Zadania na ćwiczenia z Akustyki Analitycznej – zestaw I na dzień 14.03.2014

1. Wykazać tożsamości wektorowe

rot grad f ≡  0,

$$\text{div\ rot\ }\overrightarrow{A} \equiv 0.$$

Oznaczenia $\overrightarrow{A} = \ \overrightarrow{A}\left( x,\ y,\ z \right) - \ \text{funkcja}\ \text{wekto}\text{rowa},\ \ \ f = f\left( x,y,z \right) - \ \text{funkcja}\ \text{skalarna}$

1. Wykazać, że

$$\text{rot\ }\left( \text{rot\ }\overrightarrow{A} \right) = \ grad\left( \text{div\ }\overrightarrow{A} \right) - \ lap\ \overrightarrow{A},$$

$$\text{div}\left( f\overrightarrow{A} \right) = \ f\ div\ \overrightarrow{A} + \overrightarrow{A} \bullet gradf,$$

$$\text{rot}\left( f\overrightarrow{A} \right) = \ frot\ \overrightarrow{A} + \ \overrightarrow{A} \times \left( \text{gradf} \right).$$

1. Niech $\overrightarrow{A} = \left( 0,\ \ 0,\ \ x^{2} \right),\ \ \ \overrightarrow{B} = \left( x,\ y,\ z \right).$

Obliczyć diwergencję i rotację oby funkcji/pól wektorowych. Które pole wektorowe można przedstawić jako gradient funkcji skalarnej? Znaleźć odpowiedni potencjał skalarny. Które pole wektorowe można przedstawić jako rotację funkcji wektorowej? Znaleźć odpowiedni potencjał wektorowy.

1. Pokazać, że $\overrightarrow{C\ } = \left( \text{yz},\ \text{zx},\ \text{xy} \right),\ \ $można przedstawić zarówno jako gradient pewnej funkcji skalarnej jak i rotację funkcji wektorowej. Znaleźć odpowiedni potencjał skalarny i wektorowy.

Wskazówka do zadań 3 i 4. Skorzystać z wyników zadania 1

1. Przypomnieć sobie z analizy matematycznej twierdzenia Gaussa (o diwergencji), Stokesa (o rotacji).

Literatura:

1. . Griffiths:Podstawy elektrodynamiki (Rozdz.1: Analiza wektorowa)

2. D. Mc Quarrie: Matematyka dla przyrodników i inżynierów, t.1

(obie pozycje dostępne w bibliotece AGH)