Twierdzenie Kroneckera-Cappellego Twierdzenie 1 (Kroneckera-Capellego). Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby dany ukªad równa« miaª rozwi¡zanie jest równo±¢ rz¦dów macierzy A i macierzy rozszerzonej ( A : B). Niech rz( A) = rz(( A : B)) = r. Gdy r równa si¦ liczbie niewiadomych n, to ukªad ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie, gdy r jest mniejszy ni» n, to ukªad ma niesko«czenie wiele rozwi¡za«, które zale»¡ od n−r parametrów.
Przykªad 1 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
5 x + 3 y − z = 3
2 x + y − z = 1
.
3 x − 2 y + 2 z = − 4
x − y + 2 z = − 2
Niech
5
3
− 1
5
3
− 1
3
2
1
− 1
2
1
− 1
1
A =
3 − 2
2 , ( A : B) = 3 − 2
2
− 4 .
1 − 1
2
1 − 1
2
− 2
St¡d
5
3
− 1
5
3
− 1
5
3
1
rz
− 3 − 2
0
− 3 − 2
0
− 3 − 2 0
A = rz
3
− 2
2 = rz 13
4
0 = rz 13
4
0
− 2
1
0
− 2
1
0
− 2
1
0
11
0 1
0
0 1
0
0 1
− 7 0 0
− 7 0 0
= rz
21 0 0
21
0 0 = rz 21
0 0 = rz
0
1 0
− 2 1 0
0
1 0
0 0 1
1 0 0
= rz 1 0 0 = rz 0 1 0 = 3
0 1 0
0 0 1
1
5
3
− 1
3
− 1 0
2
3
rz
2
1
− 1
1
0
0
0
1
( A : B) = rz
3 − 2
2
− 4 = rz 11
2 − 2 − 4
1 − 1
2
− 2
5
1
0
− 2
− 1 0
2
0
− 1 0
2
0
0
0
0
1
0
0
0
1
= rz
11 2 − 2 0 = rz 1
0 − 2 0
5
1
0
0
5
1
0
0
− 1 0 2 0
− 1 0 2 0
0
0 0 1
= rz
0
0 0 1
− 1 0 2 0 = rz
5
1 0 0
5
1 0 0
− 1 0 2 0
− 1 0 0
= rz 0
0 0 1 = rz 0
0 1
0
1 0 0
0
1 0
1 0 0
= rz 0 1 0 = 3 .
0 0 1
Poniewa» rz A = rz ( A : B) = 3 i mamy trzy niewiadome, wi¦c ukªad ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie. Skoro
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 5
3
− 1 ¯ ¯ 5
3
− 1 ¯
¯ − 3 − 2 ¯
W
= ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 2
1
− 1 ¯ = ¯ − 3 − 2 0 ¯ = ( − 1)( − 1)1+3 ¯
¯
¯
13
4
3 − 2
2 ¯
¯ 13
4
0 ¯
= −( − 12 + 26) = − 14 6= 0 , to rozwi¡zujemy ukªad
5 x + 3 y − z = 3
2 x + y − z = 1
,
3 x − 2 y + 2 z = − 4
który ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie. Poniewa» W = − 14, wi¦c wyliczymy Wx, Wy, Wz. Zatem
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 3
3
− 1 ¯ ¯ 3 0 − 1 ¯
¯ 3 − 1 ¯
W
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x = ¯ 1
1
− 1 ¯ = ¯ 1 0 − 1 ¯ = 2( − 1)5 ¯
¯ = − 2( − 3+1) = 4;
¯
1 − 1
− 4 − 2
2 ¯
¯ − 4 2
2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 5
3
− 1 ¯ ¯ − 1 3
2 ¯
¯ − 1
2 ¯
W
¯
¯
¯
¯
¯
¯
y = ¯ 2
1
− 1 ¯ = ¯ 0
1
0 ¯ = 1( − 1)4 ¯
¯ = 2 − 22 = − 20;
¯
11
− 2
3 − 4
2 ¯
¯ 11 − 4 − 2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 5
3
3 ¯ ¯ − 1 3 0 ¯
¯ − 1
0 ¯
W
¯
¯
¯
¯
¯
¯
z = ¯ 2
1
1 ¯ = ¯ 0
1
0 ¯ = 1( − 1)4 ¯
¯ = 2 .
¯
7
− 2
3 − 2 − 4 ¯
¯ 7
− 2 2 ¯
2
W
4
2
x =
x =
= − ;
W
− 14
7
W
− 20
10
y =
y =
=
;
W
− 14
7
W
2
1
z =
z =
= − .
W
− 14
7
Przykªad 2 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
3 x + 2 y − 4 z = 5
2 x + 3 y − 6 z = 5 .
5 x − y + 2 z = 4
Przykªad 3 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
2 x − 3 y + z − 5 u = 1
x + 2 y − 3 z + 7 u = 2 .
3 x − y − 2 z + 2 u = 4
3