TEORIA STEROWNIA

Zajęcia nr 10

Schematy blokowe i grafy (jako zobrazowanie modeli matematycznych)

SCHEMATY BLOKOWE

Układy sterowania mogą składać się z pewnej liczby składników (podzespołów). Schemat blokowy układu jest graficznym opisem funkcji wykonywanych przez każdy element i przepływające sygnały. Takie schematy opisują współzależności, które istnieją pomiędzy różnymi składnikami. W odróżnieniu od abstrakcyjnego opisu matematycznego, schematy blokowe mają tę zaletę, że bardziej realistycznie przedstawiają przepływy sygnałów w układzie.

Blok. Na schematach blokowych wszystkie zmienne są powiązane ze sobą poprzez bloki funkcjonalne. Bloki te są symbolami operacji matematycznych wykonywanych na sygnałach wejściowych i wytwarzających odpowiednie sygnały wyjściowe. Zazwyczaj transmitancja jest funkcją opisującą zależność pomiędzy sygnałami wchodzącymi do bloku oraz wychodzącymi z niego. Bloki połączone są strzałkami oznaczającymi kierunek przepływających sygnałów. Sygnały mogą przemieszczać się tylko w kierunku strzałek.

Elementy schematów blokowych w układach sterowania:

Podstawowy element składowy jakim jest blok.	Węzeł sumacyjny	Węzeł rozgałęźny.

Schematy blokowe są bardzo często upraszczane do prostszych postaci o mniejszej ilości bloków lub

przekształcane specjalnych struktur przy użyciu algebry schematów blokowych.

Zasady przekształcania schematów blokowych

Przekształcenie	Schemat wyjściowy	Schemat wyjściowy
Połączenie szeregowe
Połączenie równoległe
Eliminowanie pętli sprzężenia
Przeniesienie węzła sumacyjnego z wejścia n
Przeniesienie węzła sumacyjnego z wyjścia na wejście bloku
Przeniesienie węzła rozgałęźnego z wyjścia na wejście bloku
Przeniesienie węzła rozgałęźnego z wyjścia na wejście bloku
Zamiana miejscami węzłów sumacyjnych sąsiadujących ze sobą
Zamiana miejscami węzłów rozgałęźnych sąsiadujących ze sobą
Zamiana miejscami węzła rozgałęźnego i sumacyjnego
Zamiana miejscami węzła rozgałęźnego i sumacyjnego

WYKORZYSTANIE GRAFÓW PRZEPŁYWU SYGNAŁÓW DO BUDOWY MODELI MATEMATYCZNYCH

Podstawowymi elementami grafów są:

Podstawowe przekształcenia grafów przepływowych:

WYZNACZANIE TRANSMITANCJI WYPADKOWEJ DLA SCHEMATÓW BLOKOWYCH PRZY UŻYCIU REGUŁY WZMOCNIEŃ MASONA

Reguła wzmocnień Masona pozwala na wyznaczenie transmitancji wypadkowej schematu blokowego bez konieczności pracochłonnego przekształcania go. Reguła ta zaczerpnięta została z teorii grafów

przepływu sygnałów i zaadaptowana dla schematów blokowych.

Dla schematu blokowego z N szeregowe połączeniami bezpośrednio łączącymi wejście U(s) z wyjściem Y(s) oraz L pętlami, transmitancja wypadkowa określona jest przez następującą zależność:

$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{U\left( s \right)} = \frac{\sum_{k = 1}^{N}{P_{k}_{k}}}{}$$

gdzie:

U(s) -transformata sygnału wejściowego

Y(s) - transformata sygnału wyjściowego

G(s) - transmitancja wypadkowa całego schematu blokowego

N - całkowita liczba kaskadowych połączeń bezpośrednio łączących wejście z wyjściem

Pk - transmitancja k-tego połączenia kaskadowego bezpośrednio łączącego wejście

z wyjściem

$$= 1 - \sum_{i = 1}^{L}L_{i1} + \sum_{i = 1}^{L}L_{i2} - \sum_{i = 1}^{L}L_{i3} + \ldots$$

=1-(suma transmitancji wszystkich pojedynczych pętli) + (suma iloczynów transmitancji wszystkich możliwych kombinacji po dwie nie stykające się pętle) -(suma iloczynów transmitancji wszystkich możliwych kombinacji po trzy nie stykające się pętle) + ... itd.

