Materiały do wykładów

Fizyka (Informatyka - EEIiA 2011/12)

16 listopada 2011

c

Mariusz Krasiński 2011

Spis treści

V

RÓWNANIE FALOWE

1

1

Równanie jednowymiarowe

1

2

Fale w trzech wymiarach

2

Część V

RÓWNANIE FALOWE

1

Równanie jednowymiarowe

Liczymy pochodne cząstkowe wychylenia y (opisanego wzorem y = A cos(ωt − kx)) względem

• położenia x

∂y

∂x

=

∂

∂x

(A cos(ωt − kx)) = Ak sin(ωt − kx)

∂

2

y

∂x

2

=

∂

∂x

(Ak sin(ωt − kx)) = −Ak

2

cos(ωt − kx) = −k

2

y

(1.1)

• oraz czasu t

∂y

∂t

=

∂

∂t

(A cos(ωt − kx)) = −Aω sin(ωt − kx)

∂

2

y

∂t

2

=

∂

∂t

(−Aω sin(ωt − kx))

= −Aω

2

cos(ωt − kx ) = −ω

2

y

(1.2)

Przyrównując wychylenie y wyliczone z równań (1.1) i (1.2) otrzymujemy

∂

2

y

∂x

2

1

k

2

=

∂

2

y

∂t

2

1

ω

2

albo zapisując inaczej

∂

2

y

∂x

2

=

k

2

ω

2

∂

2

y

∂t

2

(1.3)

Z równania (??) wiemy, że prędkość fazowa fali v

f az

= ω/k . W taki razie wyrażenie k

2

/ω

2

występujące w

równaniu (1.3) możemy zapisać jako

k

2

ω

2

=

1

v

2

f az

(1.4)

1

2

FALE W TRZECH WYMIARACH

Po uwzględnieniu (1.4) równanie (1.3) przyjmuje więc postać

∂

2

y

∂x

2

=

1

v

f az

2

∂

2

y

∂t

2

(1.5)

2

Fale w trzech wymiarach

W trzech wymiarach równanie (1.5) możemy zapisać

∂

2

U

∂x

2

+

∂

2

U

∂y

2

+

∂

2

U

∂z

2

=

1

v

2

f az

∂

2

U

∂t

2

(2.1)

gdzie wychylenie oznaczono jako U dla uniknięcia pomyłki ze współrzędną y.

Równanie (2.1) można zapisać w bardziej zwartej postaci

∇

2

U =

1

v

2

f az

∂

2

U

∂t

2

(2.2)

gdzie wyrażenie

∇

2

=

∂

2

∂x

2

+

∂

2

∂y

2

+

∂

2

∂z

2

nazywa się operatorem Laplace’a albo laplasjanem.

Rozwiązanie równania falowego (2.2) w trzech wymiarach, w przypadku fali płaskiej, ma postać

U (~

r) = A cos(ωt − ~

k · ~

r)

(2.3)

gdzie ~

k nazywa się wektorem falowym.

c

Mariusz Krasiński 2011

2