Nr ćw. 109	07.04 2011	wykonał	Wydział Technologii Chemicznej	Semestr II	Grupa nr 4 Czwartek 10:30
prowadzacy	Przygotowanie	Wykonanie	Ocena ost.

„Badanie ruchu jednostajnie przyspieszonego za pomocą komputerowego zestawu pomiarowego”

1. Opracowanie teoretyczne.

Ruch, jaki wykonuje ciało, zależy od rodzaju działającej na nie siły. Przykładowo ruch jednostajny wywoływany jest przez siłę zerową, ruch jednostajnie zmienny – siłę stałą. W opisie ruchu obiektu, wygodnie jest się posługiwać pojęciem punktu materialnego, jeżeli oczywiście wymiary, które pomijamy, nie mają wpływu na jego ruch. Położenie takiego punktu w przestrzeni trójwymiarowej opisuje wektor wodzący, wyrażony przez trzy współrzędne:

.

Ruch cechują trzy wielkości: droga s, prędkość v, przyspieszenie a. Ogólnie są one określone przez wektory, ale ponieważ w danym ćwiczeniu jest rozważany jedynie ruch po linii prostej, pod uwagę bierzemy wielkości skalarne. W takim przypadku prędkość i przyspieszenie definiujemy następująco:

,

.

Stałe przyspieszenie, cechujące rozważany w niniejszym ćwiczeniu ruch (jednostajnie zmienny) obiektu, pozwala na wyznaczenie prędkości w dowolnej chwili t. Odpowiednie przekształcenia powyższych wzorów prowadzą do właściwych zależności (bierzemy również pod uwagę prędkość początkową v₀ w chwili t₀).

Na każde ciało znajdujące się w polu grawitacyjnym Ziemi działa siła skierowana do jej środka. Siła ta nazywa się siłą ciężkości. Jej wartość określa prawo powszechnej grawitacji:

,

gdzie G jest stałą grawitacji, m – masą ciała, M – masą Ziemi, R – odległością od środka Ziemi.

Siłę ciężkości możemy wyrazić także przez II zasadę dynamiki:

.

Po porównaniu obu zależności otrzymujemy wyrażenie:

,

gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim.

Poznawszy siłę ciężkości możemy przejść do zagadnienia równi pochyłej. Siła ta, dla ciała spoczywającego na równi, rozkłada się na dwie składowe siły: równoległą F oraz prostopadłą do równi N. Pierwsza z nich prowadzi do ruchu wzdłuż równi natomiast druga nie powoduje ruchu, lecz przyczynia się do nacisku ciała na podłoże. Obie siły zależą od kąta nachylenia równi i wynoszą odpowiednio:

,

.

Poniżej znajduje się rysunek ilustrujący sytuację (dodatkowo pojawiają się elementy uwzględnione w praktycznej części ćwiczenia).

Nacisk na podłoże powoduje siłę tarcia, która utrudnia wprowadzenie ciała w ruch bądź go spowalnia. Siła tarcia jest proporcjonalna do nacisku:

,

gdzie μ jest współczynnikiem tarcia.

Na wózek działają trzy siły równoległe do powierzchni równi, dwie z nich przeciwnie do działania siły zsuwającej: siła tarcia T i naprężenia nici S oraz wspomniana siła zsuwająca F. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki ich siłę wypadkową stanowi:

.

To samo można uczynić wobec przeciwwagi wózka:

.

Wyznaczając S z ostatniego równania i podstawiając do pierwszego wraz z wyprowadzonymi uprzednio wyrażeniami na F i T otrzymujemy równanie:

.

Z powyższego wyprowadzamy wzór na poszukiwany współczynnik tarcia:

