Maciej Sawicki Data wykonania : 26.11.2012

EF0-DI-1(01)

Laboratorium z fizyki

Ćw. nr: 47

Badanie widma emisyjnego gazów. Wyznaczanie nieznanych długości fal

Grupa laboratoryjna : L 01

Zespół ćwiczeniowy - VI

1. Wstęp teoretyczny

Równania Maxwella, sformułowane w 1864 r., stanowią podstawę matematycznego opisu wszystkich zjawisk promieniowania i propagacji fal elektromagnetycznych.

Pełny układ równań Maxwella ma postać:

rot E = -dB/dt,
div B =0,
rot H = j,

div D = σ,

gdzie H – pole magnetyczne, B – indukcja magnetyczna, E – pole elektryczne, D – indukcja elektryczna, j –gęstość prądu elektrycznego.

Opisują one sprzężenia między wektorami pola elektrycznego i magnetycznego. Pozwalają na wyznaczenie wektorów pola elektrycznego i magnetycznego, wartości prądów i ładunków w każdym punkcie przestrzeni i w każdej chwili czasu oraz opisanie propagacji fal elektromagnetycznych.

Promieniowanie elektromagnetyczne można opisać na dwa sposoby, jako:

1. Falę, która jest spójną rozchodzącą się w czasie i przestrzeni zmiana pola elektrycznego i magnetycznego. Jak każdej fali również fali elektromagnetycznej można przepisać długość fali λ i częstotliwość f .

f =1/T, T – okres zmian pola elektrycznego i magnetycznego

Obie te wielkości są ze sobą powiązane:

λ = ν/ƒ

1. Strumień fotonów, pozbawionych masy spoczynkowej, który niesie ze sobą ścisle określoną energię:
   E = hƒ,
   h – stała Plancka.

Fale elektromagnetyczne są w przyrodzie bardzo rozpowszechnione, a ich własności w dużym stopniu zależą od długości fali.

Dług. fali[cm]	Nazwa	Źródła
10^7 - 10^-2	Fale radiowe	Prądy zmienne w przewodnikach. Strumienie elektronów
5·10^-2 -8·10^-5 -4·10^-5 -10^-7	Promieniowanie (podczerwień, światło widzialne, nadfiolet)	Prom. cząstek naładowanych poruszających się z dużymi prędkościami.
2·10^-7 -6·10^-10	Promieniowanie Rentgena	Procesy atomowe podczas oddziaływania padających elektronów z cząstkami jąder.

Bohr przyjął za podstawę swego rozumowania teorię Rutheforda budowy atomu, wg. której atom wodoru zawiera proton (+e), jako jądro oraz jeden elektron (-e) krążący wokół jądra. Między nimi działa coulombowska siła centralna:
F = -(Ze/4Πέ_or),
pod wpływem której elektron porusza się wokół jądra po krzywej stożkowej.

Według elektrodynamiki klasycznej atom wodoru wypromieniowuje energię i to proporcjonalną do kwadratu przyspieszenia elektronu.
Częstotliwość promieniowania powinna być taka sama jak mechaniczna częstotliwość ν = ω/2π ruchu elektronu dookoła jądra. Ponieważ v =ωr oraz mv²= Ze²/4πε_or, więc ω²=Ze²/4πε_ormv². Całkowita energia atomu wynosi –(Ze²/8πε_or).

Aby wytłumaczyć istnienie serii, jakie występują w widmie atomu wodoru, Bohr wprowadził postulaty:

• Elektron nie może krążyć po dowolnej orbicie, lecz tylko po tych dla których moment pędu elektronu jest wielokrotnością h/2π=h.

Orbity dozwolone zostały nazwane stacjonarnymi. Zakładając, że ruch elektronu odbywa się po orbicie kołowej pierwszy postulat Bobra zapisujemy następująco:

mvr = nh/2π = nh, n- liczba całkowita

• Atom absorbuje lub emituje promieniowanie w postaci kwantu o energii hf przechodzącej z jednego stanu energii En do drugiego Ek. Różnica energii tych stanów atomu równa się energii wypromieniowanego kwantu

hf=En-Ek

Rodzaje widm ze szczególnym uwzględnieniem widm liniowych.

Światło białe przechodząc przez pryzmat ulega rozszczepieniu na barwy: czerwoną, pomarańczową, żółtą, zieloną, niebieską, indygo i fioletową. Światło o różnym zabarwieniu różni się między sobą długością fal. Światło widzialne mieści się w przedziale od 0,63 do 0,40μm.

Widmem nazywamy obraz otrzymany na skutek rozszczepienia światła białego.

