- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 1
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Definicja (pochodne cząstkowe pierwszego rzędu)
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu x ,
0 y0 .
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x w punkcie x ,
0 y0
określamy wzorem
∂ f
,
,
de f
f x
− f x y
==
0 + ∆x, y0
0
0
∂ x0 y0
lim
,
x
∆x→0
∆x
a względem zmiennej y w punkcie x ,
0 y0
∂ f
,
,
,
de f
f x y
y
==
0
0 + ∆y − f x0
0
∂ x0 y0
lim
.
y
∆y→0
∆y
Pochodne te oznaczamy również odpowiednio jako f x i f y.
Uwaga
Jeżeli granica określająca pochodną cząstkową jest właściwa (niewłaściwa), to mówi-my, że pochodna ta jest właściwa (niewłaściwa).
Jeżeli granica ta nie istnieje, wówczas to samo mówimy o pochodnej cząstkowej.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 2
Przykład
Korzystając z definicji obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji we wskazanych punktach:
a) f (x, y) = x,
P x ,
0 y0 = (−1, 1)
y
b) f (x, y) = y sin x,
P x ,
0 y0 = (0, π)
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 3
Uwaga
Związek między ciagłością funkcji a istnieniem pochodnych cząstkowych dla funkcji dwóch zmiennych wygląda odmiennie niż zależność ta dla funkcji jednej zmiennej.
Funkcja dwóch zmiennych może mieć w punkcie obie pochodne cząstkowe, ale nie musi być w tym punkcie ciągła.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 4
Uwaga
Przy obliczaniu pochodnej cząstkowej względem jednej zmiennej pozostałe zmienne traktujemy jak stałe.
de f
de f
niech F (x) == f x, y
,
,
0 oraz G (y) == g x0 y, gdzie x0 y0 jest ustalonym
punktem dziedzin funkcji f i g.
Wówczas
∂ f
∂
,
f
=
, =
∂ x0 y0
F0 x0 oraz
x0 y0
G0 y0 .
x
∂y
Uwaga
Do obliczania pochodnych cząstkowych mozna stosować reguły różniczkowania funkcji jednej zmiennej, tj. wzory na pochodne sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu oraz złożenia funkcji.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 5
Przykład
Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji:
x y
a) f (x, y) = ln x2 + y4 + 1 + xy ;
b) f (x, y) = arcsin
;
x + y
c) f (x, y) = sin2 x + 3 y5 ;
d) f (x, y) = 3parctg (x + ey x)
y
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 6
Definicja (pochodne cząstkowe drugiego rzędu)
∂ f
∂ f
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe
,
∂
przynajmniej na otoczeniu punk-
x
∂y
tu x ,
0 y0 .
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie x ,
0 y0 określamy wzorami:
∂2 f
!!
!!
de f
∂ ∂ f
∂2 f
de f
∂ ∂ f
x , y ==
x , y ,
x , y ==
x , y ,
∂
0
0
0
0
0
0
0
0
x2
∂x ∂x
∂x∂y
∂x ∂y
∂2 f
∂ ∂ !!
∂2
∂ ∂ !!
,
de f
f
f
de f
f
==
,
, ==
,
∂
x0 y0
x0 y0 ,
x0 y0
x0 y0 .
y∂x
∂y ∂x
∂y2
∂y ∂y
Powyższe pochodne oznacza się także odpowiednio przez fxx, fxy,
fyx,
fyy.
Uwaga
Analogicznie mozna zdefiniować pochodne cząstkowe wyższych rzędów.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 7
Przykład
Wyznacz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
a) f (x, y) = sin (3 x + 5 y) ;
b) f (x, y) = ex−y + x5 − y3 + 7 ;
x
c) f (x, y) =
ex
;
d) f (x, y) = arcsin
ln (x + y)
y
Twierdzenie (Schwarza o pochodnych mieszanych)
∂2 f
∂2 f
Jeżeli pochodne cząstkowe
,
,
∂
są ciagłe w punkcie x0 y0 , to są równe,
x∂y
∂y∂x
tzn.
∂2 f
∂2
,
f
=
,
∂
x0 y0
x0 y0
x∂y
∂y∂x
.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 8
Różniczka funkcji dwóch zmiennych
Twierdzenie
∂ f
∂ f
Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe
,
,
∂
ciągłe w punkcie x0 y0 ,
x
∂y
to jest rózniczkowalna w tym punkcie.
Rózniczkowalność funkcji f w punkcie x ,
0 y0 oznacza, że istnieje płaszczyzna stycz-
na (niepionowa) do wykresu tej funkcji w punkcie x ,
,
,
0 y0 f x0 y0 .
Fakt (równanie płaszcyzny stycznej do wykresu funkcji)
∂ f
∂ f
Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe
,
,
∂
w punkcie x0 y0 .
x
∂y
Wówczas płaszczyzna styczna do wykresu funkcji f w punkcie x ,
,
,
0 y0 f x0 y0
ma
postać
∂ f
∂ f
z − f x ,
,
,
0 y0 =
+
∂ x0 y0 x − x0
x0 y0 y − y0 .
x
∂y
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 9
Przykład
Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach tych wykresów:
π
a) f (x, y) = arctgx,
x ,
,
0 y0 z0 = 1, 0,
1 + y2
4
b) f (x, y) = xy,
x ,
,
0 y0 z0 = (2, 4, 16)
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 10
Definicja (różniczka funkcji dwóch zmiennych)
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie x ,
0 y0 .
