Macierze:

Dopełnienie algebraiczne macierzy: Dij = ( − 1)^i + j * det(Aij)

Rozwinięcie Laplace’a: $detA = a_{i1}*D_{i1} + a_{i2}*D_{i2} + \ldots + a_{\text{in}}*D_{\text{in}} = \sum_{k = 1}^{n}{a_{\text{ik}}*D_{\text{ik}}}$

Twierdzenie Cauchy’ego: det(A * B)=detA * detB

Macierz odwrotna: $A^{- 1} = \ \frac{1}{\text{detA}}*\left\lbrack D_{\text{ij}} \right\rbrack^{T}$ lub ⌈A_nxn|I_nxn⌉[I_nxn|A_nxn⁻¹]

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH: $A_{\text{ij}}*X = B\overset{\Rightarrow}{}X = A^{- 1}*B$

Wzór Cramera: $\begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ a_{n1} & \ldots & a_{\text{nn}} \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{i} \\ x_{n} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{i} \\ b_{n} \\ \end{bmatrix}\overset{\Rightarrow}{}x_{i} = \frac{\det A_{i}}{\text{detA}}\ \text{macierz}\ A_{i}\text{powstaje}\ z\ \text{macierzy}\ A\ \text{przez}\ \text{zast}a\text{pienie}\ i - \text{tej}\ \text{kolumny}\ \text{macierz}a\ B$

Eliminacja Gaussa: ⌈A_nxn|B_nx1⌉[I_nxn|X_nx1]

Twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego: Układ równań A*X=B ma rozwiązanie(nie jest sprzeczny) wtedy i tylko wtedy gdy rA=r[A|B]. Przy czym rozwiązanie X jest jedyne gdy rA=r[A|B]=n lub/i układ A*X=B ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-k parametrów gdy rA=r[A|B]=k i k<n.

Granice:

$\left\lbrack \frac{A}{\pm \infty} \right\rbrack = 0$ $\text{\ \ }\left\lbrack \frac{A}{0} \right\rbrack = \infty$ Symbole nieoznaczone: $\left\lbrack \frac{0}{0} \right\rbrack$, $\left\lbrack \frac{\infty}{\infty} \right\rbrack$, [∞−∞], [0•∞], [1^∞], [0⁰], [∞⁰]

a^∞ = $\left\{ \begin{matrix} \infty\ dla\ a > 1 \\ 1\ \ dla\ a = 1 \\ 0\ \ dla\left| a \right| < 1 \\ \end{matrix} \right.\ $

ln0→-∞ dla a >0 dla a<0

ln1=0 0 → −∞ 0 → ∞

lne=1 1 = 0 1 = 0+

ln∞→∞ a = 1 a = 1

∞ → ∞ ∞ → −∞

$\operatorname{}\frac{(arc)sinx}{x} = 1$ $\operatorname{}\frac{(arc)tgx}{x} = 1$

$\operatorname{}\left( 1 + \frac{a}{*} \right)^{*} = e^{a}$ $\operatorname{}\sqrt[n]{a} = 1$ $\operatorname{}\sqrt[n]{n} = 1$

METODY: 1. Wyciąganie największej potęgi: $\operatorname{}\frac{\text{wielomian}}{\text{wielomian}}$

2. mnożenie przez sprzężenie: $\operatorname{}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$

3. wzór na liczbę e: $\operatorname{}\left( 1 + \frac{a}{*} \right)^{*} = e^{a}$

4. Twierdzenie o trzech ciągach: $\sqrt[n]{a^{n} + b^{n} +}\ldots$

Ciągłość funkcji: Funkcja y=f(x) jest ciągła w punkcie x_o∈D_f ↔ 1^o ∃g = f(x) 2^o g=f(x_o)

(granica lewostronna = granica prawostronna = wartość funkcji w punkcie x_o → funkcja jest ciągła)

Pochodne:

1. (C)^′ = 0

2. (xⁿ)^′ = nx^n − 1

3. (x)^′ = 1

4. $\left( \frac{a}{x} \right)^{'} = - \frac{a}{x^{2}}$

5. $\left( \sqrt{x} \right)^{'} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

6. (a^x)^′ = a^xlna

7. (e^x)^′ = e^x

8. $\left( \operatorname{}x \right)^{'} = \frac{1}{x\ln a}$

9. $\left( \ln x \right)^{'} = \frac{1}{x}$

10. (sinx)^′ = cosx

11. (cosx)^′ = −sinx

12. $\left( \text{tgx} \right)^{'} = \frac{1}{\left( \cos x \right)^{2}}$

13. $\left( \text{ctgx} \right)^{'} = - \frac{1}{\left( \sin x \right)^{2}}$

14. $\left( \text{arcsinx} \right)^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

15. $\left( \text{arccosx} \right)^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

16. $\left( \text{arctgx} \right)^{'} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

17. $\left( \text{arcctgx} \right)^{'} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$