Materiały do wykładów

Fizyka (Informatyka - EEIiA 2011/12)

7 stycznia 2012

c

Mariusz Krasiński 2012

Spis treści

X

ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ

1

1

Postulaty mechaniki kwantowej

1

1.1

Postulat I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Zasada nieoznaczoności (Heisenberga) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Postulat II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4

Postulat III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.5

Postulat IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2

Nieskończona studnia potencjału

4

3

Szczególne rozw. równania Schrödingera

5

3.1

Skok potencjału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3.2

Efekt tunelowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

4

Skaningowy mikroskop tunelowy - STM

7

5

Mikroskop sił atomowych - AFM

8

UWAGA! Większość rysunków wymaga własnoręcznego dopisania oznaczeń! Wyliczenia zamieszczone

w ramkach stanowią materiał uzupełniający.

Część X

ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ

1

Postulaty mechaniki kwantowej

1.1

Postulat I

Postulat I
Stan cząstki określony jest przez funkcję falową Ψ(x, y, z, t)

1.1.1

Sens fizyczny funkcji Ψ(x, t) (przypadek 1D)

|Ψ(x, t)|

2

= Ψ

?

(x, t)Ψ(x, t)

jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie x w chwili t.

1

1.2

Zasada nieoznaczoności (Heisenberga)

1

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ

W takim razie wyrażenie:

dP(x) = |Ψ(x, t)|

2

dx

(1.1)

jest prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w pobliżu punktu x (dokładniej pomiędzy x i x + dx) w chwili t.

Aby określić prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w obszarze od x

1

do x

2

musimy skorzystać z zależności

P(x

1

, x

2

, t) =

Z

x

2

x

1

|Ψ(x, t)|

2

dx

(1.2)

pod warunkiem, że funkcja falowa Ψ(x, t) będzie unormowana czyli spełniony będzie warunek:

Z

+∞

−∞

|Ψ(x)|

2

dx = 1

(1.3)

1.1.2

Uwagi na temat funkcji falowej

Jeśli rozpatrujemy przypadek trójwymiarowy wtedy funkcję falową zapisujemy jako Ψ(~

r ,t)

Funkcja falowa Ψ(~

r ,t) może mieć wartości zespolone Ψ(~

r ,t) ∈ C

Funkcja falowa Ψ(~

r ,t) musi spełniać określone warunki. Musi więc być:

• jednowartościowa

• ciągła

• gładka

• Ψ(x) → 0 gdy x → ±∞

• całkowalna z kwadratem

Z

V

|Ψ(~

r ,t)|

2

d

3

r < ∞

albo jednowymiarowo i stacjonarnie

Z

+∞

−∞

|Ψ(x)|

2

dx < ∞

1.2

Zasada nieoznaczoności (Heisenberga)

∆x ∆p >

h

2π

Fundamentalny sens zasady Heisenberga

Rysunek 1: Zasada nieoznaczoności wynika z potraktowania cząstki jako paczki falowej.

1.3

Postulat II

Postulat II
Wielkości mechaniczne opisujące cząstkę (np. energia, pęd) reprezentowane są
przez operatory liniowe działające na przestrzeni funkcji falowych.

c

Mariusz Krasiński 2012

2

1.4

Postulat III

1

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ

Zapis ˆ

AΨ oznacza, że operator ˆ

A działa na funkcję Ψ. Wynikiem będzie inna funkcja. (Przypomnij sobie, że

używaliśmy już operatora ∇ (nabla))

Operator nazywamy liniowym jeśli spełniona jest zależność

ˆ

A(c

1

Ψ

1

+ c

2

Ψ

2

) = c

1

ˆ

AΨ

1

+ c

2

ˆ

AΨ

2

wielkość

operator

położenie

ˆ

xf = xf

pęd (składowa x)

ˆ

p

x

f = −i~

df

dx

Energia kinetyczna

ˆ

T f = −

~

2

2m

∇

2

f

Energia potencjalna

ˆ

V f = V (x)f

Energia całkowita (Hamiltonian)

ˆ

H = ˆ

T + ˆ

V

1.4

Postulat III

Postulat III
Ewolucja w czasie stanu cząstki, reprezentowanej przez funkcję falową Ψ(x, t)
określona jest równaniem Schrödingera zależnym od czasu

ˆ

HΨ(x ,t) = i~

∂Ψ(x ,t)