Widma możemy podzielić na trzy rodzaje:

1. Widma ciągłe- które otrzymujemy rozszczepiając światło emitowane przez ciała stałe, ciecze i gazy podgrzewane do wysokich temperatury znajdują się pod dużym ciśnieniem.

2. Widma liniowe -ich źródłem światła są atomy rozżarzonych gazów oraz par metali. Widmo to składa się z pojedynczych barwnych prążków, których ilość, położenie i barwa. Są inne dla każdego gazu. Dzięki barwie nie da się określić precyzyjnego położenia poszczególnych linii widm. Położenie to da się bardzo precyzyjnie określić przez podanie długości fali lub częstotliwości. Ułatwia to tzw. krzywa dyspersji, która jest zależnością długości fali od położenia linii, mierzonych na podziałce spektrometru.
   Linie widm tworzą tzw. serie:

   • Lymana (ultrafiolet),

   • Balmera (widzialne),

   • Paschena (podczerwień).

3. Widma pasmowe – dają je wzbudzone cząsteczki gazów. Nie występują w nich pojedyncze linie o określonej jednej długości fali, lecz pasma na przemian jasne i ciemne. Otrzymujemy je również w przypadku fotoluminescencji.

Dyspersja w optyce – zależność współczynnika załamania ośrodka od częstotliwości fali świetlnej. Jednym ze skutków dyspersji jest to, że wiązki światła o różnych barwach, padające na granicę ośrodków pod kątem różnym od zera, załamują się pod różnymi kątami. Efekt ten można zaobserwować, gdy światło białe pada na pryzmat i ulega rozszczepieniu na barwy tęczy.

Współczynnik załamania światła wynika z prędkości rozchodzenia się światła w ośrodku. W optyce za dyspersję uznaje się też zależność prędkości rozchodzenia się światła od innych czynników np. w falowodzie określa się dyspersję modową, w której prędkość ruchu modu wzdłuż falowodu zależy od jego drogi w falowodzie.

Zależność współczynnika załamania światła od długości fali światła nazywana jest współczynnikiem dyspersji i jest parametrem określającym własności minerałów. Minerały o dużej dyspersji odpowiednio oszlifowane mienią się różnymi barwami w wyniku rozszczepiania światła białego.

Dyspersja w optyce jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego zjawiska dyspersji fali, które oznacza zależność prędkości fazowej fali od jej częstości, a tym samym i długości. W ośrodku niedyspersyjnym, gdzie ta zależność nie występuje, prędkość fazowa fali jest jednakowa dla wszystkich długości fal i jest równa prędkości grupowej. Przykładem niedyspersyjnego rozchodzenia się światła jest rozchodzenie się fali elektromagnetycznej w próżni.

2. Tabela pomiarowa

Lp	LHe	λHe	LNe	λ ± u(λ)
	[-]	[nm]	[-]	[nm]
1	135	587,6	156	684,11±96,51
2	152	667,8	146,8	645,25±22,55
3	168	706,5	141,2	619,10±87,40
4	105,5	541,1	146,6	644,35±103,25
5	105	501,5	134,3	583,86±42,76
6	100,5	492,1	137,4	600,13±108,03
7	89,2	468,5	120,3	499,83±31,33
8	74	447,1	157,5	690,02±242,92
9	67,5	438,7	135,1	588,13±149,43
10	-	-	131,8	570,17±131,47
11	-	-	118,2	485,49±46,79

3. Obliczenia

3.1. Obliczanie odchylenia standardowego  u(L_He)

$$S_{\overset{\overline{}}{x}} = \frac{s_{x}}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}}{n(n - 1)}} = u\left( \overset{\overline{}}{x} \right)\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{9}x_{i}$$

$$\overset{\overline{}}{L} = \frac{135 + 152 + 168 + 105,5 + 105 + 100,5 + 89,2 + 74 + 67,5}{9} = 110,74$$

$$S_{\overset{\overline{}}{L}} = \sqrt{\frac{9461,89}{72}} = \sqrt{131,42} = 11,46\ \ \ \ \ \ u\left( L_{\text{He}} \right) = 11,46$$