_k= - wyznaczana dla tej części schematu, która nie styka się z k-tą kaskadą bezpośrednią.

ZADANIA:

1. Na rysunkach poniżej pokazane są schematy strukturalne trzech układów (dla uproszczenia rysunków pominięto oznaczenie zależności transmitancji operatorowej od zmiennej zespolonej s). Dla każdego z tych układów należy wyznaczyć zastępczą transmitancję operatorową.

1. Na rysunku poniżej przedstawiono schemat strukturalny pewnego zamkniętego układu regulacji (dla uproszczenia rysunków pominięto oznaczenie zależności transmitancji operatorowej od zmiennej zespolonej s).

Transmitancje poszczególnych członów tego układu mają postać:

$$H_{1}\left( s \right) = h_{1},\ H_{2}\left( s \right) = h_{2},\ {\text{\ G}_{1}\left( s \right) = k_{1},\ G}_{2}\left( s \right) = \frac{k_{2}}{s}$$

$$G_{3}\left( s \right) = \frac{1}{1 + T_{3}s},\ G_{4}\left( s \right) = \frac{1}{1 + T_{4}s},\ G_{5}\left( s \right) = \frac{1}{1 + T_{5}s},\ G_{6}\left( s \right) = \frac{1}{1 + T_{6}s}$$

Podaj zastępczą transmitancję $G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{U\left( s \right)}$ tego układu.

1. Redukując grafy znaleźć wypadkową transmitancję układu jak na rysunku:

1. Na rysunku poniżej przedstawiono graf sygnałowy. Opierając się na regule Masona, wyznacz transmitancję operatorową $G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{U\left( s \right)}$.

2. Na rysunkach poniżej znajduje się schemat blokowy składający się z dwóch pętli połączonych równolegle. Należy wyznaczyć przy użyciu reguły wzmocnień Masona transmitancję wypadkową:

1. Na rysunku poniżej pokazany jest złożony schemat strukturalny. Podaj schemat układu równoważnego z jednym węzłem sumacyjnym, a następnie wyznacz transmitancję operatorową $G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{U\left( s \right)}$.

Odp.: $\frac{Y(s)}{U\left( s \right)} = 1 + \text{\ G}_{2}\left( s \right) + \text{\ G}_{1}\left( s \right)\text{\ G}_{2}\left( s \right)$

1. Stosując zasady przekształcania schematów strukturalnych, wyznacz operatorową transmitancję $G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{U\left( s \right)}$ układu o modelu pokazanym poniżej:

Odp.: $\frac{Y(s)}{U\left( s \right)} = \frac{\text{\ G}_{1}\left( s \right) + \text{\ G}_{3}\left( s \right)}{1 + {\text{\ G}_{1}\left( s \right)\text{\ G}}_{2}\left( s \right)}$

1. Postępując zgodnie z zasadami przekształcania schematów strukturalnych, wyznacz transmitancję $G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{U\left( s \right)}$ modelu

Odp.:

1. Stosując dla modelu z rysunku poniżej zasady przekształcania schematów strukturalnych, określ transmitancję operatorową U2(s)/U1(s).

Odp.:

1. W oparciu o regułę Masona, wyznacz transmitancję operatorów C(s)/R(s) układu modelowanego grafem danym na rysunku:

Odp.:

1. Udowodnij, że grafy pokazane na rysunkach poniżej mają tą samą transmitancję. Jaka to transmitancja?

Odp.:

1. Korzystając z reguły Masona, podaj transmitancję operatorów C(s)/R(s) układu modelowanego grafem z rysunku poniżej:

Odp.: