Józef Szymczak

Pochodna funkcji jednej zmiennej

(notatki z wykładu)

Niech

0

x

i

1

x

będą pewnymi argumentami funkcji

)

(x

f

, a

)

(

0

x

f

i

)

(

1

x

f

wartościami funkcji

odpowiadającymi tym argumentom.

Oznaczmy:

0

1

x

x

x







– przyrost argumentu,

)

(

)

(

0

1

x

f

x

f

y







– przyrost funkcji odpowiadający

danemu przyrostowi argumentu.

x

x

x

x

y

x

f

x

x

f

x

f

x

f





















)

(

)

(

)

(

)

(

0

0

0

1

0

1

to iloraz różnicowy wyrażający stosunek przyrostu funkcji

y



do przyrostu argumentu

x



(czyli stosunek przyrostu

zmiennej zależnej do przyrostu zmiennej niezależnej).

Definicja pochodnej funkcji

Pochodną funkcji

)

(x

f

w punkcie

0

x

nazywamy granicę ilorazu różnicowego

x

y





(o ile

istnieje) przy założeniu, że przyrost argumentu

x



dąży do zera.

Zapisujemy ten fakt symbolicznie:

x

x

f

x

x

f

x

x

f

















)

(

)

(

0

0

0

0

lim

)

(

.

Pochodna funkcji w punkcie jest to zatem ściśle określona liczba.

Jeżeli funkcja

)

(x

f

ma w punkcie

0

x

pochodną skończoną, to mówimy, że jest ona

różniczkowalna w punkcie

0

x

.

Wyznaczanie pochodnej funkcji nazywamy różniczkowaniem.

Pochodną funkcji zapisujemy używając symboli:

)

(x

f



, y



lub

dx

dy

.

Przykład. Obliczyć pochodną funkcji

x

x

f



)

(

w punkcie

0

x

(na podstawie definicji).

Wyznaczamy iloraz różnicowy dla tej funkcji:

1

)

(

)

(

)

(

)

(

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y



































































.

Z definicji pochodnej mamy:

2

1

1

0

0

0

0

0

lim

)

(

x

x

x

x

x

x

f

















.

Stąd możemy policzyć, że np.

4

1

)

4

(





f

,

2

1

)

1

(





f

,

2

1

2

)

2

(





f

,

)

0

(

f



nie istnieje.

Interpretacja geometryczna pochodnej

Zauważmy, że iloraz różnicowy

x

y





wyraża tangens kąta



między dodatnią półosią

Ox

a sieczną przechodzącą

przez punkty

))

(

,

(

0

0

x

f

x

A

i

))

(

,

(

1

1

x

f

x

B

. Gdy

x



dąży do

zera, sieczna zmienia swoje położenie stając się w końcu
styczną. Tak więc



tg

x

f





)

(

0

,

gdzie kąt



jest kątem zawartym między dodatnią półosią

Ox

, a styczną do wykresu funkcji

)

(x

f

w punkcie

))

(

,

(

0

0

x

f

x

A

.

Interpretacja fizyczna pochodnej

Traktując drogę S jako funkcję zależną od czasu t, czyli

)

(t

S

S



, możemy powiedzieć, że iloraz

różnicowy

t

t

S

t

t

S

t

S















)

(

)

(

0

0

oznacza prędkość średnią poruszającego się ciała w przedziale

czasu

t



, czyli

t

S

V

sr







.

t

t

S

t

t

S

t

t

S

















)

(

)

(

0

0

0

0

lim

)

(

oznacza prędkość poruszającego się ciała w chwili

0

t

(prędkość

chwilowa), czyli

)

(

)

(

0

0

t

V

t

S





.

Traktując ładunek elektryczny Q przepływający przez przekrój przewodnika jako funkcję

czasu t, czyli

)

(t

f

Q



, możemy powiedzieć, że iloraz różnicowy

t

t

f

t

t

f

t

Q















)

(

)

(

0

0

oznacza

średnie natężenie prądu w przedziale czasu

t



. Granica tego ilorazu różnicowego przy

0





t

oznaczać będzie natężenie prądu w chwili

0

t

.

____________________________________________

Ogólnie możemy powiedzieć, że pochodną interpretujemy jako szybkość zmiany funkcji w

danym punkcie

0

x

x



.

______________________________________________

Pochodna lewostronna i prawostronna.

)

(

0

0

0

)

(

)

(

0

lim

x

f

x

x

f

x

x

f

x





















,

)

(

0

0

0

)

(

)

(

0

lim

x

f

x

x

f

x

x

f

x





















.

Pochodna funkcji w punkcie

0

x istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją pochodne

jednostronne w tym punkcie i są sobie równe.

Przykład. Wyznaczyć pochodne jednostronne funkcji

x

x

f



)

(

w punkcie

0

0



x

.

