Przybliżone metody rozwiązywania równań

jednej zmiennej

1. metoda równego podziału

2. metoda interpolacji liniowej (metoda siecznych)

3. metoda Newtona (metoda stycznych)

Mamy funkcję ciągłą f(x),
określoną w przedziale
<a,b>. Jeśli funkcja ma
na krańcach przedziału
różne znaki to istnieje co
najmniej jeden punkt x, w
którym f(x)=0.
Przedział <a,b> dzielimy
na dwa przedziały
jednakowej długości
<a,a

1

> i <a

1,

b>, badamy

znak funkcji na krańcach
przedziałów, do dalszej
analizy wybieramy ten
przedział, dla którego
funkcja ma na krańcach
różne znaki, czyli w
naszym przypadku
<a

1

,b>.

Dalej postępujemy
analogicznie – wybieramy
przedział <a

1

,a

2

>

Metoda równego
podziału

y=f(x)

f(a)>
0

f(b)<
0

f(x)=0

f(a

1

)>0

f(a2)<
0

x=
a

x=a

1

x=
a

2

x=
b

Tworzymy cięciwę
łączącą punkty f(a) i
f(b) czyli przedział
<a,b> dzielimy w
stosunku f(a):f(b)

ponieważ

a

b

x

1

x

2

f(b
)

f(a
)

f(x

1

)

f(x

2

)

y

x

)

(

)

(

)

(

)

(

1

a

b

a

f

b

f

a

f

a

x









)

(

)

(

)

(

)

(

1

x

b

x

f

b

f

x

f

x

x

n

n

n

n

n











)

(

)

(

)

(

1

a

f

b

f

a

f

y

a

b

a

x











0



y

)

(

)

(

)

(

1

a

f

b

f

a

f

a

b

a

x











Metoda interpolacji

liniowej

(metoda siecznych)

x

)

(

'

)

(

1

x

x

x

x

n

n

n

n

f

f







Metoda
Newtona
(metoda
stycznych)

)

)(

(

'

)

(

1

0

0

0

x

x

x

x

f

f

y







0



y

)

(

'

)

(

0

0

0

1

x

x

x

x

f

f





ponieważ

f(x

0

)=f(b)

Zakładamy, że
funkcje f’(x) i f”(x)
są ciągłe i w
przedziale <a,b>
nie zmieniają znaku
Przeprowadzamy
styczną w punkcie
(x

0

,f(x

0

))

a

f(a
)

f(x)

y

b=x

0

x

1

x

2

f(x

2

)

f(x

1

)