1. Wyniki pomiarów bezpośrednich.

Lp.	Kąt [°]	Mdodatkowa [g]	Mwózka [g]	Obciążenie [g]	Przyspieszenie a1 [m/s^2]	Przyspieszenie a2 [m/s^2]	Przyspieszenie a3 [m/s^2]	Przyspieszenie średnie aśr [m/s^2]	Współczynnik tarcia μ
1.	5	0	357	0	0,72999	0,71106	0,71455	0,718533	0,0139
2.		20	377	0	0,752940	0,764741	0,743972	0,753884	0,0103
3.		50	407	20	0,35068	0,35112	0,35353	0,351777	0,0004
4.		50	407	0	0,773723	0,77716	0,768592	0,773158	0,0083
5.	10	0	357	0	1,26896	1,274407	1,268165	1,270511	0,0446
6.		20	377	0	1,26608	1,29750	1,297881	1,287154	0,0429
7.		20	377	50	0,306016	0,19382	0,184827	0,228221	0,0148
8.		50	407	20	0,870038	0,870026	0,874913	0,871659	0,0316
9.	15	0	357	50	0,644018	0,65143	0,640463	0,645304	0,0452
10.		20	377	50	0,716034	0,709066	0,711866	0,712322	0,0454
11.		40	397	50	0,758688	0,78576	0,784153	0,7762	0,0734
12.		90	447	83	0,33184	0,320222	0,317607	0,323223	0,0185
13.	20	0	357	70	0,732426	0,714246	0,736234	0,727635	0,0608
14.		20	377	70	0,82698	0,82791	0,820825	0,825238	0,2131
15.		40	397	83	0,64205	0,63728	0,655645	0,644992	0,1796
16.		70	427	83	0,787857	0,763298	0,78241	0,777855	0,0912
17.	25	0	357	83	0,901035	0,908767	0,903732	0,904511	0,0842
18.		20	377	83	0,966976	0,95164	1,011715	0,976777	0,0892
19.		40	397	83	1,09906	1,130412	1,129118	1,11953	0,0832
20.		50	407	83	1,169953	1,20941	1,189421	1,189595	0,0800

Spadek swobodny.

Doświadczenie zostało przeprowadzone zgodnie z opisem zawartym w „metodzie pomiarowej”. Wykonana została seria dziesięciu pomiarów. Poniższa tabela prezentuje otrzymane wyniki.

Lp.	Przyspieszenie g [m/s^2]
1.	9,78738
2.	9,80012
3.	9,87630
4.	9,823634
5.	9,69867
6.	9,68662
7.	9,71882
8.	9,62812
9.	9,58845
10.	10,426487

1. Przykładowe obliczenia.

Spadek swobodny.

Na podstawie serii otrzymanych wyników pomiaru przyspieszenia obliczamy średnią arytmetyczną:

$$g_{sr} = \frac{98,034601}{10} = 9,8035\ \lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$$

Równia pochyła.

Dla każdego pomiaru obliczam współczynnik tarcia na podstawie wzoru wyprowadzonego w „metodzie pomiarowej” dla ruchu ciała po równi pochyłej z uwzględnieniem pozostałych potrzebnych danych.

Przykładowe obliczenia dla kąta nachylenia równi α = 5º.

• m = 357 [g] = 0,357 [kg] – masa wózka

g = 9,8 [m/s²] – przyspieszenie ziemskie

α = 5° - kąt nachylenia

m₁ = 0 [kg] – obciążenie przeciwwagi

a = 0,718533 [m/s²]

$$\mu = \frac{m\left( g \bullet sin\alpha - a \right) - m_{1}(a + g)}{mg \bullet cos\alpha} = \frac{0,357(9,8 \bullet sin5^{} - 0,7185)}{0,357 \cdot 9,8 \cdot cos5^{\circ}} = 0,0139$$

• m = 407 [g] = 0,407 [kg] – masa wózka+masa dodatkowych krążków

g = 9,8 [m/s²]

α = 5°

m₁ = 20 [g] = 0,02 [kg]

a = 0,351777 [m/s²]

$$\mu = \frac{0,407\left( 9,8 \bullet sin5^{} - 0,3518 \right) - 0,02(0,3518 + 9,8)}{0,407 \bullet 9,8 \bullet cos5^{}} = 0,00039$$

Na podstawie wyników otrzymanych w tabeli obliczamy średnią współczynnika tarcia:

$$\mu_{sr} = \frac{1,2306}{20} = 0,0615$$

1. Dyskusja błędu.

Odchylenie standardowe dla współczynnika tarcia:

σ_n = 0, 0551

Odchylenie standardowe średnie współczynnika tarcia:

$$\sigma_{sr} = \frac{\sigma_{n}}{\sqrt{n}}$$

$$\sigma_{sr} = \frac{0,0551}{\sqrt{20}} = 0,0123$$

Ostateczna postać współczynnika tarcia:

μ_sr = 0, 0615 ± 0, 0123

1. Wnioski.

Obliczone przyspieszenie ziemskie jest zgodne z wielkością tablicową. Dokładność pomiaru może być sporna, ponieważ intuicyjnie wiele czynników mogło na nią wpływać podczas wykonywania pomiaru. Znacznie trudniej jest mówić o niemałej dokładności pomiaru w przypadku drugiego doświadczenia. Spore zróżnicowanie wartości współczynnika tarcia dla różnych warunków wskazuje na bardzo małą dokładność zestawu pomiarowego. Zastrzeżenia mógł choćby budzić śliski sznurek, który przewieszony był przez krążek – element istotny dla pomiarów. Przy niewielkich ciężarach mogło bowiem tym bardziej dochodzić do poślizgu, co skutecznie wpływało na niewłaściwą prędkość obrotu krążka.