Teoria chaosu a równania ró»nicowe

Maria G¡ska

13 grudnia 2006

Streszczenie

W referacie opisuje podstawowe pojecia teorii chaosu w oparciu o równania

ró»nicowe.

Plan referatu:

•

Denicje zachowania chaotycznego oraz równania ró»nicowego

•

Odwzorowanie logistyczne - najprostsze nieliniowe równanie ró»nicowe - opis

i przykªady zastosowa«.

•

Odwzorowanie Hénona

•

Charakterystyki ruchu chaotycznego:

Wykªadnik Lapunowa
Miara niezmiennicza
Funkcja korelacji

•

Atraktor chaotyczny i jego wªa±ciwo±ci

1

1 Podstawowe pojecia

Denicja 1.1 Dla funkcji f : Z

+

×

R −→ R nastepuj¡ce równanie z niewiadom¡ x

nazywamy równaniem ró»nicowym (rekurencyjnym) rzedu k:

f (n, x(n), x(n + 1), ..., x(n + k)) = 0

Je»eli b

0

, b

1

, ..., b

k−1

∈

R to



















x(n

0

) = b

0

x(n

0

+ 1) = b

1

...

x(n

0

+ k − 1) = b

k−1

nazywamy warukiem pocz¡tkowym.

Równanie ró»nicowe wraz z warunkiem pocz¡tkowym nazywamy zagadnieniem pocz¡tko-

wym.

Denicja 1.2 Niech X bedzie zbiorem. Ukªadem dynamicznym w X nazywamy dowoln¡

rodzine {S

t

; t ≥ 0}

odwzorowa« X w siebie tak¡, »e

1. S

0

= id

X

2. S

t

◦ S

r

= S

t+r

dla dowolnych t, r ≥ 0

Przykªadem dyskretnego ukªadu dynamicznego jest ukªad N równa« ró»nicowych (auto-

nomicznych):



















x

1

(n + 1) = F

1

(x

1

(n), x

2

(n), ..., x

k

(n))

x

2

(n + 1) = F

2

(x

1

(n), x

2

(n), ..., x

k

(n))

...

x

k

(n + 1) = F

k

(x

1

(n), x

2

(n), ..., x

k

(n))

2

Denicja 1.3 Funkcja f : X −→ X jest chaotyczna w sensie Devaney'a, je»eli speªnia

warunki:

1. nierozkªadalno±¢ : f jest topologicznie tranzytywne tzn. dla ka»dej pary niepu-

stych zbiorów otwartych U, V ⊂ X istnieje takie n>0, »e f

n

(U ) ∩ V 6= ∅

2. element regularno±ci : zbiór punktów okresowych odwzorowania f:

P er(f ) = {x ∈ X : ∃

n∈N

f

n

(x) = x}

jest gesty w X

3. nieprzewidywalno±¢ : f jest wra»liwa na warunki pocz¡tkowe, czyli:

∃

δ

∀

x∈X

∀

N

∃

y∈N ∧n

kf

n

(x) − f

n

(y)k > δ

N - otoczenie x

Uwaga 1.1 Przez chaos deterministyczny bedziemy rozumie¢ ruch nieregularny, otrzy-

mywany z ukªadu nieliniowego, którego prawa dynamiki jednoznacznie okre±laj¡ ewolucje

ukªadu w czasie, gdy znana jest jego wcze±niejsza historia.

Rzeczywist¡ przyczyn¡ nieregularno±ci jest wªasno±¢ ukªadów nieliniowych polegaj¡ca na

wykªadniczym rozbieganiu pocz¡tkowo bliskich trajektorii w ograniczonym obszarze prze-

strzeni fazowej. z [1]

Denicja 1.4 Zbiór A ⊂ X nazywamy niezmienniczym dla ustalonego ukªadu dyna-

micznego w X je»eli:

∀

t∈N

S

t

(A) = A

3

2 Równanie logistyczne

Denicja 2.1 Odwzorowaniem logistycznym bedziemy nazywa¢ równanie:

x(n + 1) = f

r

(x(n)) = rx(n)(1 − x(n))

(2.1)

Rysunek 1: diagram bifurkacji odwzorowania logistycznego

Na osi poziomej mamy parametr r, a na pionowej x(n).

Na diagramie bifurkacyjnym mo»emy obserwowa¢ jaki rodzaj ruchu jest mo»liwy dla

danego parametru r.

