- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 1
Całki podwójne
Rozważmy prostokąt P , określony na płaszczyźnie OX Y nierównościami
a ¬ x ¬ b,
c ¬ y ¬ d
oraz funkcję dwóch zmiennych f ( x, y) określoną i ograniczoną na tym prostokącie.
Prostokąt P dzielimy na n prostokątów Pk o polach ∆ σk, k = 1 , 2 , . . . , n.
Podział ten oznaczamy przez ∆ n.
Definicja( podziału prostokąta)
Podziałem prostokąta P , ozn. ∆ n, nazywamy zbiór prostokątów Pk, które całkowicie go wypełniają i mają parami rozłączne wnętrza.
Niech Ak ( xk, yk) oznacza dowolny punkt należący do prostokąta Pk,
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 2
tzw. punkt pośredni.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 3
Definicja( sumy całkowej)
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie P .
Niech punkty ( xk, yk) ∈ Pk. Nazywamy je punktami pośrednimi podziału prostokąta P .
Sumą całkową funkcji f ( x, y) po prostokącie P odpowiadajacą podzian
łowi ∆
X
n nazywamy Sn =
f ( xk, yk) · ∆ σk.
k=1
Uwaga
Suma całkowa jest przybliżeniem objętości bryły ograniczonej wykresem funkcji z = f ( x, y) 0 leżącym nad prostokątem P oraz płaszczyzną X OY przez sumę objętości prostopadłościanów o podstawach Pk i wysokościach f ( xk, yk) dla 1 ¬ k ¬ n.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 4
Definicja( średnicy podziału)
Niech dk oznacza długość przekątnej prostokąta Pk.
Liczbę δn = max dk nazywamy średnicą podziału ∆ n.
1 ¬k¬n
Dla danego prostokąta P liczba ta jest określona jednoznacznie.
Definicja( ciagu normalnego podziałów)
Ciąg podziałów (∆ n) nazywamy ciagiem normalnym podziałów, jeżeli odpowiadający mu ciąg średnic ( δn) dąży do zera, tj.
lim
δn = 0.
n→+ ∞
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 5
Definicja( całki podwójnej po prostokącie)
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie P .
Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie P definiujemy wzorem: def
n
Z
Z
f ( x, y, ) dxdy =
lim
X
f ( xk, yk) · ∆ σk,
P
δn→ 0 k=1
o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie zależy od sposobów podziału prostokąta P , ani od sposobów wyboru punktów pośrednich ( xk, yk).
Mówimy wówczas, że funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna na prostokącie P .
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 6
Uwaga
Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie P oznaczamy też symbolem Z
Z
f ( x, y, ) dP .
P
Całka podwójna po prostokącie jest naturalnym uogólnieniem całki z funkcji jednej zmiennej po przedziale.
Fakt( o całkowalności funkcji ciągłych)
Funkcja ciągła na prostokącie jest na nim całkowalna.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 7
Twierdzenie( o liniowości całki)
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na prostokącie P , to
• Z Z
Z
Z
Z
[ f ( x, y) ± g ( x, y)] dxdy =
f ( x, y) dP ± Z
g ( x, y) dP
P
P
P
• Z Z
Z
[ c · f ( x, y)] dxdy = c · Z
f ( x, y) dP,
c ∈ R
P
P
Twierdzenie( o addytywności całki względem obszaru całkowania) Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostokącie P , to dla dowolnego podziału tego prostokąta na prostokąty P 1 i P 2 o rozłącznych wnętrzach za-Z
Z
Z
Z
chodzi równość
f ( x, y) dxdy = Z
f ( x, y) dxdy + Z
f ( x, y) dxdy.
P
P 1
P 2
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 8
Twierdzenie( o zamianie całki podwójnej na całkę iterowaną) Jeżeli funkcja f jest ciągła na prostokącie P : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d, to
d b
b d
Z
Z
f ( x, y, ) dxdy = Z Z
Z
Z
f ( x, y) dx dy = f ( x, y) dy dx.
