- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 1
Macierze
Definicja
Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m × n, gdzie m, n ∈ N, nazywamy ta-blicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w m wierszach i n kolumnach:
. . .
. . .
a
a
a
11
a12
1 j
1n
. . .
. . .
a
a
a
21
a22
2 j
2n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . . . .
,
. . .
. . .
a
a
a
i1
ai2
i j
in
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . . . .
a
. . .
. . .
m1
am2
am j
amn
gdzie ai j - jest elementem będącym w i - tym wierszu oraz j - tej kolumnie.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 2
Definicja (rodzaje macierzy)
• Macierz wymiaru m × n, której wszystkie elementy są równe 0
nazywamy macierzą zerową wymiaru m × n i oznaczmy przez 0m×n lub 0.
• Macierz, której liczba wierszy równa się liczbie kolumn nazywamy macierzą kwadratową.
Elementy macierzy, które mają ten sam wymiar wiersza co kolumny, tworzą główną przekątną macierzy.
Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy stopniem macierzy kwadratowej.
• Macierz kwadratową stopnia n > 2, w której wszystkie elementy stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną dolną. Gdy wszystkie elementy stojące pod główną przekątną są równe 0, to taką macierz nazywamy macierzą trójkątną górną.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 3
• Macierz kwadratową, w której wszystkie elementy nie stojące na głównej przekątnej są równe 0, nazywamy macierzą diagonalną. Macierz taką oznaczmy symbolem diag(a ,
, . . . ,
11 a22
ann) .
Macierz diagonalną, w której wszystkie elementy głównej przekątnej są równe 1, nazywamy macierzą jednostkową. Macierz jednostkową stopnia n oznaczamy przez In lub I.
• Macierz, którą utworzono z macierzy Ai j , gdzie 1 6 i 6 m , 1 6 j 6 n , ustawionych w m wierszach i n kolumnach nazywamy macierzą blokową.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 4
Działania na macierzach
• Suma i różnica macierzy
Niech A = [ai j] i B = [bi j] będą macierzami wymiaru m × n.
Sumą (różnicą) macierzy A i B nazywamy macierz C = [ci j], której elementy są określone wzorem
c
.
i j = ai j ± bi j
• Iloczyn macierzy przez liczbę
Niech A = [ai j] będzie macierzą wymiaru m × n oraz niech α będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Iloczynem macierzy A przez liczbę α nazywamy macierz C = [ci j], której elementy są określone wzorem c
.
i j = α · ai j
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 5
Własności działań na macierzach
• A + B = B + A
• A + (B + C) = (A + B) + C
• A + 0 = 0 + A = A
• A + (−A) = 0
• α(A + B) = αA + αB
• (α + β)A = αA + βA
• 1 · A = A
• (αβ)A = α(βA)
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 6
• Iloczyn macierzy
Niech A = [ai j] będzie macierzą wymiaru m × n, a macierz B = [bi j] wymiaru n × k. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C wymiaru m × k, której elementy są określone wzorem
ci j = ai1b1 j + ai2b2 j + . . . + ainbn j
dla 1 6 i 6 m oraz 1 6 j 6 k. Piszemy wtedy C = AB.
Iloczyn macierzy A i B można obliczyć tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A równa się liczbie wierszy macierzy B.
Zamiast AA . . . A (n czynników) będziemy pisali An.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 7
Własności iloczynu macierzy
• Mnożenie macierzy kwadratowych nie jest przemienne, tzn. na ogół AB , BA.
• A(B + C) = AB + AC, gdzie Am×n, Bn×k, Cn×k
• (A + B)C = AC + BC, gdzie Am×n, Bm×n, Cn×k
• A(αB) = (αA)B = α(AB), gdzie Am×n, Bn×k, α ∈ R lub α ∈ C
• (AB)C = A(BC), gdzie Am×n, Bn×k, Ck×l
• AIn = ImA = A, gdzie Am×n
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 8
Definicja
Niech A = [ai j] będzie macierzą wymiaru m × n.
Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz B = [bi j] wymiaru n×m, której elementy są określone wzorem
b
,
i j = a ji
gdzie 1 6 i 6 n oraz 1 6 j 6 m. Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy przez AT .
(Przy transponowaniu, kolejne wiersze macierzy wyjściowej stają się kolejnymi kolum-nami macierzy transponowanej.)
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 9
Własności transpozycji macierzy
• (A + B)T = AT + BT
• (AT )T = A oraz (αA)T = αAT
• (AB)T = BT AT
• (An)T = (AT )n