Materiały do wykładów

Fizyka (Informatyka - EEIiA 2011/12)

23 października 2011

c

Mariusz Krasiński 2011

Spis treści

III

DRGANIA cd.

1

1

Przypominacz (?) matematyczny

1

2

Drgania a liczby zespolone

2

3

Drgania harmoniczne tłumione

2

3.1

Założenia modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3.2

Rozwiązanie równania dla drgań tłumionych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3.3

Dyskusja możliwych postaci rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3.4

Energia oscylatora tłumionego

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3.5

Dobroć oscylatora

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3.6

Dekrement logarytmiczny tłumienia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

4

Drgania harm. wymusz. z tłum.

7

4.1

Wymuszenie harmoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

4.2

Rozwiązanie równania (4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

4.3

Rezonans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

4.4

Ruch wymuszony na wykresie fazowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

4.5

Dynamiczny tłumik drgań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

UWAGA! Większość rysunków wymaga własnoręcznego dopisania oznaczeń!

Część III

DRGANIA cd.

1

Przypominacz (?) matematyczny

(x

n

)

0

=

d

dx

(x

n

) = n x

n−1

[sin(x)]

0

=

d

dx

[sin(x)] = cos(x)

[cos(x)]

0

=

d

dx

[cos(x)] = − sin(x)

(e

x

)

0

=

d

dx

(e

x

) = e

x

1

3

DRGANIA HARMONICZNE TŁUMIONE

d

dt

[sin(ωt + φ)] = cos(ωt + φ)

d

dt

(ωt + φ) = cos(ωt + φ) ω

d

dt

[cos(ωt + φ)] = − sin(ωt + φ)

d

dt

(ωt + φ) = − sin(ωt + φ) ω

d

dt

e

i(ωt+φ)

= e

i(ωt+φ)

d

dx

[i(ωt + φ)] = e

i(ωt+φ)

iω

2

Drgania a liczby zespolone

Ogólna postać liczby zespolonej

z = X + iY

gdzie

i =

p

(−1)

Trygonometryczna postać liczby zespolonej

z = R[cos(φ) + i sin(φ)]

Wykładnicza postać liczby zespolonej

z = Re

iφ

= R[cos(φ) + i sin(φ)]

Drganie harmoniczne można więc przedstawić w postaci:

x = Ae

i(ωt+φ)

Obliczmy, korzystając z zapisu przy pomocy liczb zespolonych, prędkość i przyspieszenie w ruchu
harmonicznym

v =

dx

dt

=

d

dt

Ae

i(ωt+φ)

= −Aωe

i(ωt+φ)

a =

d

2

x

dt

2

=

d

dt

dx

dt

=

d

dt

−Aωe

i(ωt+φ)

= −Aω

2

e

i(ωt+φ)

= −ω

2

x

Otrzymaliśmy więc identyczną jak na poprzednim wykładzie zależność pomiędzy przyspieszeniem i
wychyleniem ciała drgającego ruchem harmonicznym prostym

d

2

x

dt

2

= −ω

2

x

3

Drgania harmoniczne tłumione

3.1

Założenia modelu

Rozpatrzymy jedynie przypadek gdy siła oporu (tłumienia) jest proporcjonalna do prędkości.

~

F

op

= −β~

v

(3.1)

(!! Kiedy wolno tak napisać?)

c

Mariusz Krasiński 2011

2

3.2

Rozwiązanie równania dla drgań tłumionych

3

DRGANIA HARMONICZNE TŁUMIONE

Równanie ruchu drgającego z tłumieniem przyjmie wtedy postać

m

d

2

x

dt

2

= −kx − βv

czyli

d

2

x

dt

2

+

β

m

dx

dt

+

k

m

x = 0

(3.2)

albo po wprowadzeniu oznaczenia

k

m

= ω

o

2

(dlaczego tak? )

d

2

x

dt

2

+

β

m

dx

dt

+ ω

2

o

x = 0

(3.3)

3.2

Rozwiązanie równania dla drgań tłumionych

Postulujemy, że rozwiązanie równania (3.3) ma postać (czyli zakładamy, że będzie to drganie harmoniczne)

x = Be

iωt

(3.4)

Odpowiednie pochodne wyrażenia (3.4) wynoszą

dx

dt

= Biωe

iωt

= iωx

(3.5)

d

2

x

dt

2

=

d

dt

dx

dt

= (iω)

2

Be

iωt

= −ω

2

x

(3.6)

Podstawiając (3.5) i (3.6) do równania (3.3) otrzymujemy

−ω

2

x +

β

m

iωx + ω

o

2

x = 0

czyli

ω

2

−

iβ

m

ω − ω

o

2

= 0

(3.7)

