Denicja 1 Mówimy, »e macierz
a 11
a 12
. . .
a 1 n
a
A =
21
a 22
. . .
a 2 n
. . .
. . .
. . .
. . .
am 1 am 2 . . . amn
jest rz¦du r, gdy istnieje cho¢ jeden ró»ny od zera minor stopnia r, a wszystkie minory stopnia wy»szego ni» r s¡ równe zero. Rz¡d macierzy b¦dziemy oznacza¢
rz( A).
Wniosek 1 Rz¡d macierzy A nie jest wi¦kszy od mniejszej z liczb m i n czyli rz( A) ≤ min {m, n}.
Twierdzenie 1 Rz¡d macierzy nie ulegnie zmianie, gdy 1. przestawimy wiesze (kolumny),
2. pomno»ymy wiersz lub kolumn¦ przez liczb¦ ró»n¡ od zera, 3. do jednego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumn¦), 4. opu±cimy wiersz (kolumn¦) o elementach proporcjonalnych do innego wiersza (kolumny)
Przykªad 1 Obliczy¢ rz¡d macierzy
1 2 3
4
5
0 1 2 − 1 3
A =
1 3 5
3
8 .
2 5 8
7
13
Odejmujemy od wiersza 3-go wiersz 1-szy i otrzymujemy macierz
1
2
3
4
5
1 2 3
4
5
0
1
2
− 1
3
0 1 2 − 1
3
1 − 1 3 − 2 5 − 3 3 − 4 8 − 5 = 0 1 2 − 1 3 .
2
5
8
7
13
2 5 8
7
13
Teraz od wiersza 4-tego wiersza odejmujemy 1-szy wiersz pomno»ony przez 2 i mamy
1
2
3
4
5
1 2 3
4
5
0
1
2
− 1
3
0 1 2 − 1 3
0
1
2
− 1
3
= 0 1 2 − 1 3 .
2 − 2 · 1 5 − 2 · 2 8 − 2 · 3 7 − 2 · 4 13 − 2 · 5
0 1 2 − 1 3
1
Zauwa»my, »e wiersze 2-gi, 3-ci i 4-ty s¡ identyczne, wi¦c µ
¶
1 2 3
4
5
rz( A) = rz
.
0 1 2 − 1 3
Pomno»ymy teraz 1-sz¡ kolumn¦ przez ( − 2) i doda¢ do 2-giej, wi¦c µ
¶
µ
¶
1 2 + ( − 2) · 1 3
4
5
1 0 3
4
5
rz( A) = rz
= rz
.
0 1 + ( − 2) · 0 2 − 1 3
0 1 2 − 1 3
I tak dalej pomno»ymy 1-sz¡ kolumn¦ przez (-3) i otrzymujemy µ
¶
µ
¶
1 0 3 + ( − 3) · 1
4
5
1 0 0
4
5
rz( A) = rz
= rz
.
0 1 2 + ( − 3) · 0 − 1 3
0 1 2 − 1 3
Teraz pomno»ymy 1-sz¡ kolumn¦ przez ( − 4) i dodamy do czwartej µ
¶
µ
¶
1 0 0
4 + ( − 4) · 1
5
1 0 0
0
5
rz( A) = rz
= rz
.
0 1 2 − 1 + ( − 4) · 0 3
0 1 2 − 1 3
W ko«cu pomno»ymy 1-sz¡ kolumn¦ przez ( − 5) i dodamy do 5-tej: µ
¶
µ
¶
1 0 0
0
5 + ( − 5) · 1
1 0 0
0
0
rz( A) = rz
= rz
.
0 1 2 − 1 3 + ( − 5) · 0
0 1 2 − 1 3
Kolumny 3-cia, 4-ta i 5-ta s¡ proporcjonalne do 2-giej, wi¦c µ
¶
1 0
rz( A) = rz
.
0 1
Poniewa»
¯
¯
¯
¯
¯ 1 0 ¯
¯ 0 1 ¯ = 1 − 0 = 1 ,
wi¦c rz( A) = 2.
Przykªad 2 Obliczy¢ rz¡d macierzy
2 − 1 3 0
A = 4 − 2 6 0 .
5
0
1 2
Zauwa»my, »e 1-szy wiersz jest proporcjonalny do 2-go, wi¦c µ
¶
2 − 1 3 0
rzA = rz
.
5
0
1 2
Pomno»ymy 4-t¡ kolumn¦ przez 0 , 5, wtedy µ
¶
µ
¶
2 − 1 3 0 · 0 , 5
2 − 1 3 0
rzA = rz
= rz
.
5
0
1 2 · 0 , 5
5
0
1 1
2
Pomno»ymy 4-t¡ kolumn¦ przez ( − 5) i dodamy do 1-szej, sk¡d µ
¶
µ
¶
2 + ( − 5) · 0 − 1 3 0
2 − 1 3 0
rzA = rz
= rz
.
5 + ( − 5) · 1
0
1 1
0
0
1 1
Teraz od 3-ciej kolumny odejmujemy 4-t¡, sk¡d µ
¶
µ
¶
2 − 1 3 − 0 0
2 − 1 3 0
rzA = rz
= rz
.
0
0
1 − 1 1
0
0
0 1
Zauwa»my, »e kolumny 1-sza, 2-ga i 3-cia s¡ proporcjonalne, wi¦c µ
¶
2 0
rzA = rz
.
0 1
Skoro
¯
¯
¯
¯
¯ 2 0 ¯
¯ 0 1 ¯ = 2 ,
to rzA = 2.
3