I EE-DI 16.05.2011

Laboratorium z fizyki

Sprawozdanie 5

Ćwiczenie nr 27

Temat: Wyznaczanie indukcyjności cewki i pojemności kondensatora w obwodzie prądu zmiennego.

Mateusz Tabor

L3

1. Zagadnienia teoretyczne

1. W przeprowadzonym ćwiczeniu wyznaczaliśmy indukcyjność cewki oraz pojemność kondensatora w obwodzie prądu zmiennego. W przypadku prądu zmiennego w obwodzie zewnętrznym, do którego przyłożone jest napięcie U = U_maxsinωt płynie prąd sinusoidalny o natężeniu:

I = I_maxsin(ωt + φ₀)

gdzie :

U_max,  I_max-wartości szczytowe (maksymalne, amplitudy) napięcia i natężenia prądu,

ω - częstość, pulsacja ω = 2πf ; gdzie f – częstotliwość,

φ₀ - przesunięcie fazowe pomiędzy napięciem a natężeniem prądu.

1. Kondensator w obwodzie prądu zmiennego:

Napięcie doprowadzone ze źródła prądu zmiennego zmienia z=się zgodnie z równaniem: U = U_maxsinωt. Prąd płynący przez kondensator związany jest z przemieszczeniem ładunku q, dlatego możemy napisać:

$$I = \frac{\text{dq}}{\text{dt}}$$

Korzystając z definicji pojemności wyliczymy ładunek:

q = CU = CU_maxsinωt,

ponieważ :

$$\text{cosα} = \sin(a + \frac{\pi}{2})$$

otrzymujemy:

$$I = \text{Cω}U_{\max}\sin(\text{ωt} + \frac{\pi}{2})$$

Równanie to wskazuje że przepływający przez kondensator prąd zmienny ma natężenie o przebiegu sinusoidalnym, które wyprzedza napięcie o kąt 90⁰. Szczytowa wartość natężenia prądu wynosi :

I_max = CωU_max,

a dla wartości skutecznych:

I_sk = CωU_sk

Kondensator przewodzi prąd zmienny. Stanowi on dla prądu zmiennego pewną oporność, której wartość wyraża się stosunkiem wartości skutecznych napięcia U_sk do prądu I_sk. Oporność tą nazywa się opornością bierną pojemnościową (reaktancją pojemnościową) i oznacza X_c:

$$X_{c} = \frac{U_{\text{sk}}}{I_{\text{sk}}} = \frac{1}{\text{ωC}} = \frac{1}{2\text{πfC}}$$

1. Indukcyjność w obwodzie prądu zmiennego:

Jeżeli do źródła prądu stałego o napięciu U przyłączymy cewkę o wielu zwojach z przewodnika o znikomo małej oporności (R≈0), to przez taką zwojnicę mógłby(teoretycznie) płynąć prąd o bardzo dużym natężeniu ograniczonym tylko opornością zewnętrzną źródła. Jeżeli tę samą cewkę pozbawioną oporności czynnej przyłączymy do źródła prądu zmiennego, to okażę się, że natężenie tego prądu będzie ograniczone. Prąd w obwodzie ogranicza siła elektromotoryczna indukcji własnej E_ind, której wartość jest zależna od współczynnika indukcyjności własnej L zwojnicy i od szybkości zmian strumienia magnetycznego przenikającego cewkę, a więc częstotliwości zmian prądu przepływającego przez uzwojenie cewki:

$$E_{\text{ind}} = - \frac{d\Phi_{B}}{\text{dt}} = L\frac{\text{dl}}{\text{dt}}$$

Spadek napięcia U_L na indukcyjności równoważy siłę elektromotoryczną indukcji własnej. Można to zapisać :

U_L = −E_ind

$$U_{L} = \text{Lω}I_{\max}\sin\left( \text{ωt} + \frac{\pi}{2} \right)$$

Z powyższego równania wynika, że natężenie prądu jest opóźnione o kąt 90⁰ względem napięcia doprowadzonego do zacisków „idealnej” cewki.

Bezwzględna wartość szczytowa napięcia na indukcyjności jest równa szczytowej wartości siły elektromotorycznej indukcji własnej:

U_max = E_max = LωI_max,

A wartość skuteczna:

U_sk = E_sk = LωI_sk

Ze wzoru wyrażającego zależność między wartościami skutecznymi U, I oraz pulsacjąω prądu przepływającego i indukcyjnością L odbiornika określamy tzw. Oporność bierną indukcyjną (reaktancję indukcyjną) X_L:

$$X_{L} = \frac{U_{\text{sk}}}{I_{\text{sk}}} = \text{ωL} = 2\text{πfL}$$

Maksymalną wartość natężenia prądu wyznaczymy z równania:

$$I_{\max} = \frac{\varepsilon_{\max}}{\sqrt{R^{2} + L^{2}\omega^{2}}} = \frac{\varepsilon_{\max}}{Z}$$

gdzie:

$$Z = \sqrt{R^{2} + L^{2}\omega^{2}}$$

Znając wartości impedancji i oporności czynnej możemy wyznaczyć indukcyjność cewki:

$$L = \frac{\sqrt{Z^{2} - R^{2}}}{\omega}$$

1. Metodologia wykonania ćwiczenia.

Układy pomiarowe do wyznaczania indukcyjności cewki i pojemności kondensatora:

• Zmontować obwód pomiarowy dla cewki do pomiarów przy prądzie stałym. Przy łączeniu obwodu zwróć uwagę, aby zastosować mierniki przeznaczone do prądu stałego.