Równanie (3.7) jest zwykłym równaniem kwadratowym, z którego można wyliczyć ω

“Delta” dla tego równania wynosi

∆ =

iβ

m

2

+ 4ω

2

o

= 4ω

2

o

−

β

m

2

a rozwiązania równania (3.7) mają postać

ω

1,2

=

β

m

i ±

r

4ω

2

o

−

β

m

2

2

=

β

2m

i ±

s

ω

2

o

−

β

2m

2

(3.8)

Ponieważ zapostulowaliśmy, że rozwiązanie równania (3.3) ma postać jak w równaniu (3.4) więc ogólna postać
rozwiązania równania (3.3) jest

x = Ae

iω

1

t

+ Be

iω

2

t

(3.9)

gdzie A, B są stałymi zaś ω

1

, ω

2

możemy wziąć z równania (3.8)

x = Ae

i

β

2m

i +

q

ω

2

o

−

(

β

2m

)

2

t

+ Be

i

β

2m

i −

q

ω

2

o

−

(

β

2m

)

2

t

(3.10)

c

Mariusz Krasiński 2011

3

3.3

Dyskusja możliwych postaci rozwiązania

3

DRGANIA HARMONICZNE TŁUMIONE

3.3

Dyskusja możliwych postaci rozwiązania

3.3.1

Przypadek 1 (małe tłumienie)

Kiedy spełniony jest warunek

ω

2

o

−

β

2m

2

> 0

rozwiązanie równania (3.3) ma postać

x = Ae

−

β

2m

t

cos





s

ω

2

o

−

β

2m

2

t





(3.11)

Uzasadnienie zależności (3.11)
Oznaczając

ω

0

=

s

ω

2

o

−

β

2m

2

> 0

i podstawiając do równania (3.10) otrzymujemy (przy założeniu A = B = C)

x = Ce

−

β

2m

t

e

iω

0

t

+ Ce

−

β

2m

t

e

−iω

0

t

= Ce

−

β

2m

t

[e

iω

0

t

± e

−iω

0

t

)] =

= Ce

−

β

2m

t

{[cos(ω

0

t) + i sin(ω

0

t)] + [cos(ω

0

t) − i sin(ω

0

t)]} =

= Ce

−

β

2m

t

[2 cos(ω

0

t)] = 2Ce

−

β

2m

t

cos(ω

0

t)

Ponieważ amplituda drgań zależy od warunków początkowych a nie od parametrów
układu więc możemy oznaczyć sobie

Amp = 2C

a wtedy rozwiązanie ma postać

x = Amp e

−

β

2m

t

cos





s

ω

2

o

−

β

2m

2

t





(3.12)

Wykres zależności (3.11) przedstawiono poniżej

Rysunek 1: Zależność wychylenia od czasu dla drgań tłumionych przy małym tłumieniu.

Rysunek 2: Drgania harmoniczne tłumione w przestrzeni fazowej.

c

Mariusz Krasiński 2011

4

3.3

Dyskusja możliwych postaci rozwiązania

3

DRGANIA HARMONICZNE TŁUMIONE

3.3.2

Przypadek 2 (tłumienie krytyczne)

Kiedy spełniony jest warunek

ω

2

o

−

β

2m

2

= 0

(3.13)

wtedy rozwiązanie równania (3.3) ma postać

x =

A − B

b

2m

t

e

−

β

2m

t

(3.14)

i przedstawia ruch aperiodyczny. Tłumienie odpowiadające warunkowi (3.13) nazywamy tłumieniem kryty-
cznym.

Aby zrozumieć skąd wzięła się taka postać rozwiązania równania (3.3) w przypadku (3.13) trzeba niestety wiedzieć
trochę więcej o równaniach różniczkowych.

3.3.3

Przypadek 3 (układ przetłumiony)

Kiedy tłumienie jest duże i spełniony jest warunek

ω

2

o

−

β

2m

2

< 0

wtedy rozwiązanie równania (3.3) przyjmuje postać

x = Ae

−

β

2m

t

e

±ω

00

t

(3.15)

i to także nie jest równanie ruchu periodycznego (dyskusja wykład ). Układ, którego zachowanie może być
opisane równaniem (3.15) nazywamy układem przetłumionym.

Uzasadnienie zależności (3.15)
Ponieważ wyrażenie

ω

2

o

−

β

2m

2

< 0

jest ujemne więc możemy je przekształcić w następujący sposób

s

ω

2

o

−

β

2m

2

=

v
u
u
t

−1

β

2m

2

− ω

2

o

!

