el inf 11 part02 drgania01

background image

Materiaªy do wykªadów

Fizyka (Informatyka - EEIiA 2011/12)

16 pa¹dziernika 2011

c

Mariusz Krasi«ski 2011

Spis tre±ci

II DRGANIA

1

1 Ruch drgaj¡cy - wst¦p

1

1.1 Ciaªo na spr¦»ynie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2 Drgania harmoniczne proste

2

2.1 Wychylenie, pr¦dko±¢ i przyspieszenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2.2 Denicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.3 Dlaczego tylko ruch harmoniczny? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.4 Energia ruchu drgaj¡cego (przypadek spr¦»yny) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

UWAGA! Wi¦kszo±¢ rysunków wymaga wªasnor¦cznego dopisania oznacze«!

Cz¦±¢ II

DRGANIA

1 Ruch drgaj¡cy - wst¦p

Lektura uzupeªniaj¡ca:
M. Krasi«ski, Ruch drgaj¡cy rozdziaª 10 (strony 233-266) w skrypcie pt. Wst¦p do analizy matematycznej i

wybranych dziaªów zyki, red. A. Just, Wyd. Polit. Šódzkiej, Šód¹ 2007.

1.1 Ciaªo na spr¦»ynie

x

x

max

x

min

x

t

0

F

spr

Rysunek 1: Siªa spr¦»ysto±ci jest proporcjonalna do wydªu»enia (skrócenia) spr¦»yny

m~a = ~

F

spr

ma = −kx

1

background image

2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE

a = −

k

m

x

(1.1)

2 Drgania harmoniczne proste

2.1 Zale»no±¢ mi¦dzy wychyleniem, pr¦dko±ci¡ i przyspieszeniem

Drgania harmoniczne (obiektu) to drgania, w których wychylenie obiektu speªnia zale»no±¢

x = A cos(ωt + φ)

(2.1)

(mo»e by¢ tak»e sinus)

Pr¦dko±¢ obiektu wynosi wtedy

v = v

x

=

dx

dt

=

−Aω sin(ωt + φ)

(2.2)

a przyspieszenie

a =

dv

x

dt

=

d

2

x

dt

2

=

d

dt

dx

dt

=

d

dt

(−Aω sin(ωt + φ)) = −Aω

2

cos(ωt + φ) = −ω

2

x

(2.3)

Z równania (2.3) wynika, »e w ruchu harmonicznym musi by¢ speªniona zale»no±¢

a =

d

2

x

dt

2

= −ω

2

x

(2.4)

albo po pomno»eniu obu stron przez mas¦ drgaj¡cego ciaªa m

ma = m

d

2

x

dt

2

= F = −mω

2

x

Tak wi¦c aby ciaªo drgaªo harmonicznie, siªa dziaªaj¡ca na nie musi by¢ proporcjonalna do wychylenia lecz

przeciwnie do niego (wychylenia) skierowana.
Rysunek poni»ej przedstawia porównanie czasowego przebiegu wychylenia, pr¦dko±ci i przyspieszenia ciaªa drga-

j¡cego ruchem harmonicznym prostym

Rysunek 2: Porównanie czasowego przebiegu wychylenia, pr¦dko±ci i przyspieszenia dla ciaªa drgaj¡cego ruchem

harmonicznym prostym. Zauwa», »e wykresy s¡ wzgl¦dem siebie przesuni¦te!

c

Mariusz Krasi«ski 2011

2

background image

2.2 Denicje

2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE

Drgania ciaªa na spr¦»ynie jako przykªad drga« harmonicznych prostych
W przypadku rozci¡gania lub ±ciskania spr¦»yny, siªa spr¦»ysto±ci ma posta¢

F = −kx

Wychylenie musi wi¦c speªnia¢ równanie

ma = −kx

a = −

k

m

x

albo w bardziej matematycznej postaci

m

d

2

x

dt

2

= − kx

d

2

x

dt

2

= −

k

m

x

Na podstawie równania (2.4) otrzymamy

ω

2

=

k

m

czyli zale»no±¢ wychylenia od czasu ma ostateczn¡ posta¢

x = A cos

r

k

m

t + φ

!

Generalnie równanie ruchu dla ciaªa o masie m drgaj¡cego ruchem harmonicznym prostym ma posta¢

ma = m

d

2

x

dt

2

= −kx

gdzie k nie musi by¢ wspóªczynnikiem spr¦»ysto±ci, ale mo»e wynika¢ z innych wªasno±ci ukªadu wykonuj¡cego

drgania.

