- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 1
Szeregi liczbowe
Rozważmy nieskończony ciąg liczb
( an) :
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , an, . . . n ∈ N , który może być zbieżny lub rozbieżny.
Z wyrazów tego ciągu tworzymy nowy ciąg nieskończony ( Sn) :
S 1 , S 2 , S 3 , . . . , Sn, . . . n ∈ N , którego n - ty wyraz jest sumą n początkowych wyrazów ciągu ( an).
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 2
Mamy zatem:
S 1 = a 1
S 2 = a 1 + a 2
S 3 = a 1 + a 2 + a 3
· · ·
Sn = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + an Ogólnie zapisujemy to w postaci:
n
S
X
n =
ak
k=1
Definicja( Szeregu liczbowego)
n
Ciąg ( S
X
n) sum Sn =
ak nazywamy szeregiem liczbowym nieskończo-k=1
nym i oznaczamy symbolem
∞
X
an.
n=1
n
Sumę skończoną S
X
n =
ak nazywamy n - tą sumą częściową szeregu k=1
liczbowego.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 3
Składniki a 1 , a 2 , a 3 , . . . , an, . . . nazywamy wyrazami szeregu nieskończonego.
Składnik an - ogólnym wyrazem szeregu lub n - tym wyrazem szeregu.
Przykład
Obliczyć n-te sumy częściowe podanych szeregów:
∞ 7 n + 3 n
∞
1
∞
n
a) X
b) X
c) X ln
n=1
10 n
n=1 n ( n + 1)
n=1
n + 1
Definicja( zbieżności szeregu liczbowego) Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny do granicy właściwej, tzn. lim Sn = S, natomiast rozbieżnym w n→+ ∞
przypadku przeciwnym, tzn. kiedy granica ta jest niewłaściwa lub nie istnieje. Granicę S nazywamy sumą szeregu nieskończonego lub krótko sumą szeregu.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 4
Przykład
Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych szeregów liczbowych. W przypadku szeregów zbieżnych podać ich sumy:
∞
1
1
∞
∞
1
a) X
X
X
−
b)
( − 1) n
c)
n=1 n + 2
n + 1
n=1
n=1 n 2 + 5 n + 6
∞
1
∞
π
d) X √
√
e) X sin (2 n − 1)
n=1
n +
n + 1
n=1
2
Uwaga
Pomijając pewną liczbę początkowych wyrazów szeregu zbieżnego (lub rozbieżnego), otrzymujemy szereg zbieżny (lub rozbieżny).
Wniosek
∞
Badanie zbieżności szeregu X an można zastąpić badaniem zbieżności n=1
∞
szeregu X an. Szeregi te mogą mieć inne sumy.
n= k
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 5
Definicja( równości szeregów liczbowego)
∞
∞
X
a
X
n ≡
bn ⇔ ∀n∈Nan = bn
n=1
n=1
Uwaga
Równość szeregów zbieżnych jest równoznaczna z równością ich sum.
Odwrotna zależność nie zachodzi.
Definicja
Dla k będącego dowolną liczbą rzeczywistą, zachodzi równość
∞
∞
k · X a
X
n =
k · an.
n=1
n=1
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 6
Definicja
∞
∞
∞
Szereg X ( a
X
X
n + bn) nazywamy sumą szeregów
an i
bn.
n=1
n=1
n=1
Uwaga
∞
∞
Ze zbieżności szeregów X a
X
n i
bn wynika zbieżność ich sumy. Zależ-
n=1
n=1
ność odwrotna nie jest prawdziwa.
Twierdzenie
∞
∞
Jeżeli szeregi X a
X
n i
bn są zbieżne oraz ich sumy wynoszą odpo-
n=1
n=1
wiednio A i B, to
∞
X
( an + bn) = A + B
n=1
oraz
∞
X
k · an = k · A,
n=1
gdzie k jest dowolną liczbą rzeczywistą.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 7
Twierdzenie ( warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego)
∞
Jeżeli szereg nieskończony X an jest zbieżny, to lim an = 0.
n=1
n→+ ∞
Wniosek
∞
Jeżeli
lim a
X
n 6= 0, to szereg
an jest rozbieżny.
n→+ ∞
n=1
Przykład
Sprawdzić, czy dla podanych szeregów spełniony jest warunek konieczny zbieżności szeregów:
∞
7 n
∞
√
√
!
