- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 1
Wyznaczniki
Definicja
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcję, która każdej macierzy rzeczywistej (zespolonej) A = [ai j] przypisuje liczbę rzeczywistą (zespoloną) det A. Funkcja ta jest określona wzorem indukcyjnym
• jeżeli macierz A ma stopień n = 1, to
det A = a11 ;
• jeżeli macierz A ma stopień n > 2, to
det A = (−1)1+1a11det A11 + (−1)1+2a12det A12 + . . .
. . . + (−1)1+na1ndet A1n
gdzie Ai j oznacza macierz stopnia n − 1 otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i - tego wiersza i j - tej kolumny.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 2
Obliczanie wyznaczników
• Wyznacznik drugiego stopnia
a b
det
= ad − bc
c d
• Wyznacznik trzeciego stopnia ( metoda Sarrusa)
a b c
det
= aei + b f g + cdh − (ceg + a f h + bdi)
d
e f
g h i
• Wyznaczniki stopnia n > 2
Rozwinięcie Laplace’a wyznacznika:
Niech A = [ai j] będzie macierzą kwadratową stopnia n > 2.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 3
Dopełnieniem algebraicznym elementu ai j macierzy A nazywamy liczbę D
,
i j = (−1)i+ jdet Ai j
gdzie Ai j oznacza macierz stopnia n − 1 otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i - tego wiersza i j - tej kolumny.
Wyznacznik macierzy A można obliczyć ze wzorów det A = ai1Di1 + ai2Di2 + . . . + ainDin
(suma iloczynów elementów i - tego wiersza i ich dopełnień algebraicznych) lub
det A = a1 jD1 j + a2 jD2 j + . . . + an jDn j (suma iloczynów elementów j - tej kolumny i ich dopełnień algebraicznych).
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 4
• Wyznaczniki macierzy trójkątnej
. . .
a
a
a
11
0 . . . 0
11 a12
1n
. . .
. . .
a21 a22
0
0 a22
a2n
det
= det
= a
11 · a22 · . . . · ann .
. . .
. . . . . . . . .
. . .
. . . . . . . . .
a
. . .
n1 an2
ann
0
0 . . . ann
Przykład
1
2
2
3
1
0 −2
0
Oblicz wyznacznik korzystając z rozwinięcia Laplace’a
.
3
−1
1 −2
4
−3
0
2
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 5
Własności wyznaczników
• Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolmnę (wiersz) złożoną z samych zer jest równy zero.
• Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie jednakowe kolumny (wiersze) jest równy zero.
• Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak, jeżeli przestawimy między sobą dwie kolumny (wiersze).
• Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (wiersza) macierzy kwadratowej zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy.
• Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny (wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie
wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (wiersza) są zastąpione tymi składnikami.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 6
• Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej kolumny (wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innej
kolumny (wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolną liczbę.
• Wyznacznik macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe.
Przykład
Oblicz wyznacznik korzystając z operacji elementarnych na wierszach lub kolumnach macierzy:
5
3 4 −2 0
3
4
5 −6
3 −1 2 −5 1
4 −3
5
1
a)
,
b)
7
2 8
3 1
−1
0
1
2
4 −5 4 −7 2
−4
3 −4
0
2
2 3
0 3
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 7
Definicja
Macierz kwadratową A nazywamy macierzą osobliwą, gdy det A = 0 .
W przeciwnym wypadku mówimy, że macierz A jest nieosobliwa.
Przykład
Dla jakich wartości parametru ”a” dana macierz A jest nieosobliwa:
1
a
1
a − 2
a + 2
a)
,
b)
.
1
a
2
a + 2 a − 2
2
a2 2a
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 8
Twierdzenie (Cauchy’ego o wyznaczniku iloczynu macierzy) Niech A i B będą macierzami kwadratowymi tego samego stopnia. Wtedy det (AB) = det A · det B .
Z twierdzenia tego wynika, że dla n ∈ N mamy
det (An) = (det A)n .
Przykład
1
2 3
Niech A =
. Obliczyć det A7.
0
4 2
1
0 3
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 9
Przykład
Obliczyć wyznacznik macierzy X spełniającej równanie:
1
0
0
1
0 1
1
7 36
· X ·
=
0
0 −3
2
−2 0
5
12
0
0
2
0
3
0 0
3
0
0
Przykład
Niech A i B będą macierzami kwadratowymi stopnia 3, spełniającymi warunki detA = 2 i detB = 3.
!3
1
h
i
Obliczyć det
A oraz det A4 (−B) .
2
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 10
Rząd macierzy
Definicja
Minorem stopnia k (k 6 min(m, n)) macierzy Am×n nazywamy wyznacznik dowolnej macierzy stopnia k, która powstaje z macierzy A przez skreślenie odpowiedniej liczby kolumn i wierszy.
Twierdzenie
Rząd macierzy jest równy stopniowi największego minora tej macierzy, różnego od zera.
Twierdzenie
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n.Wtedy rzA = n ⇔ det A , 0 .