W tym przypadku mamy , że

1

lim

0

0

lim

)

(

0

0

0







































x

x

x

x

x

f

x

x

,

1

lim

0

0

lim

)

(

0

0

0



































x

x

x

x

x

f

x

x

.

Widać stąd, że nie istnieje pochodna funkcji

x

x

f



)

(

w punkcie

0

0



x

, ponieważ pochodne

jednostronne w tym punkcie są różne.

Twierdzenie. Funkcja różniczkowalna w danym punkcie

0

0



x

jest w tym punkcie ciągła

(odwrotne twierdzenie nie zachodzi, co pokazuje wcześniejszy przykład).

Ważniejsze wzory rachunku różniczkowego.

Pochodne podstawowych funkcji elementarnych:

0

)

(





c

x

x

e

e





)

(

1

1

)

(arctan

2







x

x

1

)

(















x

x

1

,

0

,

ln

(

)









a

a

a

a

a

x

x

1

1

)

cot

arc

(

2









x

x

x

x

cos

)

(sin





x

x

1

)

(ln





x

x

cosh

)

(sinh





x

x

sin

)

(cos







a

x

x

a

ln

1

)

(log





x

x

sinh

)

(cosh





x

x

2

cos

1

)

(tan





2

1

1

)

(arcsin

x

x







x

x

2

cosh

1

)

(tanh





x

x

2

sin

1

)

(cot







2

1

1

)

(arccos

x

x









x

x

2

sinh

1

)

(coth







Pochodna funkcji mającej pewien stały współczynnik:

)

(

)

)

(

(

x

f

c

x

f

c











Pochodna sumy (różnicy) funkcji:

)

(

)

(

)

)

(

)

(

(

x

g

x

f

x

g

x

f













Pochodna iloczynu funkcji:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)

(

)

(

(

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

















Pochodna ilorazu funkcji:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

)

(

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f















Pochodna funkcji złożonej (oblicza się ją jako iloczyn pochodnej funkcji zewnętrznej i
pochodnej funkcji wewnętrznej):

)

(

)

(

))

(

(

)

(

x

g

g

f

x

g

f











czyli jeśli

))

(

(

x

g

f

y



, to

dx

dg

dg

df

dx

df





Zadanie 1.

Wyznaczyć pochodne następujących funkcji:

a)

x

y



,

2

x

y



,

4

5x

y



,

x

y

1



,

3

2

x

y



,

x

y



,

3

5

x

y



,

x

y

1



,

4

3

2

x

y



.

b)

x

x

y

cos

2

3





,

x

x

e

y

x

sin

3

ln

2

5







,

2

1

arctan

x

x

y





.

c)

x

x

xe

y

x

ln





,

x

x

y

sin

2



,

x

y

x

arctan

2



,

x

x

y

ln



,

1

2

1







x

x

y

,

2

3

1

2







x

x

y

,

1





x

x

y

.

d)

3

2

)

1

2

(







x

x

y

,

x

x

y

cos



,

)

4

3

ln(

x

y





,

x

e

x

y

3

2



,

x

xe

y



.

e)

Jak wyznaczamy pochodną funkcji typu:

)

(

))

(

(

x

g

x

f

y



? Wyznaczyć pochodną funkcji

x

x

y

cos



.

Zadanie 2.

Wyznaczyć równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji

a)

3

2

x

x

y





w punkcie

)

2

,

1

(



;

b)

x

y

1



w punkcie

)

,

2

(

2

1



P

.

Pochodna funkcji określonej parametrycznie.

Jeżeli funkcja

)

(x

f

określona jest parametrycznie równaniami











)

(

)

(

t

y

y

t

x

x

i istnieją pochodne

)

(t

y



i

0

)

(





t

x

, to

)

(

)

(

t

x

t

y

dx

dy







(można też zapisać

dt

dx

dt

dy

)

Na przykład

a) dla funkcji



















1

5

3

1

3

3

5

3

t

t

y

t

t

x

mamy

3

3

2





t

dt

dx

,

2

4

15

15

t

t

dt

dy





, więc

2

5

)

1

(

3

)

1

(

15

3

3

15

15

2

2

2

2

2

4

t

t

t

t

t

t

t

dx

dy















.

b) dla funkcji











t

a

y

t

a

x

sin

cos

mamy

t

a

t

x

sin

)

(







,

t

a

t

y

cos

)

(





, więc

t

t

a

t

a

dx

dy

cot

sin

cos









.

Można podać też interpretację wektorową pochodnej dla

funkcji określonej parametrycznie.

Jeśli

)]

(

),

(

[

t

y

t

x

r





przedstawia wektor wodzący pewnej

krzywej płaskiej określonej odpowiednimi równaniami para-
metrycznymi, to

)]

(

),

(

[

t

y

t

x

dt

r

d









jest wektorem stycznym do

danej krzywej w określonym punkcie

))

(

),

(

(

0

0

t

y

t

x

.

