Pochodne i różniczki

Pochodne i różniczki

funkcji jednej zmiennej

funkcji jednej zmiennej

Przyrost funkcji (przyrost

Przyrost funkcji (przyrost

zmiennej zależnej y).

zmiennej zależnej y).

)

(

)

(

0

0

x

f

x

x

f

y











Przyrost

Przyrost

zmiennej

zmiennej

niezależnej

niezależnej

(przyrost argumentu)

(przyrost argumentu)

0

0









x

x

x

Iloraz różnicowy

Iloraz różnicowy

DEF:

Ilorazem różnicowym funkcji f(x) między

punktami i nazywamy stosunek

przyrostu zmiennej zależnej do

przyrostu zmiennej niezależnej.

0

x

x

x 



0

y



x



x

x

f

x

x

f

x

y















)

(

)

(

0

0

Przykład:

Oblicz iloraz różnicowy dla funkcji

w punkcie , i przyrostu .

1

2

)

(

3







x

x

x

f

2

0



x

x



Pewne interpretacje ilorazu

Pewne interpretacje ilorazu

różnicowego:

różnicowego:

• Iloraz różnicowy jest tangensem kąta

nachylenia siecznej AB, przechodzącej
przez punkty

i

z dodatnim kierunkiem osi Ox

.

• Traktując drogę S jako funkcję czasu t,

czyli S=f(t), można zinterpretować iloraz
różnicowy

jako

średnia

prędkość

poruszającego się ciała w odstępie czasu
.

• Traktując ładunek elektryczny jak Q, który

przepływa

przez

pewien

przekrój

przewodnika jako funkcję czasu t, czyli
Q=f(t), można powiedzieć, że iloraz
różnicowy oznacza średnie natężenie
prądu w odstępie czasu .

))

(

,

(

0

0

x

f

x

A

))

(

,

(

0

0

x

x

f

x

x

B









t



t



Pochodna funkcji

Pochodna funkcji

DEF:

Pochodną funkcji y=f(x) w punkcie nazywamy granicę
ilorazu różnicowego (o ile istnieje), przy założeniu, iż
przyrost zmiennej niezależnej dąży do zera.

0

x

x



)

(

,

),

(

0

0

0

x

y

dx

dy

x

f

x

x



















Oznaczenia:

x

x

f

x

x

f

x

f

x

















)

(

)

(

lim

)

(

0

0

0

0

Jeśli nie istnieje granica właściwa ilorazu różnicowego (***) to
mówimy, że pochodna nie istnieje.

)

(

'

0

x

f

Pewne interpretacje

Pewne interpretacje

pochodnej:

pochodnej:

1. Pochodna funkcji f(x) w danym punkcie jest tangensem
kąta nachylenia α, jaki styczna do wykresu funkcji w punkcie
tworzy z dodatnim kierunkiem osi 0x.
1. Granica ilorazu różnicowego (*) oznacza prędkość
poruszającego się ciała

0

x

))

(

,

(

0

0

x

f

x

A

(*)

)

(

)

(

0

0

t

t

f

t

t

f

t

S















3. Granica ilorazu różnicowego (**) oznacza natężenie prądu
w chwili

0

t

(**)

)

(

)

(

0

0

t

t

f

t

t

f

t

Q















DEF:

Pochodną prawostronną funkcji f(x)w punkcie , nazywamy
granicę ilorazu różnicowego przy założeniu, iż przyrost
zmiennej niezależnej dąży do zera przez wartości dodatnie.

0

x

x



x

x

f

x

x

f

x

f

x



















)

(

)

(

lim

)

(

0

0

0

0

'

DEF:

Pochodną lewostronną funkcji f(x) w punkcie , nazywamy
granicę ilorazu różnicowego przy założeniu, iż przyrost
zmiennej niezależnej dąży do zera przez wartości ujemne.

0

x

x



x

x

f

x

x

f

x

f

x



















)

(

)

(

lim

)

(

0

0

0

0

'

TW. 1

Warunkiem wystarczającym i koniecznym na to, aby funkcja f(x)
miała pochodną w punkcie , jest aby istniały w tym punkcie
obie pochodne jednostronne i były równe.

0

x

)

(

)

(

)

(

'

0

'

0

'

0

x

f

x

f

x

f









TW. 2

Jeżeli funkcja f(x) ma pochodna w punkcie , to jest w tym
punkcie ciągła.

0

x

Przykład:

Zbadaj istnienie pochodnej funkcji f(x)=|x|, w punkcie

0

0



x

DEF:

Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie , to mówimy, że
funkcja ta jest różniczkowalna w tym punkcie.

0

x

DEF:

Funkcję f(x) nazywamy różniczkowalną w
przedziale otwartym(a,b) wtedy, gdy posiada
pochodną w każdym punkcie tego przedziału.

DEF:

Funkcję f(x) nazywamy różniczkowalną w przedziale
domkniętym <a,b> wtedy, gdy jest różniczkowalna
w przedziale otwartym (a,b) oraz istnieją pochodne
jednostronne i .

)

(

'

a

f



)

(

'

b

f



Gdy funkcja f(x) ma pochodną w każdym punkcie pewnego
Zbioru otwartego X, to każdemu punktowi
przyporządkowana jest dokładnie jedna wartość f’(x). Określono
więc funkcję, którą oznaczać będziemy symbolem f’(x) lub y’
i nazywać pochodną funkcji f(x).
Znajdowanie pochodnej funkcji f(x) nazywamy różniczkowaniem
funkcji f(x).

