Materiały do wykładów
Fizyka (Informatyka - EEIiA 2011/12)
20 listopada 2011
c
Mariusz Krasiński 2011
Spis treści
VI
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
1
1
Niektóre własności fali elektromagnetycznej
1
1.1
Fala elektromagnetyczna w próżni
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
Fala elektromagnetyczna w ośrodku materialnym
3
UWAGA! Większość rysunków wymaga własnoręcznego dopisania oznaczeń!
Część VI
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
1
Niektóre własności fali elektromagnetycznej
• Źródłem fali elektromagnetycznej jest przyspieszający ładunek (na przykład ładunek poruszający się
ruchem harmonicznym ale także ładunek poruszający się ze stałą co do wartości prędkością po okręgu!)
• Fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. Zarówno wektor natężenia pola elektrycznego jak i wektor
indukcji magnetycznej zmieniają się w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali.
Rysunek 1: Fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. Własności optyczne materiałów w największym
stopniu zależą od składowej pola elektrycznego dlatego w optyce bardzo często zajmujemy się tylko zmianami
pola elektrycznego (prawy rysunek)
• W punkcie, do którego dociera fala, natężenie pola elektrycznego zmienia się zgodnie z relacją
E = E
0
cos(ωt − kx)
(1.1)
1
1
NIEKTÓRE WŁASNOŚCI FALI ELEKTROMAGNETYCZNEJ
(a dokładniej zmienia się zarówno wartość jak i zwrot). Wynika z tego, że każdy punkt do którego dociera
fala można sobie wyobrazić jako punkt znajdujący się pomiędzy okładkami kondensatora, na których
periodycznie zamieniamy ładunki: dodatnie-ujemne.
1.1
Fala elektromagnetyczna w próżni
Jeśli nie rozumiesz przekształceń matematycznych, nie przejmuj się. Właściwie nie powinieneś ich
rozumieć i nie będą wymagane na egzaminie. Postaraj się jednak zrozumieć chociaż ogólną ideę tego
wyprowadzenia
Równania Maxwella w próżni mają następującą postać
~
∇ · ~
E = 0
(1.2)
~
∇ · ~
B = 0
(1.3)
~
∇ × ~
E = −
∂ ~
B
∂t
(1.4)
~
∇ × ~
B = µ
0
0
∂ ~
E
∂t
(1.5)
Jeśli wykonamy rotację obu stron równania (1.4) wtedy otrzymamy
~
∇ × (~
∇ × ~
E) = ~
∇ ×
−
∂ ~
B
∂t
!
(1.6)
Po zastosowaniu tożsamości, którą można znaleźć w podręcznikach matematyki, równanie (1.6)
przyjmie postać
~
∇(~
∇ · ~
E) − ∇
2
~
E = −
∂
∂t
( ~
∇ × ~
B)
(1.7)
Jeśli w równaniu (1.7) wykorzystamy dwa z równań Maxwella (1.2) i (1.5) wtedy otrzymamy
−∇
2
~
E = −
∂
∂t
µ
0
0
∂ ~
E
∂t
!
albo, po wyłączeniu stałych przed symbol pochodnej
∇
2
~
E = µ
0
0
∂
2
~
E
∂t
2
(1.8)
Równanie (1.8) to oczywiście równanie falowe. W takim razie w próżni mogą się rozchodzić fale
elektromagnetyczne. Z poprzednich wykładów wiemy, że stała po prawej stronie równania (1.8) jest
odwrotnością kwadratu prędkości fazowej takiej fali
1
v
2
= µ
0
0
Stąd prędkość fazowa fali elektromagnetycznej w próżni ma wartość
v =
1
√
µ
0
0
• Drgający ładunek nie promieniuje we wszystkich kierunkach jednakowo. W kierunku, w którym drga
ładunek, fala elektromagnetyczna nie rozchodzi się.
• Gęstość strumienia energii (ilość energii przez jednostkę powierzchni, w jednostce czasu) przenoszonej
przez płaską falę elektromagnetyczną, rozchodzącą się w kierunku osi z, wynosi
S = c
0
E
2
0
cos
2
(kz − ωt + δ)ˆ
z
(1.9)
Z uwagi na dużą częstotliwość fali świetlnej (T ∼ 10
−15
s), w praktycznych zastosowaniach, znacznie
ważniejsze są dla nas wartości średnie po całym cyklu (okresie).
Średnia wartość kwadratu cosinusa
c
Mariusz Krasiński 2011
2
2
FALA ELEKTROMAGNETYCZNA W OŚRODKU MATERIALNYM
Rysunek 2: Drgający ładunek nie promieniuje we wszystkich kierunkach jednakowo. Dorysuj niezbędne elementy
na wykładzie!
po całym okresie wynosi 1/2. Z równania (1.9) wynika więc, że średnia moc na jednostkę powierzchni
przenoszona przez falę elektromagnetyczną (nazywana natężeniem fali I) wynosi
I ≡ hSi =
1
2
c
0
E
2
0
(1.10)
2
Fala elektromagnetyczna w ośrodku materialnym
Dla opisu rozchodzenia się fali w ośrodku materialnym stosujemy często tak zwany oscylatorowy model ośrodka.
Przechodząca przez ośrodek fala napotyka na swej drodze ładunki, które usiłuje wprawić w drgania harmoniczne.
Te drgające ładunki traktujemy jako oscylatorki. Możemy opisać ruch tych oscylatorków jako ruch harmoniczny
wymuszony z tłumieniem.
Rysunek 3: Oscylatorowy model ośrodka
Oscylatorki same stają się źródłami fal elektromagnetycznych, które nakładają się na falę oryginalną. Pamięta-
jmy jednak, że w przypadku ruchu harmonicznego wymuszonego z tłumieniem, pomiędzy fazą siły wymuszającej
a fazą wymuszanego drgania występuje przesunięcie fazowe. W takim razie, pomiędzy fazą fali oryginalnej i
wtórnej (generowanej przez oscylatorek) także występuje przesunięcie fazowe.
Ostatecznie takie nakładanie się fal prowadzi do efektu rejestrowanego jako zmiana prędkości rozchodzenia
się fali świetlnej w ośrodku. Dokładniejsze omówienie tego efektu można znaleźć w podręcznikach optyki. Dla
naszych celów, na razie wystarczy nam tylko informacja, że prędkość ulega zmianie. Tę zmianę prędkości opisuje
wielkość zwaną współczynnikiem załamania światła w danym ośrodku. Jest on definiowany jako
n =
c
v
(2.1)
gdzie c jest prędkością światła w próżni, zaś v prędkością światła w ośrodku.
c
Mariusz Krasiński 2011
3