Temat 3

Numeryczne metody obliczania całek funkcji jednej zmiennej

Tomasz Walocha

Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Kierunek Metalurgia

Wydział odlewnictwa

Rok I

Grupa VI

1. Obliczanie wartości teoretycznej całki

1. Dla wielomianu czwartego stopnia

W(x)=4-2x=2x²=3x³-x⁴ x₁=-1,3 x₂=3,5

$\int_{x1}^{x2}{(a + \text{bx} + \text{cx}2 + \text{dx}3 + \text{ex}4)\text{dx} = a(x2x1) + \frac{12\text{ex} + 15\text{dx} - 3\left( 5d + 4\text{ex} \right)x + 30b\left( x - x \right) + 20c(x - x)}{60}}$ =4(3,5+1,3)+$\frac{12*\left( - 1 \right)*\left( 3,5 \right) + 15*3*\left( 3,5 \right) - \lbrack 3*\left( 5*3 + 4*\left( - 1 \right)*\left( - 1,3 \right) \right\rbrack + 30*\left( - 2 \right)*\left( \left( 3,5 \right)*\left( - 1,3 \right) \right) + 20,2*(\left( 3,5 \right) - \left( - 1,3 \right))}{60}$=

19*2+$\frac{- 12*325,21875 + 45*130,0625 - \left( 3*20,2*2,8561 \right) + \left( - 60 \right)*\left( 12,25 + 2,197 \right) + 40*(42,875 + 2,197)}{60}$=

19,2+$\frac{1213,16784}{60}$=19,2+20,219464=39,419464

1. Dla funkcji y(x)=ax*sin(bx²) a=4 b=-3 x₁=1,2 x₂=4

$$\int_{x1}^{x2}\left\lbrack axsin(\text{bx}^{2}) \right\rbrack dx = \frac{a\left\lbrack \cos\left( \text{bx}^{2} \right) - cos(\text{bx}^{2}) \right\rbrack}{2b} = \frac{4\left\lbrack cos( - 2*\left( {- 1,2)}^{2} \right) - cos({- 2*3}^{2}) \right\rbrack}{2*( - 3)} = \frac{4\left\lbrack \cos\left( 2 - 2*1,44 \right) - cos( - 2*9) \right\rbrack}{- 6} = \frac{4\left\lbrack \cos\left( - 2,88 \right) - cos( - 18) \right\rbrack}{- 6} = \frac{4\left\lbrack 0,998736959 - 0,951056516 \right\rbrack}{- 6} = - 0,04768044$$

1. Dla funkcji y(x)=x|sin(x)|

Nie istnieje rozwiÄ…zanie teoretyczne

$\frac{\text{warto}sc\ \text{rzeczywista} - \text{warto}sc\ \text{teoretyczna}}{\text{warto}sc\ \text{teoretyczna}}$=|wartosc bledu|

1. Dla wielomianu czwartego stopnia

W(x)=4-3x+4x²+2x³-x⁴

^{Liczba przedziałów:10}

Wartość rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 41,3939856317 0,03

Metoda trapezów 43,0576836402 0,0665

Metoda simpsona 44,3403460334 0,0985

^{Liczba przedziałów:100}

Wartość rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 43,2585639213 0,0963

Metoda trapezów 43,9293783633 0,0983

Metoda simpsona 43,3096485431 0,0983

^{Liczba przedziałów:1000}

Wartość rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 43,3036725463 0,0983

Metoda trapezów 43,3047296243 0,0986

Metoda simpsona 44,3043460000 0,0986

^{Liczba przedziałów:10000}

Wartość rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 43,3043498926 0,0986

Metoda trapezów 43,3044621372 0,0986

Metoda simpsona 43,3044640000 0,0986

^{Liczba przedziałów:100000}

Wartość rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 43,3044536927 0,0986

Metoda trapezów 43,3044057253 0,0986

Metoda simpsona 43,3044634286 0,0986

2.Metoda Monte Carlo

^{Liczba losowań:1000}

Wartość rzeczywista błąd

Wynik 1 42,8194675230 0,0863

Wynik 2 44,7304863203 0,1273

Wynik 3 43,4687123406 0,1163

^{Liczba losowań:10000}

Wartość rzeczywista błąd

Wynik 1 42,8790324156 0,0731

Wynik 2 42,5670034281 0,0801

Wynik 3 42,6664320332 0,0812

^{Liczba losowań:100000}

Wartość rzeczywista błąd

Wynik 1 42,7635243401 0,0879

Wynik 2 42,7324763210 0,0825

Wynik 3 42,7447262230 0,0834

1. Dla funkcji y(x)=ax*sin(bx²)

^{Liczba przedziałów:10}

Wartość rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 1,4243636670 -30,8731

Metoda trapezów -0,2074358904 -0,7925

Metoda simpsona 1.6379832186 -35,3536

^{Liczba przedziałów:100}

Wartość rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 1,7727709917 -38,7208

Metoda trapezów 1,6095910362 -34,4578

Metoda simpsona 1,6213683789 -35,1082

^{Liczba przedziałów:1000}

Wartość rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 1,6424474954 -35,4469

Metoda trapezów 1,6261294598 -35,1047

Metoda simpsona 1,6262960216 -35,1501

^{Liczba przedziałów:10000}

Wartość rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 1,6279261546 -35,1424

Metoda trapezów 1,6263783531 -35,1082

Metoda simpsona 1,6263960206 -35,1088

^{Liczba przedziałów:100000}

Wartość rzeczywista błąd

Metoda prostokątów 1,62645918979 -35,1116

Metoda trapezów 1,62629060040 -35,1082

Metoda simpsona 1,62629604745 -35,1083

3.Wnioski

Dla funkcji y(x)=x|sin(x)| nie istnieje teoretyczne rozwiazanie

Najgorszą metoda jest metoda Monte Carlo ponieważ daje ona przypadkowe wyniki i na ich podstawie liczy calke, dlatego liczenie błędu jest zbędne ponieważ wyniki są wysokie.

Ta metoda liczy pole względem całego pola a nie osi X

Najlepszą metodą jest metoda simpsona ponieważ jest prawidłowa dla najwiękrzej ilośći orzedziałów.