P
c a
a c
Uwaga
Całki występujące w tezie powyższego twierdzenia nazywamy krótko całkami iterowanymi funkcji po prostokącie.
Przykład
Obliczyć podane całki iterowane:
2 3
3 2
a) Z Z
Z
Z
x + y 2 x dy
dx ;
b)
x + y 2 x dx dy ;
1 0
0 1
ln 4 ln 3
ln 3 ln 4
c) Z Z
Z
Z
ex+ y) dy dx ;
d)
ex+ ydx dy
0
0
0
0
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 9
Przykład
Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych prostokątach:
a) Z Z x y 2 dxdy
P = [0 , 1] × [ − 1 , 1]
P
π π
π
b) Z Z sin ( x + y) dxdy
P = − , × 0 ,
P
4 4
4
xydxdy
c) Z Z
P = [0 , 1] × [0 , 1]
s
P
x 2 + y 2 + 1
2 y 2
3 x
d) Z Z
+
dxdy
P = [1 , 3] × [1 , e]
P
x 3
y
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 10
Fakt( o całce podwójnej z funkcji o rozdzielonych zmiennych) Jeżeli funkcja f jest funkcją o rozdzielonych zmiennych postaci f ( x, y) = g ( x) · h ( y), gdzie funkcje g i h są ciągłe odpowiednio na przedziałach ha, bi i hc, di, to całka podwójna po prostokącie P : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d może być liczona jako
b
d
Z
Z
f ( x, y) dxdy = Z
Z
g ( x) dx · h ( y) dy
P
a
c
Przykład
Podane całki zamienić na sumy i iloczyny całek pojedyńczych:
π π
π
a) Z Z cos ( x + y) dxdy
P = − , × 0 ,
P
4 4
4
b) Z Z ex+ ydxdy
P = [0 , 1] × [0 , 1]
P
c) Z Z x y ( x + y) dxdy
P = [ − 1 , 1] × [ − 1 , 1]
P
x
d) Z Z x y ln dxdy
P = [1 , e] × [1 , 2]
P
y
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 11
Całki podwójne w obszarze normalnym
Definicja( obszaru normalnego względem osi OX )
Obszar domknięty D, określony nierównościami
ϕ ( x) ¬ y ¬ ψ ( x) ,
a ¬ x ¬ b, gdzie funkcje ϕ ( x) i ψ ( x) są funkcjami ciągłymi w przedziale ha, bi, nazywamy obszarem normalnym wzglę-
dem osi OX .
Twierdzenie( o obliczaniu całki na obszarze normalnym względem osi OX ) Całkę podwójną funkcji f ciągłęj na obszarze
D = {( x, y) : a ¬ x ¬ b,
ϕ ( x) ¬ y ¬ ψ ( x) }, gdzie funkcje ϕ ( x) i ψ ( x) są funkcjami ciągłymi w przedziale ha, bi, normalnym względem osi OX , obliczamy następująco
b ψ( x)
Z
Z
f ( x, y, ) dxdy = Z Z
f ( x, y) dy dx.
P
a ϕ( x)
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 12
Definicja( obszaru normalnego względem osi OY )
Obszar domknięty D, określony nierównościami
α ( y) ¬ x ¬ β ( y) ,
c ¬ y ¬ d, gdzie funkcje α ( y) i β ( y) są funkcjami ciągłymi w przedziale hc, di, nazywamy obszarem normalnym względem osi OY .
Twierdzenie( o obliczaniu całki na obszarze normalnym względem osi OX ) Całkę podwójną funkcji f ciągłęj na obszarze
D = ( x, y) : c ¬ y ¬ d,
α ( y) ¬ x ¬ β ( y) , gdzie funkcje α ( y) i β ( y) są funkcjami ciągłymi w przedziale hc, di, normalnym wzglę-
dem osi OY , obliczamy następująco
d β( y)
Z
Z
f ( x, y, ) dxdy = Z Z
f ( x, y) dx dy.
