FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

1. Podstawowe określenia

2. Właściwości funkcji

3. Rodzaje funkcji

PODSTAWOWE OKREŚLENIA

Definicja 1. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określona pewna

funkcja f, (funkcja jednej zmiennej), jeżeli każdej liczbie x

ze zbioru X jest przyporządkowana według pewnego

przepisu jedna i tylko jedna wartość innej zmiennej y

z pewnego zbioru Y.

y = f(x)

gdzie:

x - argument funkcji lub zmienna niezależna,

y - wartość funkcji, zmienna zależna,

X - dziedzina funkcji lub pole określoności lub

obszar oznaczoności ,

Y - zbiór wartości, przeciwdziedzina lub zakres funkcji.

Definicja 2. Wykresem funkcji y = f(x) nazywamy zbiór wszystkich

punktów P(x,y), których współrzędne x i y spełniają

równanie y = f(x).

PODSTAWOWE OKREŚLENIA

Definicja 3. Funkcję f(x) nazywamy różnowartościową w przedziale,

jeżeli dla każdej pary różnych wartości x

1

≠ x

2

z tego

przedziału odpowiadające im wartości funkcji są różne

f(x

1

)

≠ f(x

2

) .

Definicja 4. Niech h: X

→ U i f: U → Y. Funkcję F: X → Y taką, że

dla każdej wartości argumentu x mamy:

F(x) = f [ h(x) ]

nazywamy funkcją złożoną z funkcji h i f lub superpozycją

tych funkcji.

PODSTAWOWE OKREŚLENIA

Definicja 5. Funkcję h nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f (ozn. f

-1

),

jeżeli dla każdej wartości argumentu x mamy:

f [ h(x) ] = x .

Wykresy funkcji odwrotnych są symetryczne względem prostej y = x.

y

=

WŁAŚCIWOŚCI FUNKCJI

1.

Funkcje ograniczone i nieograniczone

Definicja 6. Funkcję f nazywamy :

-

ograniczon w zbiorze X

⇔ ∃

M

∀

x

∈X

If(x)I

≤ M,

-

ograniczoną z dołu w zbiorze X

⇔ ∃

M

∀

x

∈X

M

≤ f(x),

-

ograniczoną z góry w zbiorze X

⇔ ∃

M

∀

x

∈X

f(x)

≤ M.

Funkcję, która nie jest ograniczona (z góry, z dołu) w zbiorze

X, nazywamy funkcją nieograniczoną (z dołu, z góry w tym

zbiorze.

2.

Funkcje monotoniczne

Definicja 7. Funkcję f nazywamy:

-

rosnącą w zbiorze X

⇔ ∀ x

1

, x

2

∈X x

1

< x

2

⇒ f(x

1

) < f(x

2

)

-

malejącą w zbiorze X

⇔ ∀ x

1

, x

2

∈X x

1

< x

2

⇒ f(x

1

) > f(x

2

)

-

stała w zbiorze X

⇔ ∀ x

1

, x

2

∈X f(x

1

) = f(x

2

)

WŁAŚCIWOŚCI FUNKCJI

3.

Funkcje parzyste i nieparzyste

4.

Funkcje okresowe

Definicja 9. Funkcję f nazywamy okresową, wtedy i tylko wtedy, gdy

∃

T

≠0

∀

x

∈X

f(x +T) = f(x)

Definicja 8. Funkcję f nazywamy:

-

parzystą

⇔ ∀

x

∈X

f(-x) = f(x),

-

nieparzystą

⇔ ∀

x

∈X

f(-x) = -f(x).

RODZAJE FUNKCJI

1.

Funkcje potęgowe i wielomiany

Definicja 11. Funkcją potęgową nazywamy funkcję postaci:

y = x

n

gdzie n jest liczbą naturalną.

Właściwości funkcji potęgowej:

-

jeżeli n – liczba parzysta, to funkcja potęgowa jest parzysta i jej

wykres jest symetryczny względem osi y,

-

jeżeli n –liczba nieparzysta, to funkcja potęgowa jest nieparzysta

i początek układu współrzędnych O jest środkiem symetrii

wykresu funkcji.

Definicja 12. Funkcję potęgową pomnożoną przez stały współczynnik,

czyli funkcję:

y = a x

n

gdzie a jest pewną stałą, nazywamy jednomianem.

RODZAJE FUNKCJI

Definicja 13. Wielomianem nazywamy sumę funkcji potęgowych

pomnożonych

przez

stałe

współczynniki.

Wielomian

piszemy w postaci:

y = W(x) = a

n

x

n

+ a

n-1

x

n-1

+...+ a

1

x + a

0

gdzie a

0

, a

1

,…,a

n

są stałymi współczynnikami.

Przykłady:

Najprostszym wielomianem jest funkcja liniowa

y = ax + b

Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta tworząca z osią x

kąt

ϕ, którego tangens równa się współczynnikowi a (współczynnikowi

kątowemu).