=

√

−1

s

β

2m

2

− ω

2

o

= iω

00

(3.16)

gdzie

ω

00

=

s

β

2m

2

− ω

2

o

jest wielkością dodatnią.
Podstawiając (3.16) do (3.9) otrzymujemy

x = Ae

i

(

β

2m

i∓iω

00

)

t

= Ae

−

β

2m

t

e

±ω

00

t

(3.17)

3.3.4

Porównanie

Rysunek poniżej przedstawia na jednym wykresie zachowanie układu tłumionego, układu z tłumieniem kryty-
cznym oraz układu przetłumionego.

c

Mariusz Krasiński 2011

5

3.4

Energia oscylatora tłumionego

3

DRGANIA HARMONICZNE TŁUMIONE

Rysunek 3: Zależność wychylenia od czasu dla ciała wykonującego drgania harmoniczne, tłumione. Wykresy
odpowiadają różnym współczynnikom tłumienia. Uzupełnij opisy na wykładzie.

Sposób w jaki drga układ tłumiony, w zależności od wielkości tłumienia β, można przedstawić na trójwymi-
arowym wykresie

Rysunek 4: Rysunek przedstawia te same dane, które przedstawiono na rysunku 3 ale w postaci wykresu
trójwymiarowego.

W dalszym ciągu zajmiemy się tylko przypadkiem 1 czyli ruchem drgającym (periodycznym)

3.4

Energia oscylatora tłumionego

Korzystając z równania na energię oscylatora harmonicznego oraz z postaci zależności wychylenia od czasu,
dla ruchu tłumionego w przypadku małego tłumienia (3.11), możemy zapisać, że całkowita energia oscylatora
tłumionego wynosi

E =

1

2

k(Amplituda)

2

=

1

2

k

Ae

−

β

2m

t

2

=

1

2

kA

2

e

−

β

m

t

=

1

2

kA

2

e

−

t

τ

(3.18)

gdzie τ =

m

β

jest czasem relaksacji

3.4.1

Szybkość zmian energii

Na podstawie równania (3.18) możemy obliczyć szybkość zmian energii w ruchu harmonicznym tłumionym.

dE

dt

=

d

dt

1

2

kA

2

e

−

t

τ

=

1

2

kA

2

−

1

τ

e

−

t

τ

= −

1

τ

E

(3.19)

3.5

Dobroć oscylatora

Dobrocią oscylatora nazywamy wielkość zdefiniowaną jako

Q = 2π

energia zmagazynowana

energia tracona w jednym okresie

Biorąc pod uwagę definicję dobroci oraz zależność (3.19) możemy zapisać

c

Mariusz Krasiński 2011

6

3.6

Dekrement logarytmiczny tłumienia

4

DRGANIA HARM. WYMUSZ. Z TŁUM.

Q = 2π

E

dE

dt

T

= 2π

E

1
τ

ET

=

2π

T

τ = ω

0

τ

3.6

Dekrement logarytmiczny tłumienia

Dekrementem logarytmicznym tłumienia nazywamy wielkość będącą logarytmem stosunku amplitudy występu-
jącej w dowolnej chwili t podczas drgania tłumionego do amplitudy w chwili t + T . Wielkość ta wynosi więc

Λ = ln

A

n

A

n+1

= ln

Ae

−

β

2m

t

Ae

−

β

2m

(t+T )

!

= ln

e

β

2m

T

=

β

2m

T

i jest niezależna od czasu.

4

Drgania harmoniczne wymuszone z tłumieniem

4.1

Wymuszenie harmoniczne

Rozpatrzymy najprostszy przypadek gdy siła wymuszająca jest harmoniczna czyli ma postać

F = F

0

cos(ωt)

lub stosując zapis przy pomocy liczb zespolonych

F = F

0

e

iωt

Równanie ruchu będzie miało wtedy postać:

m

d

2

x

dt

2

+ β

dx

dt

+ kx = F

0

e

iωt

(4.1)

4.2

Rozwiązanie równania (4.1)

Postulujemy rozwiązanie postaci:

x = Ce

iωt

dlaczego?

(4.2)

Licząc podobnie jak w przypadku ruchu tłumionego odpowiednie pochodne położenia (zależność (4.2)) otrzy-
mamy:

dx

dt

= Ciωe

iωt

= iωx

(4.3)

d

2

x

dt

2

=

d

dt

dx

dt

= (iω)

2

Ce

iωt

= −ω

2

x

(4.4)

Po podstawieniu zależności (4.3) i (4.4) do równania głównego (4.1) otrzymamy:

−mω

2

x + βiωx + kx = F

0

x

C

a stąd

C =

F

0

m

k

m

− ω

2

+ iωβ

=

F

0

m(ω

0

2

− ω

2

) + iωβ

(4.5)

c

Mariusz Krasiński 2011

7

4.3

Rezonans

4

DRGANIA HARM. WYMUSZ. Z TŁUM.

