Materiały do wykładów

Fizyka (Informatyka - EEIiA 2011/12)

20 listopada 2011

c

Mariusz Krasiński 2011

Spis treści

VI

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

1

1

Niektóre własności fali elektromagnetycznej

1

1.1

Fala elektromagnetyczna w próżni

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2

Fala elektromagnetyczna w ośrodku materialnym

3

UWAGA! Większość rysunków wymaga własnoręcznego dopisania oznaczeń!

Część VI

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

1

Niektóre własności fali elektromagnetycznej

• Źródłem fali elektromagnetycznej jest przyspieszający ładunek (na przykład ładunek poruszający się

ruchem harmonicznym ale także ładunek poruszający się ze stałą co do wartości prędkością po okręgu!)

• Fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. Zarówno wektor natężenia pola elektrycznego jak i wektor

indukcji magnetycznej zmieniają się w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali.

Rysunek 1: Fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. Własności optyczne materiałów w największym
stopniu zależą od składowej pola elektrycznego dlatego w optyce bardzo często zajmujemy się tylko zmianami
pola elektrycznego (prawy rysunek)

• W punkcie, do którego dociera fala, natężenie pola elektrycznego zmienia się zgodnie z relacją

E = E

0

cos(ωt − kx)

(1.1)

1

1

NIEKTÓRE WŁASNOŚCI FALI ELEKTROMAGNETYCZNEJ

(a dokładniej zmienia się zarówno wartość jak i zwrot). Wynika z tego, że każdy punkt do którego dociera
fala można sobie wyobrazić jako punkt znajdujący się pomiędzy okładkami kondensatora, na których
periodycznie zamieniamy ładunki: dodatnie-ujemne.

1.1

Fala elektromagnetyczna w próżni

Jeśli nie rozumiesz przekształceń matematycznych, nie przejmuj się. Właściwie nie powinieneś ich
rozumieć i nie będą wymagane na egzaminie. Postaraj się jednak zrozumieć chociaż ogólną ideę tego
wyprowadzenia
Równania Maxwella w próżni mają następującą postać

~

∇ · ~

E = 0

(1.2)

~

∇ · ~

B = 0

(1.3)

~

∇ × ~

E = −

∂ ~

B

∂t

(1.4)

~

∇ × ~

B = µ

0



0

∂ ~

E

∂t

(1.5)

Jeśli wykonamy rotację obu stron równania (1.4) wtedy otrzymamy

~

∇ × (~

∇ × ~

E) = ~

∇ ×

−

∂ ~

B

∂t

!

(1.6)

Po zastosowaniu tożsamości, którą można znaleźć w podręcznikach matematyki, równanie (1.6)
przyjmie postać

~

∇(~

∇ · ~

E) − ∇

2

~

E = −

∂

∂t

( ~

∇ × ~

B)

(1.7)

Jeśli w równaniu (1.7) wykorzystamy dwa z równań Maxwella (1.2) i (1.5) wtedy otrzymamy

−∇

2

~

E = −

∂

∂t

µ

0



0

∂ ~

E

∂t

!

albo, po wyłączeniu stałych przed symbol pochodnej

∇

2

~

E = µ

0



0

∂

2

~

E

∂t

2

(1.8)

Równanie (1.8) to oczywiście równanie falowe. W takim razie w próżni mogą się rozchodzić fale
elektromagnetyczne. Z poprzednich wykładów wiemy, że stała po prawej stronie równania (1.8) jest
odwrotnością kwadratu prędkości fazowej takiej fali

1

v

2

= µ

0



0

Stąd prędkość fazowa fali elektromagnetycznej w próżni ma wartość

v =

1

√

µ

0



0

• Drgający ładunek nie promieniuje we wszystkich kierunkach jednakowo. W kierunku, w którym drga

ładunek, fala elektromagnetyczna nie rozchodzi się.

• Gęstość strumienia energii (ilość energii przez jednostkę powierzchni, w jednostce czasu) przenoszonej

przez płaską falę elektromagnetyczną, rozchodzącą się w kierunku osi z, wynosi

S = c

0

E

2

0

cos

2

(kz − ωt + δ)ˆ

z

(1.9)

Z uwagi na dużą częstotliwość fali świetlnej (T ∼ 10

−15

s), w praktycznych zastosowaniach, znacznie

ważniejsze są dla nas wartości średnie po całym cyklu (okresie).

Średnia wartość kwadratu cosinusa

c

Mariusz Krasiński 2011

2

2

FALA ELEKTROMAGNETYCZNA W OŚRODKU MATERIALNYM

Rysunek 2: Drgający ładunek nie promieniuje we wszystkich kierunkach jednakowo. Dorysuj niezbędne elementy
na wykładzie!

po całym okresie wynosi 1/2. Z równania (1.9) wynika więc, że średnia moc na jednostkę powierzchni
przenoszona przez falę elektromagnetyczną (nazywana natężeniem fali I) wynosi

I ≡ hSi =

1

2

c

0

E

2

0

(1.10)

2

Fala elektromagnetyczna w ośrodku materialnym

Dla opisu rozchodzenia się fali w ośrodku materialnym stosujemy często tak zwany oscylatorowy model ośrodka.
Przechodząca przez ośrodek fala napotyka na swej drodze ładunki, które usiłuje wprawić w drgania harmoniczne.
Te drgające ładunki traktujemy jako oscylatorki. Możemy opisać ruch tych oscylatorków jako ruch harmoniczny
wymuszony z tłumieniem.

Rysunek 3: Oscylatorowy model ośrodka

Oscylatorki same stają się źródłami fal elektromagnetycznych, które nakładają się na falę oryginalną. Pamięta-
jmy jednak, że w przypadku ruchu harmonicznego wymuszonego z tłumieniem, pomiędzy fazą siły wymuszającej
a fazą wymuszanego drgania występuje przesunięcie fazowe. W takim razie, pomiędzy fazą fali oryginalnej i
wtórnej (generowanej przez oscylatorek) także występuje przesunięcie fazowe.

Ostatecznie takie nakładanie się fal prowadzi do efektu rejestrowanego jako zmiana prędkości rozchodzenia
się fali świetlnej w ośrodku. Dokładniejsze omówienie tego efektu można znaleźć w podręcznikach optyki. Dla
naszych celów, na razie wystarczy nam tylko informacja, że prędkość ulega zmianie. Tę zmianę prędkości opisuje
wielkość zwaną współczynnikiem załamania światła w danym ośrodku. Jest on definiowany jako

n =

c

v

(2.1)

gdzie c jest prędkością światła w próżni, zaś v prędkością światła w ośrodku.

c

Mariusz Krasiński 2011

3