Równania różniczkowe zwyczajne — IM UJ 2013/2014

Metody rozwiązywania równań różniczkowych

1. Równania o zmiennych rozdzielonych, czyli równania postaci p(y)

dy
dx

= q(x)

Rozwiązaniem jest

R p(y)dy = R q(x)dx.

2. Równania postaci

dy
dx

= f (ax + by + c)

Podstawienie u = ax + by + c.
Zatem

du
dx

= a + b

dy
dx

, stąd

dy
dx

=

1

b

du
dx

−

a

b

.

Równanie przyjmuje postać

du
dx

= bf (u) + a. Rozwiązujemy metodą zmiennych roz-

dzielonych

R

du

bf (u)+a

=

R dx.

3. Równania jednorodne względem x i y, czyli równania postaci

dy
dx

= f

y
x

Podstawienie u =

y
x

.

Przemnożeniu przez x różniczkujemy równość y = ux, otrzymując

dy
dx

= u + x

du
dx

.

Dostajemy równanie postaci u + x

du
dx

= f (u). Rozwiązujemy metodą zmiennych roz-

dzielonych

R

du

f (u)−u

=

R

dx

x

.

4. Równania postaci

dy
dx

= f



a

1

x+b

1

y+c

1

a

2

x+b

2

y+c

2



Przypadek I.

a

1

b

2

− a

2

b

1

6= 0

Niech x = α i y = β będą rozwiązaniami układu równań

a

1

x + b

1

y + c

1

= 0

a

2

x + b

2

y + c

2

= 0

.

Wtedy a

1

x + b

1

y + c

1

= a

1

(x − α) + b

1

(y − β) oraz a

2

x + b

2

y + c

2

= a

2

(x − α) + b

2

(y − β).

Podstawienie u = x − α, v = y − β.
Zatem

dy
dx

=

dv
du

.

Otrzymujemy równanie

dv
du

= f



a

1

u+b

1

v

a

2

u+b

2

v



. Zatem mamy do rozwiązania równanie

jednorodne względem u i v, postaci

dv
du

= f



a

1

+b

1

v
u

a

2

+b

2

v
u



.

Przypadek II.

a

1

b

2

− a

2

b

1

= 0. Mamy więc a

1

x + b

1

y = k(a

2

x + b

2

y).

Podstawienie u = a

1

x + b

1

y.

Zatem

du
dx

= a

1

+ b

1

dy
dx

.

Stąd

du
dx

= a

1

+ b

1

f



u+c

1

ku+c

2



. Rozwiązujemy metodą zmiennych rozdzielonych.

5. Równania różniczkowe liniowe jednorodne, czyli równania postaci

dy
dx

+ p(x)y = 0

Jedną z linii całkowych tego równania jest y = 0.
Gdy y 6= 0, rozwiązujemy równanie o zmiennych rozdzielonych

1
y

dy
dx

= −p(x).

Niech

R p(x) = P (x) + C, C ∈ R. Otrzymujemy ln |y| = −P (x)+C, stąd y = ce

−P (x)

,

c 6= 0.

Zatem rozwiązania danego równania, po uwzględnieniu rozwiązania y = 0, są postaci

y = ce

−P (x)

, c ∈ R.

6. Równania liniowe niejednorodne, czyli równania postaci

dy
dx

+ p(x)y = q(x)

I. Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne

dy
dx

+ p(x)y = 0. Otrzymujemy rozwią-

zania postaci y = ce

−P (x)

, c ∈ R.

II. Uzmienniamy stałą — zakładamy, że rozwiązanie jest postaci y(x) = u(x)e

−P (x)

.

Różniczkując tę zależność, otrzymujemy

dy
dx

=

du
dx

e

−P (x)

+ u(x)(−p(x))e

−P (x)

.

III. Podstawiamy y oraz

dy
dx

do wyjściowego równania niejednorodnego i otrzymujemy

q(x) =

dy
dx

+ p(x)y =

du
dx

e

−P (x)

− u(x)p(x)e

−P (x)

+ p(x)u(x)e

−P (x)

=

du
dx

e

−P (x)

.

Stąd u(x) =

R q(x)e

P (x)

dx.

IV. Wyliczone u(x) podstawiamy do równania z uzmiennioną stałą, tj. do y(x) =

u(x)e

−P (x)

i otrzymujemy rozwiązanie.

Na koniec warto dokonać sprawdzenia.

2