Pochodne wyższych rzędów.

Pochodną rzędu II funkcji

)

(x

f

y



będziemy oznaczać symbolem

y



(lub

)

(x

f



czy też

2

2

dx

y

d

).

Analogicznie będziemy oznaczać pochodne rzędu wyższego niż II.

Przykłady:

a) Jeśli

4

5

2

3









x

x

x

y

, to

1

10

3

2









x

x

y

,

10

6







x

y

,

6





y

,

0

...

)

5

(

)

4

(







y

y

.

b) Jeśli

x

y

ln



, to

x

y

1





,

2

1

x

y







,

3

2

x

y





,

4

)

4

(

6

x

y





,…,

n

n

n

x

n

y

)!

1

(

)

1

(

1

)

(









.

Różniczka funkcji

Niech funkcja

)

(x

f

ma pochodną właściwą w punkcie

0

x

.

Różniczką funkcji w punkcie

0

x

nazywamy funkcję df zmiennej

0

x

x

x







określoną

wzorem

x

x

f

x

df











)

(

)

(

0

Geometrycznie różniczka funkcji przedstawia część

liniową przyrostu funkcji.

W ogólnym przypadku dla funkcji

)

(x

f

y



zapisujemy:

dx

x

f

dy

)

(





.

Przykład. Obliczyć różniczkę

dy

funkcji

3

)

(

x

x

f

y





w punkcie

1

0



x

odpowiadającą

przyrostowi

01

,

0







x

. Obliczyć też przyrost

y



tej funkcji przy podanych warunkach.

a) różniczka:

ponieważ

2

3

)

(

x

x

f





, więc

03

,

0

)

01

,

0

(

1

3

)

1

(

2





















x

f

dy

;

b) przyrost funkcji:

ponieważ

)

(

)

(

0

0

x

f

x

x

f

y











, więc

029701

,

0

1

970299

,

0

)

1

(

)

99

,

0

(

3

3















y

.

Uwaga.

Dla małych przyrostów argumentu

x



można przyjąć, że

dy

y





, czyli

x

x

f

x

f

x

x

f















)

(

)

(

)

(

0

0

0

, skąd

x

x

f

x

f

x

x

f















)

(

)

(

)

(

0

0

0

,

co można wykorzystać do niektórych przybliżonych obliczeń.

Przykład. Obliczyć przybliżoną wartość potęgi:

4

)

01

,

2

(

.

Mamy tu przypadek funkcji potęgowej

4

)

(

x

x

f

y





, skąd

3

4

)

(

x

x

f





. Dalej zauważmy, że

2

0



x

,

01

,

0





x

, a więc

32

,

16

01

,

0

32

16

)

01

,

0

(

2

4

2

)

01

,

2

(

)

(

3

4

4

0























x

x

f

.

Przypomnijmy, że symbolem

)

,

(

0



x

S

oznaczamy pewne sąsiedztwo punktu

0

x o

promieniu



.

Twierdzenie de l’Hospitala.

Jeżeli funkcje

)

(

)

(

x

g

x

f

oraz

)

(

)

(

x

g

x

f





są określone w pewnym sąsiedztwie

)

,

(

0



x

S

i istnieje

granica

)

(

)

(

lim

0

x

g

x

f

x

x







(właściwa lub niewłaściwa) oraz

0

)

(

)

(

0

0

lim

lim









x

g

x

f

x

x

x

x

albo











)

(

)

(

0

0

lim

lim

x

g

x

f

x

x

x

x

(lub





), to istnieje

)

(

)

(

lim

0

x

g

x

f

x

x



, przy czym

)

(

)

(

lim

0

x

g

x

f

x

x



=

)

(

)

(

lim

0

x

g

x

f

x

x







.

Twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic jednostronnych oraz granic w

nieskończoności.

Przykłady.

a)

x

x

x

arcsin

sin

lim

0



H

]

[

0

0



2

0

1

1

cos

lim

x

x

x





=

1

1

= 1.

b)

1

1

lim

3

0







x

x

x

e

e

H

]

[

0

0



x

x

x

e

e

3

3

lim

0





=

3

1



.

c)

x

x

x

ln

lim

0



H

]

[







x

x

x

1

1

lim

2

0



=

x

x

x

2

lim

0



=

2

lim

0

x

x



=



.

d)

)

1

sh

1

(

lim

0

x

x

x







]

[









x

x

x

x

x

sh

sh

lim

0







H

]

[

0

0



x

x

x

x

x

ch

sh

ch

1

lim

0









H

]

[

0

0



x

x

x

x

x

x

sh

ch

ch

sh

lim

0











=

2

0

= 0.

e)

x

x

x

ln

lim





H

]

[







1

1

lim

2

1

x

x





= 0.

Zadanie. Wyznaczyć

x

x

x

1

)

(

lim





.