Ogólne reguły obliczania

Ogólne reguły obliczania

pochodnych

pochodnych

x

x

x

x

x

x

nx

x

c

n

n

sin

)'

(cos

cos

)'

(sin

1

)'

(ln

)'

(

0

)'

(

1















TW. 3

Jeżeli istnieje pochodna f’(x) funkcji f(x) w punkcie , to
dla każdego istnieje pochodna i wyraża się wzorem:

Df

x

R

c

]

)

(

[



x

cf

)

(

'

)]'

(

[

x

cf

x

cf



TW. 4

Jeżeli istnieją pochodne f’(x) i g’(x) w punkcie , to
istnieją pochodne i wyraża się
wzorem:

Dg

Df

x





)]'

(

)

(

[

,

)]'

(

)

(

[

,

)]'

(

)

(

[

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f



.

0

)

(

,

)]

(

[

)

(

'

)

(

)

(

)

(

'

)

(

)

(

),

(

'

)

(

)

(

)

(

'

)]'

(

)

(

[

),

(

'

)

(

'

)]'

(

)

(

[

2































x

g

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

.

1

)'

(

,

1

)'

(

,

)'

(

,

)'

(

,

sin

1

)'

(

,

cos

1

)'

(

2

2

2

2

x

sh

cthx

x

ch

thx

shx

chx

chx

shx

x

ctgx

x

tgx

















TW. 5

Jeżeli funkcja x=g(y) ciągła i ściśle monotoniczna w przedziale
(a,b) ma pochodną g’(y)≠0 w punkcie to funkcja y=f(x)
odwrotna do niej posiada pochodną w punkcie
i wyraża się wzorem:

),

,

(

0

b

a

y 

)

(

0

y

g

x 

).

(

,

)

('

1

)

(

'

0

0

0

0

x

f

y

y

g

x

f





.

1

1

)'

(

,

1

1

)'

(

,

1

1

)'

(arccos

,

1

1

)'

(arcsin

,

)'

(

2

2

2

2

x

arcctgx

x

arctgx

x

x

x

x

e

e

x

x























Przykład:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

)

1

cos

sin

(

cos

cos

cos

sin

cos

1

cos

cos

cos

1

1

)'

(

1

)'

(

1

1

)'

(ln

1

)'

(

x

y

tg

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

tgy

arctgx

e

y

y

y

e

x

x

































TW. 6

Jeżeli funkcja g(x) jest różniczkowalna i przyjmuje wartość
w punkcie , zaś funkcja f(u) jest określona w otoczeniu
punktu i różniczkowalna w tym punkcie, to funkcja
złożona y=f[g(x)] jest różniczkowalna w punkcie , przy czym:

0

u

0

x

0

u

0

x

)

(

'

)

(

'

)]}'

(

[

'

{

)

(

'

0

0

0

0

x

g

u

f

x

g

f

x

y





DEF:

Pochodną logarytmiczną różniczkowalnej funkcji f(x) o dodatnich
wartościach nazywamy pochodna jej logarytmu naturalnego.









'

)

(

ln

)

(

)

(

'

)

(

)

(

'

'

)

(

ln

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f





DEF:

Różniczką funkcji f(x) w punkcie w punkcie ze względu
na przyrost nazywamy iloczyn i oznaczamy
symbolem tzn.:

0

x

x



x

x

f



)

(

'

0

)

(

0

x

df

x

x

f

x

df





)

(

'

)

(

0

0

Można udowodnić wzór, który wykorzystywany przy obliczeniach przybliżonych,
przy czym popełnia się dowolnie mały błąd, jeżeli przyrost jest dostatecznie bliski zeru.

dx

x

f

x

f

dx

x

f

x

x

x

x

d

x

x

f

x

f

x

x

f

)

(

'

)

(

)

(

1

)'

(

)

(

)

(

'

)

(

)

(

























Przykład:

Oblicz przybliżoną wartość wyrażeń:

4

2

,

0

3

17

31

sin

9

,

0

ln

19

,

26

o

e

Pochodne i różniczki wyższych

Pochodne i różniczki wyższych

rzędów

rzędów

DEF:

Jeżeli funkcja pochodna f’(x) ma pochodna w każdym punkcie
, to tę pochodną oznaczamy symbolem f’’(x) lub
i nazywamy

pochodną rzędu drugiego

.

X

x

)

(

)

2

(

x

f

)]'

(

'

[

:

)

(

''

x

f

x

f



Ogólnie:

,....

3

,

2

,

1

)]'

(

[

:

)

(

)

1

(

)

(







n

x

f

x

f

n

n

DEF:

Jeżeli funkcja f(x) posiada w pewnym punkcie pochodną (lub
zbiorze punktów) pochodną rzędu n, to mówimy, że jest ona
w tym punkcie (zbiorze punktów) n krotnie różniczkowalna.

DEF:

Różniczką rzędu n funkcji f(x) w punkcie dla przyrostu
(różniczki) zmiennej niezależnej x nazywamy różniczkę
różniczki rzędu (n-1), obliczoną dla tej funkcji przy tej samej
wartości .

0

x

x



x



x

x

f

x

df





)

(

'

)

(

0

0

n

n

n

x

x

f

x

f

d

x

x

f

x

f

d

x

x

f

x

x

f

x

x

f

x

df

)

)(

(

:

)

(

)

)(

(

''

:

)

(

)

(

''

)]'

(

'

[

]'

)

(

'

[

)]'

(

[

0

0

2

0

0

2

0

0





















DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ ;-)

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ ;-)