IV/14 Metody aproksymacji funkcji jednej zmiennej

Aproksymację stosujemy gdy:

1. złożoną funkcję chcemy przedstawić w prostej

2. funkcja dana jest w postaci tablicy

3. funkcja jest wiązana (poszukiwanie równań różniczkowych

OGÓLNIE - PRZEDSTAWIAMY FUNKCJĘ W POSTACI KOMBINACJI LINIOWEJ PEWNYCH DANYCH FUNKCJI BAZOWYCH.

ϕ(x) = a_o u_o(x)+ a₁ u₁(x)+.......+a_m u_m(x) ≅ f(x)

B(x) =[u_o(x), u₁(x),......., u_n(x)] macierz funkcji bazowych (liniowo niezależne)

a^T = [a_o, a₁,......., a_n] wektor nieznanych współczynników

ϕ(x) = B(x) a

1. Aproksymacja punktowa

• funkcja f(x) dana jest w postaci tablicy x =[x₀, x₁,......., x_n] i odpowiadających wartości F=[f₀, f₁,......., f_n]

• należy dobrać współczynniki a_i i =1,2,......n tak aby:

ϕ(x) = a_o + a₁x......., a_m x ^m = Σ_k=o^m a_k x ^k możliwie najlepiej przybliżał F(x)

(baza B(x) utworzona z jednomianów )

• należy rozstrzygnąć stopień wielomianu i kryterium jakości aproksymacji,

najczęściej stosuje się kryterium najmniejszych kwadratów

ε = Σⁿ_i=0 ( ϕ (x_i) - f (x_i) )² = Σⁿ_i=0 ( Σ^m_k=0 a_k x_i^k- f (x_i) )² = ε (a_o, a₁,......., a_m)

=> a_k

Dla przypadku wielomianu uogólnionego

ϕ(x) = a_o u_o(x)+ a₁ u₁(x)+.......+a_m u_m(x) powstaje układ równań w postaci:

Σ^m_j=0 a_j Σⁿ_i=0 u_j (x_i) u_k (x_i) = Σⁿ_i=0 f_i u_k (x_i) i,j = 0,1....n

w zapisie macierzowym

U^T U a = U^T F

Gdzie:

Równania znacznie się upraszczają gdy funkcje u_k(x) są ortogonalne

Np.: funkcje Czebyszewa

2. Aproksymacja całkowa

Funkcja f(x) jest określona i ciągła w przedziale [a,b]

ϕ(x) = Σ^m_k=0 a_k x^k

metoda najmniejszych kwadratów

3. Aproksymacja funkcjami ortogonalnymi

Def. Funkcja wagowa - taka funkcja w(x), że w(x) ≥ 0 w [a,b] , tz. w ≠ 0 w pewnym przedziale [a,b]

Wielomiany Legendra w(x)⋅1 w [-1,1] -ortogonalne

Jeśli f(x) jest aproksymowane w [a,b] to dokonujemy przekształcenia na przedział [-1,1] według wzoru:

---