Przybliżone metody rozwiązywania równań
jednej zmiennej
1. metoda równego podziału
2. metoda interpolacji liniowej (metoda siecznych)
3. metoda Newtona (metoda stycznych)
Przybliżone metody rozwiązywania równań
jednej zmiennej
1. metoda równego podziału
2. metoda interpolacji liniowej (metoda siecznych)
3. metoda Newtona (metoda stycznych)
Mamy funkcję ciągłą f(x),
określoną w przedziale
<a,b>. Jeśli funkcja ma
na krańcach przedziału
różne znaki to istnieje co
najmniej jeden punkt x, w
którym f(x)=0.
Przedział <a,b> dzielimy
na dwa przedziały
jednakowej długości
<a,a
1
> i <a
1,
b>, badamy
znak funkcji na krańcach
przedziałów, do dalszej
analizy wybieramy ten
przedział, dla którego
funkcja ma na krańcach
różne znaki, czyli w
naszym przypadku
<a
1
,b>.
Dalej postępujemy
analogicznie – wybieramy
przedział <a
1
,a
2
>
Metoda równego
podziału
y=f(x)
f(a)>
0
f(b)<
0
f(x)=0
f(a
1
)>0
f(a2)<
0
x=
a
x=a
1
x=
a
2
x=
b
Tworzymy cięciwę
łączącą punkty f(a) i
f(b) czyli przedział
<a,b> dzielimy w
stosunku f(a):f(b)
ponieważ
a
b
x
1
x
2
f(b
)
f(a
)
f(x
1
)
f(x
2
)
y
x
)
(
)
(
)
(
)
(
1
a
b
a
f
b
f
a
f
a
x
)
(
)
(
)
(
)
(
1
x
b
x
f
b
f
x
f
x
x
n
n
n
n
n
)
(
)
(
)
(
1
a
f
b
f
a
f
y
a
b
a
x
0
y
)
(
)
(
)
(
1
a
f
b
f
a
f
a
b
a
x
Metoda interpolacji
liniowej
(metoda siecznych)
x
)
(
'
)
(
1
x
x
x
x
n
n
n
n
f
f
Metoda
Newtona
(metoda
stycznych)
)
)(
(
'
)
(
1
0
0
0
x
x
x
x
f
f
y
0
y
)
(
'
)
(
0
0
0
1
x
x
x
x
f
f
ponieważ
f(x
0
)=f(b)
Zakładamy, że
funkcje f’(x) i f”(x)
są ciągłe i w
przedziale <a,b>
nie zmieniają znaku
Przeprowadzamy
styczną w punkcie
(x
0
,f(x
0
))
a
f(a
)
f(x)
y
b=x
0
x
1
x
2
f(x
2
)
f(x
1
)