1
WYKŁAD X
Pochodna funkcji jednej zmiennej
gdzie:
∆x jest przyrostem argumentu,
∆f =f(x+ ∆x)-f(x) jest przyrostem wartości funkcji,
odpowiadającej przyrostowi argumentu .
( )
(
)
( )
x
x
f
x
x
f
lim
x
f
lim
x
f
x
x
∆
−
∆
+
=
∆
∆
=
′
→
∆
→
∆
0
0
Definicja: Pochodną funkcji y=f(x) nazywamy granicę
ilorazu przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu
w postaci:
(*)
Pochodną dowolnej funkcji można obliczyć z definicji
podanej we wzorze (*). Pokażemy to na poniższym
przykładzie.
2
Przykład 1
( )
5
3
2
2
+
−
=
x
x
x
f
(
)
x
x
f
∆
+
(
)
(
)
(
)
( )
5
3
3
2
4
2
5
3
2
2
2
2
+
∆
−
−
∆
+
∆
+
=
+
∆
+
−
∆
+
=
∆
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
( )
( )
[
]
(
)
=
∆
+
−
−
+
∆
−
−
∆
+
∆
+
=
′
→
∆
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
5
3
2
5
3
3
2
4
2
lim
2
2
2
0
Obliczyć pochodną funkcji
Rozwiązanie
:
Aby obliczyć pochodną z definicji obliczymy
Zatem
Po wstawieniu do (*) otrzymujemy:
(
)
3
4
3
2
4
lim
0
−
=
∆
−
∆
+
∆
=
→
∆
x
x
x
x
x
x
3
Podstawowe wzory
Najważniejsze wzory na obliczanie pochodnych:
( )
1
.
1
−
=
′
n
n
nx
x
dla dowolnej liczby naturalnej n
( )
1
.
2
−
=
′
r
r
rx
x
dla dowolnej liczby rzeczywistej r
( )
x
x
e
e
=
′
.
3
(pochodna e
x
jest tą samą funkcją)
( )
x
x
1
ln
.
4
=
′
dla x>0
(
)
(
)
x
x
x
x
sin
cos
;
cos
sin
.
5
−
=
′
=
′
(
)
(
)
2
2
1
1
arccos
;
1
1
arcsin
.
6
x
x
x
x
−
−
=
′
−
=
′
(
)
(
)
2
2
1
1
;
1
1
.
7
x
arcctgx
x
arctgx
+
−
=
′
+
=
′
4
Przykład 2.
Ad 1)
( )
3
4
4x
x
=
′
( )
x
x
2
2
=
′
( )
0
0
1
0
=
=
′
−
x
x
Ad 2)
( )
5
5
4
4
4
4
1
x
x
x
x
−
=
−
=
′
=
′
−
−
x
x
x
x
x
3
2
2
1
1
2
3
2
1
=
−
=
′
=
′
−
−
( )
3
3
1
3
2
3
2
3
2
3
2
x
x
x
x
=
=
′
=
′
−
5
Własności pochodnych
Do obliczania pochodnych funkcji oprócz wzorów 1-5,
wykorzystujemy pewne własności, które można zapisać w
postaci:
( )
[
]
( )
x
f
c
x
f
c
a
′
=
′
⋅
)
, gdzie c oznacza dowolną stałą
Własność ta pozwala wyłączyć stałą przed pochodną funkcji.
( ) ( )
[
]
( )
( )
x
g
x
f
x
g
x
f
b
′
±
′
=
′
±
)
Pochodna sumy bądź
różnicy dwóch funkcji jest sumą (różnicą) pochodnych tych funkcji.
( ) ( )
[
]
( ) ( )
( ) ( )
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
c
′
⋅
+
⋅
′
=
′
⋅
)
Pochodna iloczynu dwóch funkcji jest sumą iloczynów pochodnej
jednej funkcji przez drugą funkcję.
6
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
[
]
( )
0
;
)
2
≠
′
⋅
−
⋅
′
=
′
x
g
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
d
Pochodna
ilorazu dwóch funkcji
jest ilorazem różnicy
iloczynu pochodnej funkcji występującej w liczniku przez
funkcję z mianownika i iloczynu funkcji z licznika przez
pochodną funkcji z mianownika przez kwadrat funkcji
występującej w mianowniku.
( )
[
]
{
}
( ) ( )
x
u
u
f
x
u
f
e
′
⋅
′
=
′
)
Pochodna
funkcji złożonej
jest iloczynem pochodnej funkcji
zewnętrznej f(u) przez pochodną funkcji wewnętrznej u(x).