∞
1
a) X
b) X n
n 2 + 1 −
n 2 − 1 c)
X
cos sin
n=1 10 n ( n 2 − 7 n + 5) n=1
n=1
n
∞
∞
√
∞ sin ( n + 1)
d)
n
X
2( − 1) nn
e) X
e−n + 1
f ) X
n=1
n=1
n=1
n
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 8
Definicja( szeregu harmonicznego)
Szeregiem harmonicznym nazywamy szereg postaci
∞ 1
1
1
1
X
= 1 +
+
+
+ . . . .
n=1 n
2
3
4
Szereg harmoniczny jest szeregiem rozbieżnym.
Definicja ( szeregu Dirichleta)
Szeregiem Dirichleta (lub uogólnionym szeregiem harmonicznym al-
∞
1
bo szeregiem harmonicznym rzędu α) nazywamy szereg postaci X
,
n=1 nα
gdzie α oznacza dowolną liczbę rzeczywistą.
Twierdzenie
∞
1
Szereg Dirichleta postaci
X
jest:
n=1 nα
a) rozbieżny dla
α ¬ 1 .
b) zbieżny dla
α > 1
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 9
Szeregi o wyrazach nieujemnych
Twierdzenie
Jeżeli ciag sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ogra-niczony z góry, to ten szereg jest zbieżny.
Twierdzenie ( kryterium porównawcze typ I)
∞
∞
Jeżeli wyrazy szeregów
X
a
X
n oraz
bn są nieujemne, a ponadto
n=1
n=1
istnieje taka liczba naturalna N , że dla każdego n > N jest spełniona nierówność an ¬ bn, to
∞
1) ze zbieżności szeregu X bn
n=1 ∞
wynika zbieżność szeregu X an
n=1
∞
2) z rozbieżności szeregu X an
n=1 ∞
wynika rozbieżność szregu X bn
n=1
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 10
Uwaga
Przy zastosowaniu tego kryterium często posługujemy się szeregiem Dirichleta i szeregiem geometrycznym oraz korzystamy (z wyprowadzonych za pomocą granic lub znanych) nierówności: 1
3
• x < sin x < x
2
2
1
3
• x < tg x < x
2
2
• sin x < x < tg x
• ln x < ln ( x + 1) < x
• 0 ¬ | sin x| ¬ |x|
• 1 < ln x
• 0 < tg x < 2 x
• 0 < arctg x < π 2
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 11
Przykład
Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych szeregów:
∞
2 n 3
∞
1
∞ ln n
a) X
b) X
√
c)
X
√
n=1 n 5 + 3
n=1 n
n + 2
n=1
n 5
√
√
∞
1
1
∞
n + 2 −
n + 1
∞ 2 n 2 − 3
d) X
cos
e) X
f ) X
n=1 n 2
n
n=1
n
n=1 7 n 5 − 3
Twierdzenie ( kryterium porównawcze typ II)
∞
∞
Jeżeli wyrazy szeregów
X
a
X
n oraz
bn są dodatnie oraz istnieje
n=1
n=1
an
granica k =
lim
skończona i większa od zera, to badane szeregi
n→+ ∞ bn
sa jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 12
Twierdzenie ( kryterium d’Alemberta) a
Jeżeli istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) g =
lim
n+1 , to
n→+ ∞ an
∞
szereg
X
an o wyrazach dodatnich jest zbieżny, gdy g < 1, natomiast n=1
rozbieżny, gdy g > 1. W przypadku, gdy granica ta jest równa 1, to kryterium d’Alemberta nie rozstrzyga zbieżności badanego szeregu.
Uwaga
Kryterium to stosujemy głównie, gdy występują silnie ! .
Przykład
Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność podanych szeregów liczbowych.
∞ 3 n+2
∞ 2 nn!
∞ (2 n)!5 n
a) X
b) X
c) X
n=1 5 n!
n=1 nn
n=1
n 2 n
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 13
Twierdzenie ( kryterium Cauchy’ego)
√
Jeżeli istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) g =
lim
n
an,
n→+ ∞
∞
to szereg
X
an o wyrazach dodatnich jest zbieżny, gdy g < 1, nato-n=1
miast rozbieżny, gdy g > 1. W przypadku, gdy granica ta jest równa 1, to kryterium Cauchy’ego nie rozstrzyga zbieżności badanego szeregu.