• Zasilając obwód pomiarowy dla cewki prądem stałym odczytać wartość prądu dla różnych wartości napięcia (max 12V).

• Zmontować obwód pomiarowy dla cewki do pomiarów przy prądzie przemiennym. Przy łączeniu obwodu zwróć uwagę, aby zastosować mierniki przeznaczone dla prądu przemiennego. Mierniki prądu stałego zasilone prądem prądem przemiennym ulegną uszkodzeniu.

• Zasilając obwód pomiarowy prądem przemiennym odczytać wartości prądu dla różnych wartości napięcia (max 100V)

• Zmontować obwód pomiarowy dla kondensatora do pomiarów przy prądzie przemiennym. Przy łączeniu obwodu zwrócić uwagę, aby zastosować mierniki przeznaczone dla prądu przemiennego. Miernik prądu stałego zasilone prądem przemiennym ulegną uszkodzeniu.

• Zasilając obwód dla kondensatora prądem przemiennym odczytać wartości prądu dla różnych wartości napięcia (max 100V)

Tabele pomiarowe:

U_ [V]	I_ [A]	u(U_) [V]	u(I_) [mA]	R [Ω]	R.śr[Ω]	R ± u(R) [Ω]
1	0,06	0,577	0,577	16,66667	17,211	17,21 ± 0,77
2	0,12			16,66667
3	0,18			16,66667
4	0,235			17,02128
5	0,3			16,66667
6	0,35			17,14286
7	0,41			17,07317
8	0,47			17,02128
9	0,53			16,98113
10	0,585			17,09402
11	0,64			17,1875

U~ [V]	I~ [A]	u(U~) [V]	u(I~) [A]	Z [Ω]	Zśr ± u(Z) [Ω]	L ± u(L) [H]
20	0,33	0,577	0,577	60,60606	58,01 ± 0,61	0,1764±0,0025
24	0,41			58,53659
28	0,48			58,33333
32	0,54			59,25926
36	0,6			60
40	0,68			58,82353
44	0,74			59,45946
48	0,82			58,53659
52	0,89			58,42697
56	0,96			58,33333
60	1,02			58,82353

U~ [V]	I~ [A]	u(U~) [V]	u(I~) [A]	Xc [Ω]	Xc±u(Xc) [Ω]	C ± u(C) [µC]
20	0,2	0,577	0,577	100	100±8,0∙10^-15	0,32∙10^-6 ±2,5∙10^-21
24	0,24			100
28	0,28			100
32	0,32			100
36	0,36			100
40	0,4			100
44	0,44			100
48	0,48			100
52	0,52			100
56	0,56			100
60	0,6			100

1. Obliczenia

1. Sporządzić wykres zależności U_(I_) dla obwodu z cewką zasilanego prądem stałym. Na wykresie zaznaczyć niepewności u(U_) i u(I_) obliczone metodą typu B.

Zakres woltomierza 15 V - podziałka 1 V

Zakres amperomierza 750 mA - podziałka 1 mA

$$u\left( U\_ \right) = \ \frac{\text{ΔU}}{\sqrt{3}} = \ \frac{1}{\sqrt{3}} = 0,577\ \lbrack V\rbrack$$

$$u\left( I\_ \right) = \frac{\text{ΔI}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = 0,577\ \lbrack mA\rbrack$$

1. Metodą najmniejszych kwadratów dopasować prostą i wyznaczyć rezystancję R cewki oraz jej niepewność u(R).

17,21128	-0,07089
0,077234	0,030716
0,999819	0,04706
49660,66	9
109,9801	0,019932

Parametry a i b i ich niepewności wyznaczono za pomocą funkcji REGLINP w programie Microsoft Excell. W przypadku wyznaczenia tych współczynników dwoma początkowymi parametrami funkcji REGLINP oddzielonymi średnikami, są zakresy danych pomiarowych komórek zmiennej y i zmiennej x. Wartość trzeciego parametru jest równa 1, natomiast czwartego 1.

A = 17,21128 u(A) = 0,077234

B = -0,07089 u(B) = 0,030716

R_śr = 17,21128 u(R) = 0,77234

Równanie prostej wynosi y = 0,0172x – 0,0709

1. Sporządzić wykres zależności U_~(I_~) dla obwodu z cewką zasilanego prądem przemiennym. Na wykresie zaznaczyć niepewności u(U_~) oraz u(I_~).

