- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 1
RACHUNEK WEKTOROWY W PRZESTRZENI
Wersory na osiach układu współrzędnych
→
→
→
Wektory i = [1 , 0 , 0], j = [0 , 1 , 0], k = [0 , 0 , 1] nazywamy wersora-mi odpowiednio osi OX , OY , OZ.
Długość wektora
→
→
→
→
i
Niech dany będzie wektor a = hax , ay , az = ax i + ay j + az k .
→
Długość wektora a opisuje wzór:
→ de f q
a
=
a2x + a2y + a2z
UWAGA
→
Długość wektora a = x , y , z jest równa odległości punktu P (x , y , z) od poczatku układu współrzędnych.
Każdy wektor o długości 1 nazywamy wersorem.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 2
Własności długości wektora
→ →
Niech a , b będą wektorami w R3 oraz niech α ∈ R.
Wtedy:
→
→
→ →
•
a
0, przy czym a = 0 ⇔ a = 0
→
→
• α
· a = |α| · a
→
→
→
→
• a + b 6 a + b
→
→
→
→
• a − b 6 a − b
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 3
→
→
ILOCZYN SKALARNY DWÓCH WEKTORÓW
a ◦ b
→
→
Niech a i b będą dowolnymi wektorami w R3.
→
→
Iloczyn skalarny wektorów a i b określamy wzorem :
→
→
→
→
→
→
a ◦ b =
a
· b · cos ≺ a , b
→
→
i
i
Jeżeli a = hax , ay , az i b = hbx , by , bz , to iloczyn skalarny tych wektorów liczymy ze wzoru:
→
→
a ◦ b = ax · bx + ay · by + az · bz
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 4
→
→
Rzut wektora a na oś o kierunku wektora b
→
→
→
Wektor c , będący rzutem wektora a na oś o kierunku wektora b , wyznaczamy ze wzoru:
→
→
→ b
→
→
c =
a
cos ≺ a , b
→
b
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 5
Własności iloczynu skalarnego
→ →
→
Niech a , b i c będą dowolnymi wektorami w R3 oraz niech α ∈ R.
Wtedy:
→
→
→
→
• a ◦ b = b ◦ a
→
→
→
→
• α· a ◦ b = α · a ◦ b
→
→
→2
• a ◦ a =
a
→
→
→
→
→
→
•
a + b ◦ c = →
a ◦ c + b ◦ c
→
→
→
→
• a ◦ b 6 a · b
→
→
→
→
• wektory a i b są prostopadłe ⇔ a ◦ b = 0
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 6
ILOCZYN WEKTOROWY DWÓCH WEKTORÓW
Orientacja trójki wektorów
→
→
→
Niech a = x ,
,
,
,
,
,
1
y1 z1 , b = x2 y2 z2 , c = x3 y3 z3 będą wektorami w R3.
→ → →
Mówimy, że wektory a , b i c tworzą układ o orientacji zgodnej z orientacją układu współrzędnych, jeżeli:
x
1 y1 z1
x
> 0
2 y2 z2
x3 y3 z3
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 7
UWAGA
x
1 y1 z1
→
→
→
Dla x
< 0 orientacja układu wektorów a , b , c jest przeciwna do 2 y2 z2
x3 y3 z3
orientacji układu współrzędnych.
→
→
ILOCZYN WEKTOROWY DWÓCH WEKTORÓW
a × b
→
→
Niech a i b będą niewspółliniowymi wektorami w R3.→ →
→
Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów a i b nazywamy wektor c , który spełnia warunki:
→
→
• jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach a i b
→
→
• jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b .
→
→
→
→
→
→
|P
r| = a × b = a
· b · sin ≺ a , b
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 8
UWAGA
→ →
Jeżeli jeden z wektorów a , b jest wektorem zerowym lub jeżeli wektory te są współ-
→
→
→
liniowe, to przyjmujemy, że a × b = 0 .
Wzór na iloczyn wektorowy dwóch wektorów
→
→
Niech a = x ,
,
,
,
1
y1 z1 , b = x2 y2 z2 będą wektorami w R3.
Wówczas
→ → →
i
j k
→
→
a × b =
x1 y1 z1
x
2 y2 z2
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 9
Własności iloczynu wektorowego
→ →
→
Niech a , b i c będą dowolnymi wektorami w R3 oraz niech α ∈ R.
Wtedy:
→
→
→
→
• a × b = − b × a
→
→
→
→
→
• α· a × b = α · a × b
= →
a × α· b
→
→
→
→
→
→
•
a + b × c = →
a × c + b × c
→
→
• a × a = 0
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 10
→
→
ILOCZYN MIESZANY
a , b , →
c
→ →
→
Niech a , b i c będą dowolnymi wektorami w R3.
→ → →
Iloczyn mieszany uporządkowanej trójki wektorów a , b , c określamy wzorem:
→
→
de f →
→
→
a , b , →
c
= a × b ◦ c
Wzór na iloczyn mieszany trzech wektorów
→
→
→
Niech a = x ,
,
,
,
,
,
1
y1 z1 , b = x2 y2 z2 i c = x3 y3 z3 będą dowolnymi wektorami w R3.
Wówczas
x
1 y1 z1
→
→
a , b , →
c
= x
2 y2 z2
x3 y3 z3
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 11
Własności iloczynu mieszanego
→ → → →
Niech a , b , c , d będą dowolnymi wektorami w R3 oraz niech α ∈ R.
Wtedy:
→
→
→
•
a , b , →
c
= b , →c , →
a
→
→
→
•
a , b , →
c
= − b , →
a , →
c
→
→
→
→
→
→
→
•
a + d , b , →
c
= a , b , →c + d , b , →c
→
→
→
→
• α· a , b , →
c
= α · a , b , →c
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 12
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA ILOCZYNU MIESZANEGO
→ → →
• Iloczyn mieszany wektorów a , b , c jest równy ( z dokładnością do znaku )
→ → →
objętości równoległościanu V rozpiętego na wektorach a , b , c .
→
→
V = a , b , →
c
→ → →
• Objętość czworościanu rozpiętego na wektorach a , b , c :
→
→
V = 1 a , b , →
c
6
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 13
Cosinusy kierunkowe
→
i
Niech wektor a =
hax , ay , az tworzy z osiami układu odpowiednio kąty α , β , γ.
→
Cosinusy tych kątów nazywamy cosinusami kierunkowymi wektora a i wyznaczamy je ze wzorów:
ay
cos α = ax ,
cos β =
, cos γ = az
→
→
→
a
a
a
UWAGA
Między cosinusami kierunkowymi wektora zachodzi związek cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 14
WZAJEMNE POŁOŻENIE WEKTORÓW Niech dane będą dwa niezerowe wektory
→
→
przestrzeni R3: a = x ,
,
,
,
1
y1 z1 i b = x2 y2 z2 .
Wówczas
• Wektory równoległe (kolinearne)
→
→
x
→
→
a ||
1
b ⇔
= y1 = z1, czyli a = k· b , k ∈ R
x2
y2
z2
→
→
→
→
lub sin ≺
a , b
= 0, czyli a × b = 0.
• Wektory prostopadłe (ortogonalne)
→
→
→
→
a | b ⇔ a ◦ b = 0
• Wektory współpłaszczyznowe (komplanarne)
→
→
a , b , →
c
= 0