Definicja:

Przekształcenie Laplace'a jest operatorem przekształcającym sygnał x(t) na pewną funkcję zespoloną X(s) zgodnie ze wzorem:

Dziedzinę funkcji X(s) (L-transformaty) tworzą te wartości zmiennej zespolonej s, dla których całka we wzorze jest zbieżna.

Własności:

• Liniowość

Podstawową własnością przekształcenia Laplace'a jest liniowość; innymi słowy przekształcenie Laplace'a spełnia zasadę superpozycji.

 

• Transformata splotu - twierdzenie Borela

 

• Twierdzenie o zmianie skali, czyli o podobieństwie

Przy liczbie k rzeczywistej i dodatniej:

 

 

• Twierdzenie o przesunięciu rzeczywistym, czyli o opóźnieniu

Funkcję czasu f(t) transformowalną według Laplace'a możemy zawsze przedstawić w postaci f(t)=f(t)*1(t) w celu uwypuklenia, że funkcja ta zanika dla chwil ujemnych.

 

 

• Twierdzenie o przesunięciu zespolonym

 

gdzie a jest w przypadku ogólnym wielkością zespoloną.

 

• Twierdzenie o transformacie pochodnej funkcji czasu

Niech będzie dana funkcja czasu f(t) ciągła i różniczkowalna oraz jej pochodna f'(t)=g(t). Znana jest transformata F(s)=L[f(t)], a należy wyznaczyć G(s)=L[g(t)]
Zgodnie z tezą twierdzenia zachodzi w przypadku ogólnym:

 

 

• Twierdzenie o transformacie całki oznaczonej funkcji czasu w granicach od 0 do t

Niech będzie dana funkcja czasu f(t) całkowalna oraz jej całka oznaczona h(t).Znana jest transformata F(s)=L[f(t)], a należy wyznaczyć transformatę H(s)=L[h(t)].

 

 

• Twierdzenie o różniczkowaniu transformaty

 

• Twierdzenie o całkowaniu transformaty

 

• Twierdzenie odnoszące się do splotu dwóch funkcji

Korzystając z twierdzenia Borela, oraz twierdzeń o transformacie pochodnej i całki oznaczonej funkcji czasu, możemy nadać transformacie splotu funkcji f(t) oraz g(t) przy warunku początkowym zerowym f(0)=0 następującą postać:

 

 

skąd w dziedzinie czasowej:

 

 

gdzie górny wskaźnik umieszczony w nawiasach oznacza różniczkowanie odpowiedniego rzędu, jeżeli jest dodatni, a całkowanie w granicach od 0 do t - jeżeli jest ujemny.

---