Zakres woltomierza 150 V - podziałka 1 V

Zakres amperomierza 1,5 A - podziałka 1 A

$$u\left( U\_ \right) = \ \frac{\text{ΔU}}{\sqrt{3}} = \ \frac{1}{\sqrt{3}} = 0,577\ \lbrack V\rbrack$$

$$u\left( I\_ \right) = \frac{\text{ΔI}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = 0,577\ \lbrack A\rbrack$$

1. Wartości Z oraz u(Z) wyznaczyć metodą najmniejszych kwadratów podobnie jak w punkcie 2.

58,00751	0,607625
0,507623	0,362047
0,999311	0,366998
13058,27	9
1758,788	1,212189

A = 58,00751 u(A) = 0,507623

B = 0,607625 u(B) = 0,366998

Z_śr = 58,00751 u(Z) = 0,507623

y = 58,00751x + 0,607625

1. Obliczyć indukcyjność cewki oraz niepewność złożoną u(L).

Indukcyjność cewki wyznaczono ze wzoru :

$$L = \frac{\sqrt{Z^{2} - R^{2}}}{\omega}$$

Gdzie :

ω = 2πf

$$L = \ \frac{\sqrt{{(58,00751}^{2} - {\ 17,21128}^{2}}}{2 \bullet 3,14 \bullet 50} = 0,17642\ \lbrack H\rbrack$$

Niepewność u(L) wyznaczono następująco:

$u\left( L \right) = \ \sqrt{\left\lbrack \frac{\partial L}{\partial Z} \bullet u(Z) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial L}{\partial R} \bullet u(R) \right\rbrack^{2}} = \sqrt{\left\lbrack \frac{1}{2\text{πf}} \bullet \frac{2\ Z}{2\sqrt{Z^{2} - R^{2}}} \bullet u\left( Z \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{1}{2\text{πf}} \bullet \frac{- 2R}{2\sqrt{Z^{2} - R^{2}}} \bullet u(R) \right\rbrack^{2}}$

$$u\left( L \right) = \ \sqrt{\left\lbrack \frac{2 \bullet 58,00751}{6,28 \bullet 50 \bullet 2\sqrt{{58,00751}^{2} - {17,21128}^{2}}} \bullet 0,507623 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{- 2 \bullet 17,21128}{6,28 \bullet 50 \bullet 2\sqrt{{58,00751}^{2} - {17,21128}^{2}}} \bullet 0,77234 \right\rbrack^{2}}$$

u(L) = 0, 001694 + 0, 0007618 ≅ 0, 002456 [H]

1. Sporządzić wykres zależności U_~(I_~) dla obwodu z kondensatorem. Na wykresie zaznaczyć niepewności u(U_~) oraz u(I_~). Wyznaczyć oporność bierną kondensatora.

Oporność bierną wyznaczono następująco:

$$X_{c} = \frac{U}{I}\ = \frac{20}{0,2} = 100\ \lbrack\mathrm{\Omega}\rbrack$$

1. Korzystając z metody najmniejszych kwadratów obliczyć X_C oraz u(X_C).

100	7,11E-15
7,95288E-15	3,34E-15
1	3,34E-15
1,58107E+32	9
1760	1E-28

Parametry te, podobnie jak w poprzednich punktach wyznaczono w programie Microsoft Excell za pomocą funkcji Reglinp.

X_C = 100 u(X_C) = 7,95288∙10^-15

1. Obliczyć wartość pojemności kondensatora C oraz niepewność złożoną u(C).

Pojemność kondensatora wyznaczono następująco:

$$C = \frac{1}{2\text{πf}X_{C}} = \frac{1}{6,28 \bullet 50 \bullet 100} = 3,18471 \bullet 10^{- 5} \cong 0,318\ uF$$

Natomiast niepewność u(C) wyznaczono ze wzoru:

$$u\left( C \right) = \ \sqrt{\left\lbrack \frac{\partial C}{\partial X_{C}} \bullet u(X_{C}) \right\rbrack^{2}} = \sqrt{\left\lbrack \frac{- 1}{2\text{πf}X_{C}^{2}} \bullet u(X_{C}) \right\rbrack^{2}}$$

$$u\left( C \right) = \ \sqrt{\left\lbrack \frac{- 1}{6,28 \bullet 50 \bullet 10000} \bullet 7,95288 \bullet 10^{- 15} \right\rbrack^{2}} \cong 2,5328\ \bullet 10^{- 21}\ \lbrack F\rbrack$$

1. Wnioski

W przeprowadzonym doświadczeniu wyznaczano indukcyjności cewki i pojemności kondensatora w obwodzie prądu stałego i zmiennego. Doświadczenie wykazało, że zarówno przy prądzie stałym i zmiennym, natężenie prądu rośnie liniowo wraz z wzrostem napięcia. Otrzymane wartości pozwoliły na wyznaczenie oporu cewki i kondensatora, a następnie indukcyjności cewki.