± 0,2) $\frac{\text{kg}}{m*s}$

η = (3,5 ± 0,2) $\frac{\text{kg}}{m*s}$

Dla wiskozymetru:

• Dla kulki szklanej:

η = (1,29 ± 0,002) $\frac{\text{kg}}{m*s}$

Wnioski:

Celem naszego doświadczenia było wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy zawartej w wiskozymetrze Hopplera i naczyniu cylindrycznym. Podstawą teoretyczną do przeprowadzenia ćwiczenia było prawo Stokesa, które wykorzystywaliśmy przy obliczaniu prędkości i czasu spadania kulek w ośrodku ciągłym.

W pierwszej części ćwiczenia wrzucaliśmy do naczynia cylindrycznego wypełnionego cieczą kulkę i na podstawie jej rozmiarów, oraz czasu przebycia określonej drogi wyznaczaliśmy współczynnik lepkości danej cieczy. Metoda ta obarczona jest jednak wieloma błędami wynikającymi z niedokładności pomiaru czasu spadku, masy i średnicy kulki, która była w dużym stopniu (relatywnie do rozmiarów) zdeformowana. Ponadto do obliczeń teoretycznych wykorzystaliśmy wzór idealny, nie do końca słuszny dla naczyń ograniczonych (szczególnie, gdy kulka opada w pobliżu ściany naczynia). Z tego wynika właśnie rozbieżność czasów spadania kulki, gdyż jej prędkość zależy od odległości od ścianki naczynia (im bliżej ścianki tym prędkość spadku jest mniejsza).

W drugiej części pomiarów badaliśmy ruch kulki w wiskozymetrze Hopplera. Metoda ta jest o wiele prostsza jeżeli chodzi o pomiary jak i obliczenia.