Mianownik zależności (4.5) jest liczbą zespoloną i ma postać X + iY . Można go więc zapisać w inny sposób
jako

mianownik =

p

X

2

+ Y

2

e

iφ

=

p

m

2

(ω

0

2

− ω

2

)

2

+ ω

2

β

2

e

iφ

(4.6)

gdzie tg φ =

Y

X

(rysunek 5)

Rysunek 5: Trygonometryczna postać liczby zespolonej.

Korzystając z zależności (4.6) możemy równanie (4.5) przepisać w postaci:

C =

F

0

pm

2

(ω

0

2

− ω

2

)

2

+ ω

2

β

2

e

iφ

(4.7)

Podstawiając B wyliczone z równania (4.7) do ogólnej postaci rozwiązania (4.2) otrzymamy ostateczne

x = Ce

iωt

=

F

0

pm

2

(ω

0

2

− ω

2

)

2

+ ω

2

β

2

e

−iφ

e

iωt

=

F

0

pm

2

(ω

0

2

− ω

2

)

2

+ ω

2

β

2

e

i(ωt−φ)

(4.8)

Czyli ostatecznie, rozwiązanie równania (4.1) ma postać

x =

F

0

pm

2

(ω

0

2

− ω

2

)

2

+ ω

2

β

2

cos(ωt + φ)

(4.9)

gdzie

A

wym

=

F

0

pm

2

(ω

0

2

− ω

2

)

2

+ ω

2

β

2

(4.10)

jest po prostu amplitudą drgań wymuszonych.

4.3

Rezonans

Amplituda drgań przedstawionych przy pomocy równania (4.10) będzie największa gdy wyrażenie pod pier-
wiastkiem będzie najmniejsze. Łatwo policzyć, że nastąpi to dla częstotliwości (rezonansowej) drgań spełniającej
zależność

ω

2

rez

= ω

2

0

−

β

2

2m

2

W przypadku małego tłumienia (małe β) otrzymamy

ω

rez

2

≈ ω

0

2

Amplituda drgań będzie wynosić wtedy

(Amplituda)

max

=

F

0

ωβ

Wielkość ta może przyjmować bardzo duże wartości, często niemożliwe z uwagi na ograniczoną wytrzymałość
obiektu drgającego (6).

Porównując wzory dla siły wymuszającej

F = F

0

e

iωt

c

Mariusz Krasiński 2011

8

4.4

Ruch wymuszony na wykresie fazowym

4

DRGANIA HARM. WYMUSZ. Z TŁUM.

i wychylenia

x = x

0

e

i(ωt−φ)

zauważyć można, iż drgania układu są przesunięte w fazie względem siły wymuszającej o φ

tgφ =

ωβ

m(ω

0

2

− ω

2

)

Zobacz rysunek 6.

Rysunek 6: Rezonans. Amplituda oraz przesunięcie fazowe pomiędzy siłą wymuszającą i wychyleniem. (dopisz
oznaczenia! )

4.4

Ruch wymuszony na wykresie fazowym

Rysunek 7: Typowy portret fazowy drgania wymuszonego z tłumieniem. Dopisz samodzielnie oznaczenia osi!

4.5

Dynamiczny tłumik drgań

Opis dynamicznego tłumika drgań zostanie przedstawiony na wykładzie.

c

Mariusz Krasiński 2011

9

4.5

Dynamiczny tłumik drgań

4

DRGANIA HARM. WYMUSZ. Z TŁUM.

Rysunek 8: Siły działające na układ dwóch mas drgających. Ilustracja do opisu dynamicznego tłumika drgań.

Równania ruchu dla układu powyżej mają postać:

m

1

a

1

= −k

1

x

1

+ k

2

(x

2

− x

1

) + F

0

cos(ωt)

(4.11)

m

2

a

2

= −k

2

(x

2

− x

1

)

(4.12)

Rozwiązanie układu równań (4.11), (4.12) przedstawiono poniżej

Rysunek 9: Rozwiązanie układu równań (4.11), (4.12). Dodaj opisy na wykładzie.

Symulację pt. „Dynamiczny tłumik drgań”, przedstawiającą jak zachowuje się układ przedstawiony na rysunku
8 można znaleźć na stronie http://cmf.p.lodz.pl/markras/fizyka.

c

Mariusz Krasiński 2011

10