Denicja 2.2 Mówimy »e dla parametru r

0

w punkcie x

0

zachodzi bifurkacja podwojenia

okresu je»eli istniej¡ takie parametry r

1

< r

0

< r

2

oraz przediaª P = [x

1

, x

2

]

, »e:

• f

r

0

(x

0

) = x

0

•

dla r

1

≤ r ≤ r

0

w przedziale P istnieje dokªadnie jedno rozwi¡zanie równania

f

r

(x) = x

•

dla r

1

≤ r ≤ r

0

w przedziale P nie istniej¡ rozwi¡zania równania f

2

r

(x) = x

nie

bed¡ce rozwi¡zaniami równania f

r

(x) = x

4

•

dla r = r

0

jedynym rozwi¡zaniem równania f

2

r

(x) = x

na przedziale P jest x

0

•

dla r

0

< r ≤ r

2

istniej¡ dokªadnie 2 rozwiazania równania f

2

r

(x) = x

na zbiorze P

nie bed¡ce rozwiazaniami równania f

r

(x) = x

Co mo»na zaobserwowa¢ na przykªadzie odzorowania logicznego:

1. Podwajanie okresu

Mechanizm ten jest jednym ze scenariuszy przej±cia do chaosu. Znany jest pod

nazw¡ scenariusza Feigenbauma i pojawia sie w wiekszo±ci równa« róznicowych

pierwszego rzedu, poza nielicznymi wyj¡tkami. Ciekawe jest i» mo»na scharaktery-

zowa¢ podwajanie okresu dla odwzorowa« które maj¡ kwadratowe maksima przez

tzw. liczbe Feigenbauma, nie zale»y ona od natury odwzorowania, jest uniwersalna.

Denicja 2.3 Liczba Feigenbauma nazywamy:
δ = lim

n→∞

µ

k

−µ

k−1

µ

k+1

−µk

= 4, 669201609102...

gdzie µ

k

jest k-t¡ liczb¡ dla której zachodzi bifurkacja.

Wniosek:

U»ywaj¡c δ do konstrukcji ci¡gu µ

k

otrzymujemu, »e dla µ = 3.569... ukªad musi

przej±¢ przez niesko«czenie wiele bifurkacji.

2. Okna okresowe

Mo»emy zauwa»y¢ »e obszary zachowa« chaotycznych dla r > µ s¡ poprzecinane

przez przedziaªy zachowa« okresowych. Zwró¢my uwage na jeden z najszerszych-

takich przedziaªów w okolicach r = 3.83

Przykªad zastosowania równania logistycznego do modelowania sytuacji rzeczywi-

stej:

Równanie zostaªo zaproponowane przez P.I Verhulsa do symulacji wzrostu populacji w

ograniczonym ±rodowisku.

n - rok dla którego jest badana populacja

x(n) - liczba osobników w roku n

Rozwa»my taki model wzrostu populacji, »e liczba osobników w roku n+1 jest pro-

porcjonalna do ich liczby w roku poprzednim oraz do powierzchni dostepnego obszaru,

która zmniejsza sie proporcjonalnie do liczby ludno±ci. Wówczas równanie opisuj¡ce t¡

sytuacje ma postac (2.1)

5

3 Odwzorowanie Hénona

Denicja 3.1 Odwzorowaniem Hénona nazywamy nastepuj¡cy ukªad równa« ró»nico-

wych:

(

x(n + 1) = 1 − a(x(n))

2

+ yn

y(n + 1) = bx(n)

gdzie a oraz |b| ≤ 1 s¡ parametrami

Zauwa»my, »e odwzorowanie Hénona jest dwuwymiarowym rozszerzeniem odwzorowania

logistycznego.

Rysunek 2: atraktor Henona

Denicja 3.2 Dla ukªadu dynamicznego okre±lonego w X atraktorem globalnym nazy-

wamy zbiór ograniczony A ⊂ X, je±li A jest niezmienniczy i speªnia warunki jednostaj-

nego przyci¡gania zbiorów ograniczonych, tzn. dla ka»dego zbioru ograniczonego B ⊂ X
lim

t→∞

sup

x∈B

d(S

t

(x), A) = 0

gdzie S

t

- ukªad dynamiczny, d(y, C) = inf

z∈C

d(y, z)

- odlegªo±¢ punktu y od zbioru C

dana przez metryke d w X.

6

4 Charakterystyki ruchu chaotycznego

1. Wykªadnik Lapunowa

Denicja 4.1 Dla odwzorowania x(n + 1) = f(x(n)) wykªadnikiem Lapunowa

nazywamy liczbe

λ(x(0)) = lim

n→∞

1

N

ln

df

n

(x(0))

dx(0)

Korzystaj¡c z ró»niczkowania funkcji zªo»onej :

d

dx

f

2

(x)

x(0)

= f

0

[f (x(0))] f

0

(x(0)) = f

0

(x(1))f

0

(x(0))

mo»emy zapisa¢:

λ(x(0)) = lim

N →∞

1

N

P

N −1
i=1

ln |f

0

(x(i))|

Uwaga 4.1 Odwzorowanie n - wymiarowe bedzie miaªo n wykªadników Lapunowa.

