Analiza Matematyczna - I Rok Informatyki

Lista 7 - Zastosowania pochodnych funkcji jednej zmiennej

Zadanie 1.

Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:

a)
; b)
;

c)
; d)
;

e)
; f)
.

Zadanie 2.

Obliczyć kąt między krzywymi:

a)
; b)
;

c)
; d)
.

Zadanie 3.

Dla jakich wartości parametru
, wykresy funkcji
przetną się pod kątem prostym?

Zadanie 4.

Znaleźć wzory ogólne na pochodną
-tego rzędu podanych funkcji:

a)
; b)
; c)
;

d)
; e)
; f)
.

Zadanie 5.

Napisać wzór Taylora dla podanej funkcji w otoczeniu punktu
:

a)
; b)
; c)
;

d)
; e)
; f)
.

Zadanie 6.

Napisać wzory Maclaurina dla podanych funkcji:

a)
; b)
; c)
;

d)
; e)
; f)
.

Zadanie 7.

Korzystając z reguły de L'Hospitala obliczyć podane granice :

a)
; b)
; c)
; d)
;

e)
; f)
; g)
; h)
;

i)
; j)
; k)
; l)
;

m)
; n)
; o)
; p)
;

q)
; r)
; s)
; t)
;

u)
; v)
.

Zadanie 8.

Zastosować twierdzenie Lagrange'a do funkcji: a)
na przedziale
; b)
na przedziale
. Wyznaczyć punkty średnie.

Zadanie 9.

Korzystając z twierdzenia Lagrange'a uzasadnić podane nierówności:

a)
dla
; b)
dla
;

c)
dla
oraz
;

d)
dla
; e)
dla
;

f)
dla
; g)
.

Zadanie 10.

Znaleźć przedziały monotoniczności podanych funkcji:

a)
; b)
; c)
;

d)
; e)
; f)
.

Zadanie 11.

Uzasadnić podane tożsamości:

a)
dla każdego
;

b)
dla każdego
.

Zadanie 12.

Sprawdzić, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle'a na przedziale
:

a)
; b)
; c)
;

d)
; e)
; f)
.

Zadanie 13.

Pokazać, że równanie
ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale
.

Zadanie 14.

Wykazać prawdziwość nierówności:

a)
; b)
;

c)
; d)
.

Zadanie 15.

Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji:

a)
; b)
;

c)
; d)
;

e)
; f)
.

Zadanie 16.

Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji we wskazanych przedziałach:

a)
; b)
;

c)
; d)
.

Zadanie 17.

Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia podanych funkcji:

a)
; b)
;

c)
; d)
;

e)
; f)
.

Zadanie 18.

Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy:

a)
; b)
; c)
;

d)
; e)
; f)
;

g)
; h)
; i)
;

j)
.