2.2 Denicje

q

k

m

t + φ = ωt + φ

nazywamy FAZ drgania

• φ

jest faz¡ pocz¡tkow¡ (czyli tak¡ faz¡, która wyst¦puje dla t=0 !)

• ω =

q

k

m

jest cz¦sto±ci¡ drgania

Okres drga« T to taki najmniejszy czas, po którym wychylenie (uwzgl¦dniaj¡c kierunek ruchu) jest takie

samo jak na pocz¡tku (obserwacji) x(t) = x(t+T ). Mo»na te» powiedzie¢, »e okres drgania to najmniejszy

czas, po którym faza drgania zmieni si¦ o 2π.

cz¦sto±¢ i okres powi¡zane s¡ zale»no±ci¡ ω =

T

wielko±¢ f =

1

T

nazywamy cz¦stotliwo±ci¡

cz¦sto±¢ ω i cz¦stotliwo±¢ f powi¡zane s¡ zale»no±ci¡ ω = 2πf

2.3 Dlaczego tylko ruch harmoniczny?

To drganie z pewno±ci¡ nie jest harmoniczne

c

Mariusz Krasi«ski 2011

3

background image

2.4 Energia ruchu drgaj¡cego (przypadek spr¦»yny)

2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE

Rysunek 3: Dopisz oznaczenia na osiach!

A oto przepis matematyczny jak rozªo»y¢ takie drganie na drgania harmoniczne

y = A

sin x +

1

3

sin 3x +

1

5

sin 5x +

...

= A

X

N =0

1

2N + 1

sin [(2N + 1)x]

Poni»ej widmo powy»szego drgania

Rysunek 4: Widmo drgania przedstawionego na rysunku 3

2.4 Energia ruchu drgaj¡cego (przypadek spr¦»yny)

E =

mv

2

2

+

kx

2

2

(2.5)

Je±li wykorzystamy zale»no±ci (2.1) i (2.2) otrzymamy

E =

m

2

A

2

ω

2

sin

2

(ωt + φ) +

k

2

A

2

cos

2

(ωt + φ)

(2.6)

Poniewa» w ruchu harmonicznym prostym

ω =

r

k

m

to

k = mω

2

(2.7)

Wykorzystuj¡c zale»no±¢ (2.7) w równaniu (2.6) otrzymamy, »e energia caªkowita ukªadu drgaj¡cego zale»y od

amplitudy A i staªej spr¦»ysto±ci k

E =

k

2

A

2

sin

2

(ωt + φ) +

k

2

A

2

cos

2

(ωt + φ)

=

kA

2

2

sin

2

(ωt + φ) + cos

2

(ωt + φ)

=

kA

2

2

(2.8)

c

Mariusz Krasi«ski 2011

4

background image

2.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej

2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE

2.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej

Je±li wychylenie drgaj¡cego ciaªa opisuje zale»no±¢

x = A cos(ωt + φ)

(2.9)

to pr¦dko±¢ ciaªa opisana jest zale»no±ci¡

v = −Aω sin(ωt + φ)

(2.10)

Korzystaj¡c z jedynki trygonometrycznej

cos

2

(ωt + φ) + sin

2

(ωt + φ) = 1

oraz równa« (2.9) i (2.10) otrzymamy

x

2

A

2

+

v

2

A

2

ω

2

= 1

Powy»sze równanie przedstawia elips¦ w tak zwanej przestrzeni fazowej. Dalsze wyja±nienia na wykªadzie.

Rysunek 5: Dopisz komentarze na wykªadzie

c

Mariusz Krasi«ski 2011

5


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
el inf 11 part03 drgania02
el inf 11 part05 fale02 id 1572 Nieznany
el inf 11 part10 QM1
el inf 11 part01 przyplywy
el inf 11 part09 dyfrakcjaplus
el mech 11 part06 drgania
el inf 11 part06 faleEM id 1572 Nieznany
el inf 11 part06 faleEM
el inf 11 part09 dyfrakcjaplus
el inf 11 part10 QM1
el inf 11 part05 fale02
el inf 11 part01 przyplywy
el inf zag 2016 s1
INF 11 REJESTRY
El en 11 12 seria1
System el en 11 12 1
El en 11 12 seria1 2

więcej podobnych podstron