Poczatkowa n - wymiarowa objeto±¢ fazowa ewoluuje wg wzoru:
V = V

0

e

(λ

1

+λ

2

+...+λ

n

)n

Je»eli ukªad jest chaotyczny przynajmniej jeden wykªadnik jest dodatni.

2. Miara niezmiennicza

Denicja 4.2 Niech f : X → X wyznacza dyskretny ukªad dynamiczny. Miare µ

na X nazywamy niezmiennicz¡ (ze wzgl¦du na ten ukªad), je»eli µ(f

−1

(A)) = µ(A)

dla ka»dego mierzalnego zbioru A ⊂ X

Denicja 4.3 Miara niezmiennicza ρ(x) okre±la gesto±¢ iteracji odwzorowania
x(n + 1) = f (x(n))

, x(n) ∈ [0, 1], n = 0, 1, ... na odcinku jednostkowym i jest

okre±lona zwi¡zkiem :
ρ(x) ≡ lim

n→∞

1

N

P

N
i=0

δ [x − f

i

(x(0))]

Uwaga 4.2 Je»eli ρ(x) nie zale»y od x(0) to ukªad jest nazywany ergodycznym

w takim przypadku powy»sza denicja pozwala nam na napisanie "±rednich czaso-

wych" funkcji g(x) jako ±rednich z miar¡ niezmiennicz¡:

lim

n→∞

1

N

P

N
i=0

g(x(i)) = lim

n→∞

1

N

P

N
i=0

g [f

1

(x(0))] =

R

1

0

dxρ(x)g(x)

7

3. Funkcja korelacji

Denicja 4.4 Funkcja korelacji C(m) dla odwzorowania x(n + 1) = f(x(n)),
x(n) ∈ [0, 1]

, n = 0, 1, ... jest okre±lona wzorem:

C(m) = lim

n→∞

1

N

P

N −1
i=0

b

x

i+m

b

x

i

, gdzie

b

x

i

= f

i

(x(0)) − x

, x = lim

n→∞

1

N

P

N −1
i=0

f

i

(x(0))

Uwaga 4.3 C(m) okre±la miare nieregularno±ci ci¡gu iteracji rózn¡ od wykladni-

ka Lapunowa. Funkcja korelacji pokazuje ±rednio jak wiele wiedz¡ o sobie ró»ni¡ce

sie o m kroków odchylenia iteracji od warto±ci ±redniej.

8

5 Atraktor chaotyczny i jego wªa±ciwo±ci

Wiele atraktorów tworzonych przez odwzorowania chaotyczne cechuj¡ sie bardzo du»¡a

zªo»ono±ci¡. Bedziemy mowi¢ o atraktorach ukªadów dyspasywnych

Denicja 5.1 Ukªad nazywamy dyspasywnym, je»eli istnieje zbiór ograniczony B

0

⊂ X

pochªaniaj¡cy wszystkie zbiory ograniczone B ⊂ X tzn.

∀

B

∃

t

0

∀

t≥t

0

S

t

(B) ⊂ B

0

Przykªad 5.1 Atraktor Hénona ma charakter fraktalny - jest niesko«czenie zªo»ony.

1. Wymiar Fraktale maj¡ najcze±ciej wymiar pojemno±ciowy niewymierny.

Denicja 5.2 Je»eli istnieje granica

d(X) = -lim

→0

log(N,)

log()

,

gdzie (N, ) jest liczb¡ kostek n - wymiarowych (kostka n - wymiarowa to iloczyn

kartezja«ski n odcinków [0, ] ∈ R

n

I(n, ) = [0, ] × [0, ] × ... × [0, ]
to nazywamy j¡ wymiarem pojemno±ciowym

2. Zwi¡zek wykªadnika Lapunowa z wymiarem

Zwi¡zek ten podali Kaplan i Yorke.

Denicja 5.3 Wymiar Kaplana-Yorke'a deniujemy przez analogie do wymiaru

pojemno±ciowego:

d

L

(X) = lim

→0

h

d(log(N,))

d(log(

1

))

i

Dla przypadku n-wymiarowej przestrzeni fazowej (kartezja«ski iloczyn n zbiorów)

mamy:

d

L

= j +

λ

1

+λ

2

+...+λ

j

|λ

j+1

|

,

gdzie λ

i

s¡ uporz¡dkowane, z λ

1

najwi¦kszym, a j jest indeksem przy najmniejszym

nieujemnym wykªadniku Lapunowa

9

Literatura

[1] H.G Schuster, "Chaos deterministyczny"

PWN, Warszawa 1993

[2] G.L.Baker, J.P.Gollub, "Wst¦p do dynamiki ukªadów chaotycznych" PWN, Warszawa 1998

[3] E. Ott, "`Chaos w ukªadach dynamicznych"

[4] V. Lakshmikantham, D. Trigiante, "Theory of dierence equations : numerical methods and applications"'

10