RODZAJE FUNKCJI

Wielomian stopnia drugiego

y = ax

2

+ bx + c

gdzie a

≠ 0, nazywamy trójmianem kwadratowym.

Wykresem jest parabola o osi równoległej do osi y i wierzchołku

S(-b/2a, -

∆/4a)

gdzie

∆ = b

2

– 4ac.

RODZAJE FUNKCJI

2.

Funkcje wymierne

Definicja 14. Funkcję

y= P(x) / Q(x)

gdzie P(x), Q(x) są wielomianami, nazywamy funkcją wymierną.

Dziedziną funkcji wymiernej są wszystkie liczby rzeczywiste które nie

są pierwiastkami mianownika Q(x).

RODZAJE FUNKCJI

Definicja 15. Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję

y= a

x

gdzie a jest pewną

stałą

dodatnią

różną

od 1.

Stałą a nazywamy podstawą funkcji wykładniczej.

3.

Funkcje wykładnicze

RODZAJE FUNKCJI

Definicja 16. Funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej y = a

x

jest

funkcja logarytmiczna w postaci:

y= log

a

x

4.

Funkcje logarytmiczne

gdzie x > 0, a jest pewną stałą dodatnią różną od 1.

Wykres funkcji logarytmicznej nazywamy krzywą logarytmiczną.

RODZAJE FUNKCJI

5.

Funkcje trygonometryczne

Niech dany będzie okrąg o promieniu R o środku O w początku

układu współrzędnych oraz punkt M(x,y) leżący na tym okręgu.

Oznaczmy przez

α miarę kąta utworzonego przez odc. OM z osią x.

Cztery

podstawowe

funkcje

trygonometryczne

określamy

następująco:

cos

α

α

α

α = x / R

sin

α

α

α

α = y / R

tg

α

α

α

α = y / x

ctg

α

α

α

α = x / y

Funkcje sin

α i cosα określone są dla wszystkich wartości α.

Funkcja tg

α określona dla wszystkich wartości α, z wyjątkiem α = (2k + 1)π,

gdzie k liczba całkowita.

Funkcja tg

α określona dla wszystkich wartości α, z wyjątkiem α = k π,

gdzie k jest liczbą całkowitą.

RODZAJE FUNKCJI

6.

Funkcje cyklometryczne (kołowe)

Rozważmy okrąg o promieniu R = 1 położony powyżej osi x i styczny

w początku układu współrzędnych. Każdej odciętej x w przedziale

-1

≤ x ≤ 1 opowiada na dolnej połowie okręgu jeden punkt A,

któremu z kolei odpowiada jeden określony kąt

∠OSA. Kąt ten

obliczany w mierze łukowej i oznaczamy przez y, jest funkcją odciętej

x. Funkcję tę nazywamy arcussinusem zmiennej x i oznaczamy

y = arcsinx,

-1

≤ x ≤ 1

RODZAJE FUNKCJI

Rozważmy w układzie współrzędnych oprócz okręgu prostą s

przechodzącą przez jego środek i równoległą do osi x. Rozważmy

kąt między prostą s a odcinkiem SA i oznaczmy go przez y. Każdej

odciętej x z przedziału -1

≤ x ≤ 1odpowiada na dolnym półokręgu

określony punkt A, któremu z kolei odpowiada jeden określony kąt y.

Kąt ten obliczany w mierze łukowej jest funkcją odciętej x. Funkcję tę

nazywamy arcuscosinusem zmiennej x i oznaczamy

y = arccosx, -1

≤ x ≤ 1

RODZAJE FUNKCJI

y

1

-1

0

x

π

Rozważmy odcinek SE (SE’), gdzie E to punkt na dodatniej części

osi x, (E’ na ujemnej części osi x), oraz kąt utworzony przez ten

odcinek i oś y. Oznaczmy go przez y (y’). Każdej wartości x

∈R

odpowiada określony punkt E (dla x<0 – E’), a temu punktowi z kolei

odpowiada jeden kąt y =

∠OSE ( dla x<0 – y’). W ten sposób kąt y

jest funkcją zmiennej x, określoną w zbiorze R; funkcję tę nazywamy

arcustangensem zmiennej x i oznaczamy

y = arctgx,

x

∈R

RODZAJE FUNKCJI

y

1

-1

0

x

π

Oznaczmy przez y kąt między prostą s a odcinkiem SE. Kąt ten jest

funkcją zmiennej x

∈R; nazywamy ją arcuscotangensem zmiennej x

i oznaczamy

y = arcctgx,

x

∈R

Zadania



















<

−

<

<

−

≤

≤

−

−

<

+

=

x

x

tgx

x

x

x

x

arctg

x

f

π

π

π

π

π

π

π

;

1

2

;

2

2

;

cos

2

);

2

(

)

(

y

1

-1

0

x

π

Narysuj wykres funkcji



















<

−

−

≤

<

+

≤

<

−

+

−

<

=

x

x

x

x

x

x

x

g

x

2

3

;

3

2

2

2

3

0

);

2

1

(

log

0

2

;

)

2

1

(

1

2

;

5

)

(

2

1