7
Przykład 3
( )
3
5
2
+
= x
x
u
W tym przykładzie, funkcją wewnętrzną jest funkcja
Obliczamy najpierw pochodną funkcji zewnętrznej (
)
u
cos
u
sin
=
′
i mnożymy ją przez pochodną funkcji wewnętrznej ( )
(
)
x
x
x
u
10
3
5
2
=
′
+
=
′
(
) ( )
( )
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
b
sin
5
12
12
cos
5
12
4
cos
5
12
4
)
2
3
3
−
+
=
′
+
′
+
′
=
′
+
+
( )
4
4
5
50
5
10
10
)
x
x
x
a
=
⋅
=
′
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
=
′
+
+
′
+
=
′
+
x
x
x
x
x
x
c
sin
5
3
sin
5
3
sin
5
3
)
3
3
3
(
)
x
x
x
x
cos
5
3
sin
9
3
2
+
+
=
( )
(
)
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
tgx
d
2
2
2
2
2
cos
1
cos
sin
cos
cos
cos
sin
cos
sin
cos
sin
)
=
+
=
′
−
′
=
′
=
′
(
)
(
)
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ctgx
2
2
2
2
2
sin
1
sin
cos
sin
sin
sin
cos
sin
cos
sin
cos
−
=
−
−
=
′
−
′
=
′
=
′
(
)
[
]
(
) (
)
(
)
3
5
cos
10
3
5
3
5
cos
3
5
sin
)
2
2
2
2
+
+
′
+
⋅
+
=
′
+
x
x
x
x
x
e
8
Interpretacja geometryczna
pochodnej funkcji w punkcie
0
x
A
B
C
ϕ
Rys. 4. Graficzna interpretacja pochodnej funkcji w punkcie
(
) ( )
x
x
f
x
x
f
tg
∆
−
∆
+
=
ϕ
0
0
( )
(
)
( )
α
=
∆
−
∆
+
=
′
→
∆
tg
x
x
f
x
x
f
lim
x
f
x
0
0
0
0
( )
0
x
f
(
)
x
x
f
∆
+
0
x
x
∆
+
0
∆x
(
)
( )
0
0
x
f
x
x
f
−
∆
+
α
9
Opis rysunku:
Niech punkt A posiada współrzędne (x
0
, f(x
0
)),
natomiast punkt B współrzędne (x
0
+
∆x, f(x0+∆x)), gdzie ∆x
jest przyrostem argumentu funkcji, zaś C(x
0
+
∆x, f(x
0
)).
gdzie
α jest kątem nachylenia stycznej do funkcji w punkcie A.
(
)
( )
x
x
f
x
x
f
tg
∆
−
∆
+
=
ϕ
0
0
Ponadto, jeśli przyrost argumentu
∆x dąży do zera, tzn. ∆x→0,
wówczas punkt B zbliża się do punktu A, zaś sieczna
przechodząca przez punkty A i B dąży do stycznej funkcji w
punkcie A. Ostatecznie otrzymujemy, że
( )
(
)
( )
α
=
∆
−
∆
+
=
′
→
∆
tg
x
x
f
x
x
f
x
f
x
0
0
0
lim
Rozważmy trójkąt ABC.
Łatwo zauważyć, że tangens kąta BAC wynosi:
10
Zastosowanie pochodnej do badania
przebiegu funkcji
1. Je
ż
eli istnieje pochodna funkcji w przedziale (a,b) oraz f
′
(x) jest
dodatnia
w tym przedziale (f
′
(x) >0), wówczas funkcja f(x) jest
rosnąca
w przedziale (a,b).
2. Je
ż
eli istnieje pochodna funkcji w przedziale (a,b) oraz f
′
(x) jest
ujemna
w tym przedziale (f
′
(x) <0), wówczas funkcja f(x) jest
malejąca
w przedziale (a,b).
3. Je
ż
eli istnieje pochodna funkcji w przedziale (a,b) oraz w pewnym
punkcie x
0
∈ (a,b) pochodna funkcji jest równa zero, tzn. f
′
(x
0
)=0, oraz
je
ż
eli ponadto f
′
(x
0
)<0 dla x<x
0
oraz f
′
(x
0
)>0 dla x>x
0
wówczas funkcja
f
(x) osi
ą
ga
minimum
lokalne w punkcie x
0
.
4. Je
ż
eli istnieje pochodna funkcji w przedziale (a,b) oraz w pewnym
punkcie x
0
∈ (a,b) pochodna funkcji jest równa zero, tzn. f
′
(x
0
)=0, oraz
je
ż
eli ponadto f
′
(x
0
)>0 dla x<x
0
oraz f
′
(x
0
)<0 dla x>x
0
wówczas funkcja
f
(x) osi
ą
ga
maximum
lokalne w punkcie x
0
.
11
Przykład 4
Dana jest funkcja y=8x
3
-x
2
-x
+2. Wyznaczyć przedziały
monotoniczności funkcji oraz punkty, w których funkcja
osiąga ekstrema.
Rozwiązanie:
Obliczamy pochodną y'=24x
2
-2x-
1.
Badamy znak pochodnej:
0
1
2
24
2
>
−
− x
x
( )
( )
100
1
24
4
2
4
2
2
=
−
⋅
⋅
−
−
=
−
=
∆
ac
b
6
1
48
8
48
10
2
1
−
=
−
=
−
=
x
4
1
48
12
48
10
2
2
=
=
+
=
x
12
Wykonamy wykres
pochodnej:
( )
↑
⇔
+∞
∪
−
∞
−
∈
⇔
>
′
f
x
x
f
,
4
1
6
1
,
0
+
+
-
( )
↓
⇔
−
∈
⇔
<
′
f
x
x
f
4
1
,
6
1
0
Ponadto funkcja posiada maksimum dla
oraz minimum dla
6
1
−
=
x
4
1
=
x
Funkcja rosn
ą
ca
Funkcja malej
ą
ca