Rozwiazywanie rownan rozniczkowych Przeksztalcenia Laplacea, Nauka i Technika, Automatyka, Teoria sterowania


Rozwiązywanie liniowych równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą przekształcenia Laplace'a

Doniosła rola przekształcenia Laplace'a polega m.in. na tym, że daje ono prostą metodę rozwiązywania równań różniczkowych, polegająca na ich algebraizacji.

Niech będzie dane liniowe równanie różniczkowe o stałych współczynnikach

0x01 graphic
(1)

gdzie 0x01 graphic
- znana funkcja zmiennej rzeczywistej t.

Dane są ponadto warunki początkowe: 0x01 graphic
; 0x01 graphic
;...;0x01 graphic
.

Rozwiązując równanie typu (1) należy:

  1. poddać je przekształceniu Laplace'a z uwzględnieniem warunków początkowych,

  1. wyznaczyć transformatę 0x01 graphic
    szukanego rozwiązania 0x01 graphic
    ,

  1. doprowadzić tę transformatę do postaci 0x01 graphic
    ,

  1. wyznaczyć poszukiwane rozwiązanie 0x01 graphic
    , będące oryginałem transformaty 0x01 graphic
    :

0x01 graphic
.

Zadanie 1.

Rozwiązać równanie 0x01 graphic

dla warunków początkowych 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

Rozwiązanie

Obie strony równania poddajemy przekształceniu Laplace'a, uwzględniając przy tym warunki początkowe.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Wyróżnik trójmianu mianownika transformaty 0x01 graphic
, a więc mianownik transformaty posiada dwa pierwiastki pojedyncze i rzeczywiste:

0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

Rozkładając transformatę na ułamki proste mamy:

0x01 graphic

Z warunku tożsamości mamy:

0x01 graphic

Po podstawieniu za 0x01 graphic
, otrzymamy:

0x01 graphic
; stąd 0x01 graphic
.

Podobnie, dla 0x01 graphic

0x01 graphic
; stąd 0x01 graphic
.

A zatem transformata rozwiązania 0x01 graphic
ma postać:

0x01 graphic

Rozwiązanie 0x01 graphic
.

Zadanie 2.

Rozwiązać równanie 0x01 graphic

dla warunków początkowych 0x01 graphic
.

Rozwiązanie

Po transformacji Laplace'a obu stron równania oraz po uwzględnieniu warunków początkowych otrzymamy:

0x01 graphic

stąd

0x01 graphic

Wyróżnik trójmianu 0x01 graphic

0x01 graphic
, co oznacza, że mianownik transformaty 0x01 graphic
ma pierwiastki zespolone. Wobec tego rozkład 0x01 graphic
na ułamki proste wygląda następująco:

0x01 graphic
.

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika, mamy:

0x01 graphic

Po podstawieniu 0x01 graphic
otrzymamy

0x01 graphic
, stąd 0x01 graphic
.

Podstawiając 0x01 graphic
oraz wyznaczoną wcześniej wartość A, otrzymamy dwa równania z niewiadomymi B i C.

I tak, dla 0x01 graphic

0x01 graphic

stąd 0x01 graphic

Dla 0x01 graphic
mamy

0x01 graphic

stąd 0x01 graphic
.

A zatem 0x01 graphic
, skąd 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

Po podstawieniu wyliczonych powyżej wartości współczynników A, B, C oraz po uwzględnieniu, że 0x01 graphic
, transformata rozwiązania 0x01 graphic
przybiera postać:

0x01 graphic

Przekształcamy drugi człon transformaty, do postaci dogodnej dla wyznaczenia oryginału:

0x01 graphic

Po uwzględnieniu powyższych przekształceń, transformata 0x01 graphic
ma postać:

0x01 graphic

Rozwiązanie równania

0x01 graphic
.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1

Wyznaczyć transformatę Laplace'a funkcji:

a) 0x01 graphic

b) 0x01 graphic

c) 0x01 graphic

Odp. a) 0x01 graphic

b) 0x01 graphic

c) 0x01 graphic

Zadanie 2

Wyznaczyć oryginały transformat:

a) 0x01 graphic

Odp. 0x01 graphic

b) 0x01 graphic

Odp. 0x01 graphic

Zadanie 3

Rozwiązać równanie różniczkowe 0x01 graphic
dla warunków początkowych 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

Odp. 0x01 graphic
.

Zadanie 4

Rozwiązać równanie różniczkowe 0x01 graphic
dla warunków początkowych 0x01 graphic
; 0x01 graphic
.

Odp. 0x01 graphic

Zadanie 5

Rozwiązać równanie różniczkowe 0x01 graphic
dla warunków początkowych 0x01 graphic
.

Odp. 0x01 graphic

Zadanie 6

Rozwiązać równanie różniczkowe 0x01 graphic
dla warunków początkowych 0x01 graphic
.

Odp. 0x01 graphic
.

Zadanie 7

Rozwiązać równanie różniczkowe 0x01 graphic
dla warunków początkowych 0x01 graphic
.

Odp. 0x01 graphic
0x01 graphic

5



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Metody numeryczne Zadanie row rozniczkowe, Nauka i Technika, Automatyka, Teoria sterowania
PODSTAWY TELEMETRII-Systemy telemetryczne w przemyśle, Nauka i Technika, Automatyka, Telemetria
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH , RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE WZGLĘDEM X i Y
chomik Wybrane modele ekologiczne oraz metody rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
1 Rozwiązywanie równań różniczkowych z niezerowymi warunkami początkowymi
Budowa oscyloskopu, Nauka i Technika, Automatyka, Pomiary w Automatyce, Metrologia
Skrypt - Obsługa przyrządów pomiarowych z wykorzystaniem standardu SCPI, Nauka i Technika, Automatyk
AKCELEROMETRYCZNY SENSOR POCHYLENIA, Nauka i Technika, Automatyka, Pomiary w Automatyce, Czujniki, C
Metody jednokrokowe rozwiązywania równań różniczkowych, aaa, studia 22.10.2014, całe sttudia, III se
Zestaw 8-Istnienie i jednoznacznosc rozwiazan równan rózniczkowych
2.1.3 Rozwiązywanie równań różniczkowych
MNiS Rozwiazywanie rownan rozniczkowych
Metody rozwiazywania równan rózniczkowych
metody rozwiazywania rownan rozniczkowych
Obsługa aparatury pomiarowej z wykorzystaniem SCPI oraz środowiska VEE PRO, Nauka i Technika, Automa

więcej podobnych podstron