Am2 wykład 11,12 16,23.05.2012

Z

AMIANA ZMIENNYCH

MACIERZ

JACOBIEGO,

JAKOBIAN

Rozważmy funkcje

n

f

f

f



,

,

2

1

klasy

)

(

1

D

C

n

R

D



Funkcję



























)

(

)

(

)

(

det

)

(

2

1

x

gradf

x

gradf

x

gradf

x

J

n



nazywamy jakobianem przekształcenia określonego przez funkcje

n

f

f

f



,

,

2

1

.

Przykład
Para funkcji

y

x

y

x

f





)

,

(

1

,

y

x

y

x

f







)

,

(

2

przekształca obszar regularny D na płaszczyźnie 0xy ograniczony liniami

4

,

1

,

4

,

1





















y

x

y

x

y

x

y

x

na kwadrat





4

1

,

4

1

:

)

,

(











v

u

v

u

K

na płaszczyźnie 0uv.
Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne, przy czym odwzorowanie odwrotne realizuje para
funkcji









v

u

y

v

u

x









2

1

,

2

1

2

1

1

1

1

)

,

(

2

2

1

1

2

2

1

1



































y

f

x

f

y

f

x

f

f

f

f

f

y

x

J

y

x

y

x

Uwaga
Wartość bezwzględna jakobianu przekształcenia w punkcie jest w przybliżeniu równa stosunkowi pola
obrazu małego otoczenia punktu do pola tego otoczenia.

T

W

.

(

O

Z

AMIANIE ZMIENNYC H W C AŁCE PO DWÓJNEJ

)

Jeżeli
1. odwzorowanie









)

,

(

)

,

(

),

,

(

v

u

v

u

y

v

u

x

przekształca wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru regularnego



na wnętrze obszaru

regularnego D
2. funkcje

)

,

(

),

,

(

v

u

y

y

v

u

x

x





są klasy C

1

na pewnym zbiorze otwartym zawierającym

zbiór



3. jakobian J

v

u

v

u

y

y

x

x

v

u

J











)

,

(

jest różny od zera wewnątrz obszaru



4. funkcja podcałkowa f jest ciągła na D
to













D

dudv

v

u

J

v

u

y

v

u

x

f

dxdy

y

x

f

)

,

(

)

,

(

),

,

(

)

,

(

.

Am2 wykład 11,12 16,23.05.2012

Przykład
1. Współrzędne biegunowe
Jeżeli obszarem całkowanie jest koło, wycinek kołowy, pierścień, to często stosujemy
zamianę współrzędnych kartezjańskich na współrzędne biegunowe.















sin

cos

r

y

r

x

0



r

,

)

2

,

0









lub













,

(

Jakobian J przekształcenia wynosi

r

r

r

r

r

y

r

y

x

r

x

r

J















































2

2

sin

cos

cos

sin

sin

cos

)

,

(

Zatem wzór na zamianę współrzędnych kartezjańskich na biegunowe









D

rdrd

r

r

f

dxdy

y

x

f







)

sin

,

cos

(

)

,

(

Z

ASTOSOWANIA FIZYCZNE

Masa obszaru o gęstości powierzchniowej

)

,

(

y

x











D

dxdy

y

x

m

)

,

(



Współrzędne środka masy (środek ciężkości)





D

c

dxdy

y

x

x

m

x

)

,

(

1



,





D

c

dxdy

y

x

y

m

y

)

,

(

1



gdzie





D

dxdy

y

x

m

)

,

(



Z

AMIANA ZMIENNYCH W CAŁCE POTRÓJNEJ

T

W

.

(

O

Z

AMIANIE ZMIENNYC H W C AŁCE POTRÓJNEJ

)

Jeżeli
1. odwzorowanie









)

,

,

(

)

,

,

(

),

,

,

(

),

,

,

(

w

v

u

w

v

u

z

w

v

u

y

w

v

u

x

przekształca wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru regularnego



na wnętrze obszaru

regularnego V
2. funkcje

)

,

,

(

),

,

,

(

),

,

,

(

w

v

u

z

z

w

v

u

y

y

w

v

u

x

x







są klasy C

1

na pewnym zbiorze otwartym

zawierającym zbiór



3. jakobian

w

v

u

w

v

u

w

v

u

z

z

z

y

y

y

x

x

x

v

v

u

J





















)

,

,

(

jest różny od zera wewnątrz obszaru



4. funkcja podcałkowa f jest ciągła na V
to













V

dudvdw

w

v

u

J

w

v

u

z

w

v

u

y

w

v

u

x

f

dxdydz

z

y

x

f

)

,

,

(

)

,

,

(

),

,

,

(

),

,

,

(

)

,

,

(

.