Różniczką funkcji f w punkcie x ,
,
0 y0 nazywamy funkcję d f x0 y0 zmiennych
∆x, ∆y określoną wzorem:
de f ∂ f
∂ f
d f x ,
,
,
0 y0 (∆x, ∆y) ==
∆
∆
∂ x0 y0
x +
x0 y0
y.
x
∂y
Rózniczkę funkcji f dwóch zmiennych oznacza się krótko przez d f .
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 11
Uwaga
Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie x ,
0 y0 .
Wtedy
f x
,
,
0 + ∆x, y0 + ∆y ≈ f x0 y0 + d f x0 y0 (∆x, ∆y)
przy czym błąd δ (∆x, ∆y) = ∆ f − d f
q
dąży szybciej do 0 niż wyrażenie
(∆x)2 + (∆y)2, czyli
δ (∆x, ∆y)
lim
,
(∆x,∆y)→(0,0) q(∆x)2 + (∆y)2
tzn.
f x
, y − d f x , y (∆x, ∆y)
lim
0 + ∆x, y0 + ∆y − f x0
0
0
0
.
(∆x,∆y)→(0,0)
q
(∆x)2 + (∆y)2
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 12
Uwaga
Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie x ,
0 y0 .
Wtedy
∂ f
∂ f
f x
,
,
,
0 + ∆x, y0 + ∆y ≈ f x0 y0 +
∆
∆
∂ x0 y0
x +
x0 y0
y.
x
∂y
Przykład
Korzystając z różniczki zupełnej znajdź przybliżone wartości: a) (1, 02)3,01
arctg1, 001
b) arcsin 0, 49
√
√
c) ln 1 + 3 0, 97 −
1.04
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 13
Fakt (zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów) Niech wielkości fizyczne x, y, z będą związane zależnością z = f (x, y), gdzie funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.
Ponadto niech ∆x i ∆y oznaczają odpowiednio błędy bezwzględne pomiaru wielkości x i y.
Wtedy błąd bezwzględny ∆z wielkości z wyraża się wzorem przybliżonym:
∂
∂
∆
f
f
z ≈
∆
∆
x +
y.
∂x
∂y
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 14
Definicja (różniczka n-tego rzędu funkcji dwóch zmiennych) Niech funkcja f ma na otoczeniu punktu x ,
0 y0 ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu
n włącznie.
Różniczką n-tego rzędu funkcji f w punkcie x ,
,
0 y0 nazywamy funkcję dn f x0 y0
zmiennych ∆x i ∆y określoną wzorem:
!n
de f
∂
∂
dn f x ,
0 y0 (∆x, ∆y) ==
∆
∆
∂
x +
y
f |
,
x
∂y
(x0 y0).
∂
∂
Symbole ∂ oraz
oznaczają odpowiednio operacje różniczkowania po zmiennych x
∂y
x i y. Potęgę traktujemy formalnie do otrzymania pochodnych cząstkowych wyższych rzędów.
Różniczkę n-tego rzędu funkcji f oznaczamy krótko przez dn f oraz przyjmujemy d0 f = f .
Ogólnie zdefiniowaną przez indukcję rózniczkę dowolnego rzędu zapisujemy
dn f = d dn−1 f .
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 15
∂2 f
∂2 f
Dla funkcji f dwóch zmiennych mającej drugie pochodne mieszane ∂
i
x∂y
∂y∂x
∂2 f
∂2 f
∂2 f
ciągłe zachodzi wzór d2 f =
∆x2 + 2
∆x∆y +
∆y2, oraz zakładając
∂x2
∂x∂y
∂y2
ciągłość pochodnych mieszanych rzędu n mamy wzór
n !
X
n
∂n f
dn f =
∆xk∆yn−k.
k ∂xk∂yn−k
k=0
Zapis ∆xn i ∆yn oznacza (∆x)n i (∆y)n.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 16
Wzór Taylora
Twierdzenie (Wzór Taylora)
Niech funkcja f ma w otoczeniu punktu x ,
0 y0 ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu
n włącznie oraz niech (x, y) będzie dowolnym punktem z tego otoczenia.
Wtedy na odcinku łączącym punkty x ,
0 y0 i (x, y) istnieje punkt (xc, yc) taki, że
, y x − x , y − y
f (x, y) = f x ,
0
0
0
0 y0 + d f x0
+
1!
d2 f x ,
,
,
,
0 y0
x − x0 y − y0 + ... + dn−1 f x0 y0 x − x0 y − y0 +
2!
(n − 1)!
dn f x ,
,
0 y0
x − x0 y − y0 .
n!
Wzór ten nazywamy wzorem Taylora dla funkcji dwóch zmiennych, a ostatni składnik nazywamy n-tą resztą i oznaczmy Rn.