P
c α( y)
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 13
Przykład
Zbadać, który z obszarów ograniczonych podanymi krzywymi jest normalny względem osi OX , a który względem osi OY . Naszkicować te obszary.
a) y = 0 ,
x = 2 ,
y = x 2
√
b) y = x 2 ,
y =
x
1
c) y =
,
y = x,
y = 2 x
( x > 0)
x
d) x 2 + y 2 = 1
s
s
e) y = − 1 ,
y = 1 ,
x = 2 − 1 − y 2 ,
x = 1 − y 2 − 1
π
π
f ) y = | sin x| ,
y = − 1 ,
x = − ,
x =
2
2
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 14
Przykład
Z
Z
Zamienić całkę podwójną
f ( x, y, ) dxdy na całki iterowane, jeżeli P
obszar D ograniczony jest podanymi krzywymi:
√
a) y = 1 +
2 x − x 2 ,
x = 0 ,
x = 2 ,
y = 0
1
b) y = x,
x y = 1 ,
y = 2
c) yx 2 = 1 ,
y = 1 ,
y = 2
d) y = |x − 1 | ,
y = 2 − |x − 1 |
√
e) x = 0 ,
x 2 + y 2 = 1 ,
y =
x
( y 0)
f ) x = y 2 ,
y = x − 2
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 15
Przykład
Obliczyć podane całki podwójne:
a) Z Z x 2 − x y dxdy
D
= ( x, y) ∈ R 2 : y x,
y ¬ 3 x − x 2
D
b) Z Z (3 x − 2 y) dxdy
D = ( x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ¬ 1
D
√
c) Z Z x y dxdy
D = ( x, y) ∈ R 2 : y ¬ 6 − x, y x,
x 0
P
1
d) Z Z y dxdy
D =
( x, y) ∈ R 2 : x ¬ arcsin y,
y ¬ √ ,
x 0
P
2
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 16
Definicja( obszaru regularnego na płaszczyźnie)
Sumę skończonej liczby obszarów normalnych (względem osi OX lub OY ) o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy
obszarem regularnym na płaszczyźnie.
Fakt( całka po obszarze regularnym na płaszczyźnie) Niech obszar regularny D będzie sumą obszarów normalnych D 1 , D 2 , . . . , Dn o parami rozłącznych wnętrzach oraz niech funkcja f będzie całkowalna na tym obszarze. Wtedy
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
f ( x, y) dP =
f ( x, y) dP +
f ( x, y) dP + . . . +
f ( x, y) dP
D
D 1
D 2
Dn
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 17
Przykład
Obliczyć podane całki podwójne po zbiorach ograniczonych wskaza-
nymi krzywymi:
a) Z Z x ydxdy
D : x y = 1 ,
|x − y| = 1
D
s
b) Z Z ( x + y) dxdy
D : y = |x|,
2 y = |x| ,
|x| ¬ 1
D
s
c) Z Z y dxdy
D : y = 2 − x 2 ,
y = − 1 ,
y = 1 ,
x = 1 − 1 − y 2
P
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 18
Zamiana zmiennych w całce
podwójnej
x = x ( u, v)
Rozważmy układ funkcji y = y ( u,v)
określonych na pewnym obszarze domknietym ∆.
Definicja( przekształcenie obszarów na płaszczyźnie) Niech ∆ i D będą obszarami odpowiednio na płaszczyznach U OV i XOY .
Przekształceniem obszaru ∆ w obszar D nazywamy funkcję T : ∆ → D
określoną wzorem
( x, y) = T ( u, v) = ( φ ( u, v) , ψ ( u, v)), gdzie ( u, v) ∈ ∆.
