Rozwa»my ukªad n równa« o n niewiadomych: a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 nxn = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 nxn = b 2
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an 1 x 1 + an 2 x 2 + . . . + annxn = bn Z tym ukªadem zwi¡zane s¡ dwie macierze: macierz kwadratowa A wspóªczyn-ników ukªadu i macierz B wyrazów wolnych:
a 11
a 12 . . . a 1 n
b 1
a
b
A =
21
a 22 . . . a 2 n
2
. . .
. . .
. . .
. . . B = . . .
an 1 an 2 . . . ann bm
oraz n + 1 wyznaczników, a mianowicie wyznacznik macierzy A zwany wyz-nacznikiem ukªadu:
¯
¯
¯
¯
¯ a 11
a 12 . . . a 1 n ¯
¯ a
¯
W = det A = ¯ 21 a 22 . . . a 2 n ¯
¯
¯ ,
¯ . . .
. . .
. . .
. . . ¯
¯ a
¯
n 1
an 2 . . . ann
i n wyznaczników:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ b 1
a 12 . . . a 1 n ¯
¯ a 11
b 1
. . . a 1 n ¯
¯ b
¯
¯ a
¯
W
¯
2
a 22 . . . a 2 n ¯
¯
21
b 2
. . . a 2 n ¯
1 = ¯
¯ , W 2 = ¯
¯ , . . . ,
¯ . . .
. . .
. . .
. . . ¯
¯ . . .
. . . . . .
. . . ¯
¯ b
¯
¯
¯
n
an 2 . . . ann
an 1
bn
. . . ann
¯
¯
¯
¯
¯ a 11
a 12 . . .
b 1 ¯
¯ a
¯
W
¯
21
a 22 . . .
b 2 ¯
n = ¯
¯ ,
¯ . . .
. . .
. . . . . . ¯
¯ a
¯
n 1
an 2 . . . bn
które tworzymy z wyznacznika W w nast¦puj¡cy sposób: je±li j jest któr¡kol-wiek z liczb 1 , 2 , . . . , n, to zast¦pujemy j-t¡ kolumn¦ kolumn¡ wyrazów wolnych.
Twierdzenie 1 Je±li W 6= 0, to ten ukªad ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie: W
W
W
x
1
2
n
1 =
, x
, . . . , x
.
(1)
W
2 = W
n = W
Denicja 1 Wzory (1) nazywamy wzorami Cramera, a ukªad, którego wyznacznik jest ró»ny od zera nazywamy ukªadem Cramera.
1
Przykªad 1 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
5 x + 3 y − z = 3
2 x + y − z = 1
.
3 x − 2 y + 2 z = − 4
Niech
5
3
− 1
A = 2
1
− 1 .
3 − 2
2
Skoro
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 5
3
− 1 ¯ ¯ 5
3
− 1 ¯
W
= ¯
¯
¯
¯
¯ 2
1
− 1 ¯ = ¯ − 3 − 2 0 ¯
¯ 3 − 2
2 ¯
¯ 13
4
0 ¯
¯
¯
¯ − 3 − 2 ¯
= ( − 1)( − 1)1+3 ¯
¯
¯ 13
4 ¯ = −( − 12 + 26) = − 14 6= 0 , to rozwi¡zujemy ukªad
5 x + 3 y − z = 3
2 x + y − z = 1
,
3 x − 2 y + 2 z = − 4
który ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie. Poniewa» W = − 14, wi¦c wyliczymy Wx, Wy, Wz. Zatem
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 3
3
− 1 ¯ ¯ 3 0 − 1 ¯
¯ 3 − 1 ¯
W
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x = ¯ 1
1
− 1 ¯ = ¯ 1 0 − 1 ¯ = 2( − 1)5 ¯
¯ = − 2( − 3+1) = 4;
¯
1 − 1
− 4 − 2
2 ¯
¯ − 4 2
2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 5
3
− 1 ¯ ¯ − 1 3
2 ¯
¯ − 1
2 ¯
W
¯
¯
¯
¯
¯
¯
y = ¯ 2
1
− 1 ¯ = ¯ 0
1
0 ¯ = 1( − 1)4 ¯
¯ = 2 − 22 = − 20;
¯
11
− 2
3 − 4
2 ¯
¯ 11 − 4 − 2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 5
3
3 ¯ ¯ − 1 3 0 ¯
¯ − 1
0 ¯
W
¯
¯
¯
¯
¯
¯
z = ¯ 2
1
1 ¯ = ¯ 0
1
0 ¯ = 1( − 1)4 ¯
¯ = 2 .
¯
7
− 2
3 − 2 − 4 ¯
¯ 7
− 2 2 ¯
St¡d
W
4
2
x =
x =
= − ;
W
− 14
7
W
− 20
10
y =
y =
=
;
W
− 14
7
W
2
1
z =
z =
= − .
W
− 14
7
2
Przykªad 2 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
3 x + 2 y − 4 z = 5
2 x + 3 y − 6 z = 5 .
5 x − y + z = 4
3