3.2. Wyznaczanie długości fal badanego widma

$$\lambda = \lambda_{0} + \frac{\beta}{L - L_{0}} - \ wzor\ Hartmanna$$

$$\left\{ \begin{matrix} 135 \bullet \left( 587,6 - x \right) - y \bullet \left( 587,6 - x \right) - z = 0 \\ 152 \bullet \left( 667,8 - x \right) - y \bullet \left( 667,8 - x \right) - z = 0 \\ 168 \bullet \left( 706,5 - x \right) - y \bullet \left( 706,5 - x \right) - z = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} 79326 - 135x - 587,6y + xy - z = 0 \\ 101505,6 - 152x - 667,8y + xy - z = 0 \\ 118692 - 168x - 706,5y + xy - z = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} z = 79326 - 135x - 587,6y + xy \\ 22179,6 - 17x - 80,2y = 0 \\ 39366 - 33x - 118,9y = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} 1304,68 - 4,72y = x \\ 39366 - 43054,44 + 3923,7y - 118,9y = 0 \\ - 3688.44 + 3804,8y = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} z = 79326 - 135x - 587,6y + xy \\ x = 1304,68 - 4,72y \\ y = 0,9694 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} z = - 95497,3922 \\ x = 1300,1044 \\ y = 0,9694 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\lambda_{1} = 1300,1044 + \frac{- 95497,3922}{156 - 0,9694} = 684.11\ \lbrack nm\rbrack$$

$$\lambda_{2} = 1300,1044 + \frac{- 95497,3922}{146,8 - 0,9694} = 645.25\ \lbrack nm\rbrack$$

$$\lambda_{3} = 1300,1044 + \frac{- 95497,3922}{141,2 - 0,9694} = 619.10\ \lbrack nm\rbrack$$

$$\lambda_{4} = 1300,1044 + \frac{- 95497,3922}{146,6 - 0,9694} = 644.35\ \lbrack nm\rbrack$$

$$\lambda_{5} = 1300,1044 + \frac{- 95497,3922}{134,3 - 0,9694} = 583.86\ \lbrack nm\rbrack$$

$$\lambda_{6} = 1300,1044 + \frac{- 95497,3922}{137,4 - 0,9694} = 600.13\ \lbrack nm\rbrack$$

$$\lambda_{7} = 1300,1044 + \frac{- 95497,3922}{120,3 - 0,9694} = 499.83\ \lbrack nm\rbrack$$

$$\lambda_{8} = 1300,1044 + \frac{- 95497,3922}{157,5 - 0,9694} = 690.02\ \lbrack nm\rbrack$$

$$\lambda_{9} = 1300,1044 + \frac{- 95497,3922}{135,1 - 0,9694} = 588.13\ \lbrack nm\rbrack$$

$$\lambda_{10} = 1300,1044 + \frac{- 95497,3922}{131,1 - 0,9694} = 570.17\ \lbrack nm\rbrack$$

$$\lambda_{11} = 1300,1044 + \frac{- 95497,3922}{118,2 - 0,9694} = 485,49\ \lbrack nm\rbrack$$

3.3. Wyznaczanie niepewności  u(λ)

u(λ) = |λ−λ_HE| = |684,11−587,6| = 96, 51 [nm]

u(λ) = |λ−λ_HE| = |645,25−667,8| = 22, 55 [nm]

u(λ) = |λ−λ_HE| = |619,10−706,5| = 87.4 [nm]

u(λ) = |λ−λ_HE| = |644,35−541,1| = 103, 25 [nm]

u(λ) = |λ−λ_HE| = |583,86−541,1| = 42, 76 [nm]

u(λ) = |λ−λ_HE| = |600,13−492.1| = 108, 03 [nm]

u(λ) = |λ−λ_HE| = |499,83−468,5| = 31, 33 [nm]

u(λ) = |λ−λ_HE| = |690,02−447,1| = 242, 92 [nm]

u(λ) = |λ−λ_HE| = |588,13−438,7| = 149, 43 [nm]

u(λ) = |λ−λ_HE| = |570,17−438,7| = 131, 47 [nm]

u(λ) = |λ−λ_HE| = |485,49−438,7| = 46, 79 [nm]

4. Uwagi i wnioski

Pomiarów dokonywaliśmy dla dwóch gazów - helu i neonu. Mieliśmy za zadanie obliczyć długości fal dla Neonu na podstawie położenia 11 linii, które wyszukaliśmy i zmierzyliśmy za pomocą spektometru. Wszystkie obliczone długości fal dla Neonu są poprawne , gdyż długość fali widzialnej dla człowieka musi się mieścić w granicach 400-700 [nm], a żadna obliczona przeze mnie wartość jej nie przekracza. Ze względu na kształt krzywej dyspersji błąd określenia długości fali λ przy tym samym błędzie odczytu u(L) jest tym większy im większą wartość ma długość fali, z paroma wyjątkami mogącymi być dopuszczalnym błędem człowieka.