Dla punktu x ,
0 y0 = (0, 0) wzór ten nazywamy wzorem Maclaurina.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 17
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Definicja (minimum lokalne funkcji dwóch zmiennych)
Funkcja f ma w punkcie x ,
0 y0 minimum lokalne, jeżeli istnieje
otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego (x, y) z tego otoczenia zachodzi nierówność f (x, y) > f x ,
0 y0 .
Definicja (minimum lokalne właściwe funkcji dwóch zmiennych) Funkcja f ma w punkcie x ,
0 y0 minimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje
sąsiedztwo tego punktu takie, że dla dowolnego (x, y) z tego sąsiedztwa zachodzi nierówność f (x, y) > f x ,
0 y0 .
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 18
Definicja (maksimum lokalne funkcji dwóch zmiennych)
Funkcja f ma w punkcie x ,
0 y0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje
otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego (x, y) z tego otoczenia zachodzi nierówność f (x, y) 6 f x ,
0 y0 .
Definicja (maksimum lokalne właściwe funkcji dwóch zmiennych) Funkcja f ma w punkcie x ,
0 y0 maksimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje
sąsiedztwo tego punktu takie, że dla dowolnego (x, y) z tego sąsiedztwa zachodzi nierówność f (x, y) < f x ,
0 y0 .
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 19
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. ma ekstremum lokalne w punkcie x ,
0 y0 ,
∂ f
∂ f
2. istnieją pochodne cząstkowe
, ,
,
∂ x0 y0
x0 y0 ,
x
∂y
to
∂ f
∂
,
f
=
, =
∂ x0 y0
0,
x0 y0
0.
x
∂y
Uwaga
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.
Zerowanie się w punkcie obu pochodnych cząstkowych nie gwarantuje istnienia ekstremum lokalnego w danym punkcie.
Przykładem takich przypadków mogą być funkcje: f (x, y) = −x3, f (x, y) = x2y.
W obu przypadkach pochodne cząstkowe zerują się w punkcie (0, 0), ale funkcje te nie posiadają w tym punkcie ekstremów lokalnych.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 20
Uwaga
Funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach, w których wszystkie jej pochodne cząstkowe rzędu pierwszego są równe 0 albo w punktach, w których choć jedna z nich nie istnieje (np. z = px2 + y2).
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 21
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych) Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu na otoczeniu punktu x ,
0 y0 oraz spełnia warunki:
∂ f
∂ f
1.
, =
, =
∂ x0 y0
0,
x0 y0
0.
x
∂y
∂2 f
∂2 f
x ,
,
0 y0
x0 y0
∂x2
∂x∂y
2. W x ,
>
0 y0 =
0
∂2 f
∂2 f
,
,
x0 y0
x0 y0
∂y∂x
∂
y2
to w punkcie x ,
0 y0 funkcja f ma ekstremum lokalne właściwe i jest to:
∂2 f
• minimum, gdy
x , y > 0
∂
0
0
x2
∂2 f
• maksimum, gdy
x , y < 0.
∂
0
0
x2
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 22
Uwaga
W przypadku, gdy W x ,
<
,
0 y0
0 funkcja f nie ma w punkcie x0 y0 ekstre-
mum lokalnego. Dla W x ,
0 y0 = 0 badanie istnienia ekstremum lokalnego w punkcie
x ,
0 y0 przeprowadza się innymi metodami np. z definicji.
Przykład
Znajdź ekstrema lokalne funkcji:
a) f (x, y) = 3 x3 + 3 x2y − y3 − 15x
b) f (x, y) = ex−y x2 − 2 y2
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 23
Ekstrema globalne funkcji dwóch zmiennych
Definicja (wartość namniejsza i największa na zbiorze)
1. Liczba m jest warością najmniejszą na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli w tym zbiorze istnieje punkt, w którym ta funkcja przyjmuje warość m oraz dla dowolnego punktu (x, y) ∈ A zachodzi
f (x, y) > m ∨ f (x, y) = m.
2. Liczba M jest warością największą na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli w tym zbiorze istnieje punkt, w którym ta funkcja przyjmuje warość M oraz dla dowolnego punktu (x, y) ∈ A zachodzi
f (x, y) < M ∨ f (x, y) = M.
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 24
Algorytm szukania ekstremów globalnych funkcji na obszarze domkniętym Wartości najmniejszej i największej na ograniczonym obszarze domkniętym D
poszukujemy w następujący sposób:
1. wewnątrz obszaru D szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne (nie sprawdzamy, czy rzeczywiście nimi są),
2. na brzegu rozważanego obszaru szukamy punktów, w których występują wartości najiwiększe i najmniejsze
3. porównujemy otrzymane wartości i wybieramy namniejszą i największą
- sem.II -
mgr Małgorzata Suchecka - 25
Przykład
Znajdź ekstrema globalne funkcji:
a) f (x, y) = x2 + y2 − x y + x + y na obszarze ograniczonym przez proste x = 0, y = 0, x + y + 3 = 0;
b) f (x, y) = x2 + 2 x y − 4 x + 8 y na obszarze 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 2; c) f (x, y) = x2 − y2 na obszarze x2 + y2 6 4