Obrazem zbioru ∆ przy przekształceniu T nazywamy zbiór def
T (∆) == {( x, y) : x = φ ( u, v) , y = ψ ( u, v) , ( u, v) ∈ ∆ }.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 19
Przekształcenie T nazywamy:
• ciagłym, jeżeli funkcje φ i ψ są ciągłe na obszarze ∆;
• różnowartościowym, jeżeli różnym punktom obszaru ∆ odpowiadają różne punkty jego obrazu D.
Fakt( obraz obszaru przy przekształceniu)
Obraz obszaru przy przekształceniu ciagłym i różnowartościowym jest również obszarem.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 20
Załóżmy, że funkcje φ i ψ są klasy C 1 na obszarze domkniętym ∆.
Definicja( jakobianu przekształcenia)
Funkcję (wyznacznik funkcyjny)
∂x
∂x
D( x, y)
def ∂u
∂v
J ( u, v) =
==
∂y
∂y
D( u, v)
∂u
∂v
x = x ( u, v)
naywamy jakobianem przekształcenia
.
y = y ( u, v)
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 21
Twierdzenie( o zamianie zmiennych w całce podwójnej) Jeżeli:
x = x ( u, v)
1. odwzorowanie
przekształca wzajemnie jednoznacznie
y = y ( u, v)
wnętrze ∆ na wnętrze D obszaru regularnego D, 2. funkcje x = x ( u, v) i y = y ( u, v) są klasy C 1 w obszarze Ω, przy czyn ∆ ⊂ Ω,
3. funkcja f ( x, y) jest ciągła w obszarze D, D( x, y)
4. jakobian J ( u, v) =
jest różny od zera w obszarze ∆,
D( u, v)
to
D( x, y)
Z
Z
f ( x, y) dxdy = Z Z f ( x( u, v) , y( u, v)) ·
dudv.
D
∆
D( u, v)
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 22
Współrzędne biegunowe
Definicja( współrzędnych biegunowych)
Położenie punktu P na płaszczyźnie można opisać parą liczb ( r, ϕ), gdzie
• ϕ oznacza miarę kąta między dodatnią częścią osi OX a promieniem wodzącym punktu P , przy czym 0 ¬ ϕ < 2 π) ;
• r oznacza odległość punktu P od początku układu współrzędnych, przy czym 0 ¬ r < + ∞
Parę liczb ( r, ϕ) nazywamy
współrzędnymi biegunowymi punktu płaszczyzny.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 23
Fakt
Współrzędne kartezjańskie ( x, y) punktu przestrzeni danego we współrzędnych biegunowych ( r, ϕ) określone są zależnościami:
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
Uwaga
Jakobian przekształcenia biegunowego wynosi
J ( ϕ, r) = r
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 24
Twierdzenie( współrzędne biegunowe w całce podwójnej) Niech
1. obszar ∆ we współrzędnych biegunowych będzie obszarem regularnym
2. funkcja f będzie ciągła na obszarze D, który jest obrazem obszaru
∆ przy przekształceniu biegunowym.
Wtedy
Z
Z
f ( x, y) dxdy = Z Z f ( r cos ϕ, r sin ϕ) · rdrdϕ.
D
∆
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 25
Zastosowania całek podwójnych w geometrii
• Pole obszaru
Z
Pole obszaru regularnego D ⊂ R 2 wyraża się wzorem |D| = Z
dP
D
• Objętość bryły
Objętość bryły V położonej nad obszarem regularnym D ⊂ R 2
i ograniczonej z dołu i z góry odpowiednio wykresami funkcji ciagłych z = d ( x, y) i z = g ( x, y) wyraża się wzorem
|V | = Z Z [ g ( x, y) − d ( x, y)] dP
D
• Pole płata powierzchniowego
Pole płata S, który jest wykresem funkcji z = f ( x, y), v
u
u
2
2
u
∂f
∂f
Z
u
gdzie ( x, y) ∈ D, wyraża się wzorem |S| = Z
u
u1 +
+
dP .
u
t
D
∂x
∂y