Uwaga
Kryterium Cauchy’ego jest mocniejsze od kryterium d’Alemberta w tym sensie, że jeżeli kryterium d’Alemberta rozstrzyga o zbieżności szeregu, to i kryterium Cauchy’ego o niej rozstrzyga, ale nie zawsze jest na odwrót.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 14
Przykład
Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność podanych szeregów liczbowych.
∞
1
∞ ( n + 1) 5 n
∞
1
a) X arcsin n
b) X
c) X
n=1
n
n=1
3 n+12 n
n=1 ln n ( n + 1)
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 15
Twierdzenie ( kryterium całkowe)
Jeżeli m ∈ N oraz funkcja f jest nierosnąca i nieujemna na przedziale
+ ∞
∞
hm, + ∞)
Z
, to
f ( x) dx jest zbieżna ⇔ X fn jest zbieżny.
m
n= m
Przykład
Zbadać zbieżność szeregu Dirichleta (dla α 6= 1) za pomocą kryterium całkowego.
Przykład
Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność podanych szeregów liczbowych.
√
∞
1
∞
n
∞
n
a) X
b) X
c) X
n=1 3 n + 2
n=1 en 2
n=1 1 + n
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 16
Szeregi o wyrazach naprzemiennych i dowolnych
Definicja ( szeregu naprzemiennego)
∞
Szereg postaci
X
( − 1) n+1 a
n= m
n, gdzie an > 0, nazywamy naprzemien-nym.
Przykłady szeregów naprzemiennych
∞
∞ 2 ( − 1) n− 2
∞ cos ( nπ)
a) X ( − 1) n
n
;
b) X
;
c) X
n=1
n 2 + 4
n=1
n − 1
n=1 n 3 + 4 n
Twierdzenie ( kryterium Leibniza) Jeżeli spełnione są następujące wa-runki:
a) ciąg ( an) jest nierosnący
b)
lim an = 0 ,
n→+ ∞
to szereg naprzemienny jest zbieżny.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 17
Definicja ( szeregu anharmonicznego) Szeregiem anharmonicznym nazywamy szereg postaci
∞
1
1
1
X
( − 1) n+1 1 = 1 −
+
−
+ . . . .
n= m
n
2
3
4
Jest to szereg zbieżny.
Uwaga
Korzystając z szeregów liczbowych (zbieżnych) w praktyce ogranicza-my się zwykle do kilku wyrazów początkowych szeregu.
W przypadku szeregów naprzemiennych błąd (reszta sumy) można bar-dzo prosto oszacować. Błąd powstały przez zastąpienie sumy zbieżnego szeregu naprzemiennego sumą kilku początkowych wyrazów, jest mniej-szy od wartości bezwzględnej pierwszego z odrzuconych wyrazów.
Zatem jeżeli szereg naprzemienny spełnia założenia kryterium Leibniza, to dla każdego naturalnego n zachodzi |S − Sn| ¬ an+1.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 18
Definicja ( zbieżności bezwzględnej i warunkowej)
∞
Szereg X an o wyrazach dowolnych nazywamy szeregiem bezwzględ-n=1
∞
nie zbieżnym, jeżeli zbieżny jest jednocześnie szereg X
|an|.
n=1
∞
∞
Jeżeli zbieżny jest szereg
X
a
X
n, zaś szereg
|an| jest jednocześnie
n=1
n=1
∞
rozbieżny, to szereg
X
an nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.
n=1
Twierdzenie ∞
∞
Jeżeli szereg
X
|a
X
n| jest zbieżny, to zbieżny jest szereg
an.
n=1
n=1
Przykład
Zbadać zbieżność podanych szeregów liczbowych. Podać rodzaj zbież-
ności:
∞
∞
∞ cos nπ
a) X ( − 1) n n + 1 b) X ( − 1) n n c) X
n=1
n 3 + n
n=1
3 n
n=1 n ln2 n
∞ ( − 1) n n 2
∞
1 n
d) X
e) X −
n=1
n 3 + 1
n=1
ln n
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 19
Przykład 8
Zbadać zbieżność szeregów o wyrazach dowolnych
(jeśli można określ rodzaj zbieżności):
∞
( − 1) n
∞
∞ cos nα
a) X
;
b) X ( − 1) n+1
1
;
c) X
n=1 2 n − 1
n=1
(2 n − 1)3
n=1
n 2
∞
nπ
d) X sin
n=1
3
Przykład 9
∞
Oblicz przybliżoną wartość sumy szeregu X ( − 1) n 1
z dokładnością
n=1
n 3 + 1
do 0 , 01.