∂t

W przypadku jednowymiarowym powyższe równanie przyjmuje postać:

−

~

2

2m

∂

2

Ψ

∂x

2

+ V Ψ = i~

∂Ψ

∂t

Jeśli Hamiltonian nie zależy od czasu wtedy spełnione musi być równanie Schrödingera niezależne od czasu:

ˆ

HΨ(x) = EΨ(x)

(1.4)

czyli

−

~

2

2m

∇

2

Ψ + V Ψ = EΨ

−

~

2

2m

 ∂

2

Ψ

∂x

2

+

∂

2

Ψ

∂y

2

+

∂

2

Ψ

∂z

2



+ V Ψ = EΨ

W przypadku jednowymiarowym

−

~

2

2m

∂

2

Ψ

∂x

2

+ V Ψ = EΨ

(1.5)

1.5

Postulat IV

Postulat IV
Wynikiem pojedynczego pomiaru wielkości A może być tylko wartość własna
a

k

operatora ˆ

A odpowiadająca funkcji własnej Ψ

k

(x) spełniająca równanie

ˆ

AΨ

k

= a

k

Ψ

k

Tak więc wynikiem pomiaru energii cząstki musi być wartość E

k

będąca rozwiązaniem równania

ˆ

EΨ

k

= E

k

Ψ

k

c

Mariusz Krasiński 2012

3

2

NIESKOŃCZONA STUDNIA POTENCJAŁU

2

Nieskończona studnia potencjału

Ten przykład nie ma właściwie sensu fizycznego ale stanowi dobry (bo łatwy) trening w rozwiązywaniu równania
Schrödingera. Dokładniejsze komentarze podane zostaną na wykładzie.

Rysunek 2: Nieskończona studnia potencjału. Wykres energetyczny.

Funkcja opisująca energię potencjalną w tym zagadnieniu ma postać

• V = 0 dla 0 < x < L

• V = ∞ dla x ≤ 0 lub x ≥ L

Cząstka może przebywać tylko w obszarze pomiędzy ścianami (dlaczego?) więc:

dla x ≤ 0

Ψ(x) = 0

(2.1)

dla x ≥ L

Ψ(x) = 0

(2.2)

Równanie Schrödingera dla obszaru pomiędzy ścianami możemy zapisać w postaci:

−~

2

2m

∂

2

Ψ

∂x

2

= EΨ

czyli

∂

2

Ψ

∂x

2

= −

2mE

~

2

Ψ

(2.3)

Wprowadźmy oznaczenie:

k

2

=

2mE

~

2

(2.4)

Równanie (2.3) przyjmie wtedy postać:

∂

2

Ψ

∂x

2

= −k

2

Ψ

(2.5)

Jest to równanie identyczne z równaniem ruchu harmonicznego prostego

∂

2

x

∂t

2

= −const x

W takim razie, przez analogię, rozwiązanie równania (2.5) ma postać

Ψ = A sin(kx)

(2.6)

Zastosujemy teraz warunki ciągłości.

• Pierwszy warunek Ψ(0) = 0 jest oczywiście zawsze spełniony.

c

Mariusz Krasiński 2012

4

3

SZCZEGÓLNE ROZW. RÓWNANIA SCHRÖDINGERA

• Sprawdźmy teraz warunek Ψ(L) = 0

Ψ(L) = A sin(kL) = 0

co jest równoważne

kL = nπ

(2.7)

Podstawiając wartość k (wzór 2.4) do warunku (2.7) możemy wyliczyć energię cząstki uwięzionej w studni
potencjału

√

2mE

~

L = nπ

a stąd

E =

~

2

π

2

2mL

2

n

2

(2.8)

Ostateczną postać funkcji falowej znajdujemy wykorzystując (2.6) i (2.4)

Ψ(x) = A sin(kx) = A sin

√

2mE

~

x

!

Wartość współczynnika A możemy znaleźć wykorzystując warunek unormowania funkcji falowej

Z

L

0







A sin

√

2mE

~

x

!






2

dx = 1

czyli

A =

1

R

L

0

sin

2



√

2mE

~

x



dx

Ponieważ sens fizyczny ma dopiero kwadrat modułu funkcji falowej, więc

|Ψ(x ,t)|

2

= A

2

sin

2

√

2mE

~

x

!

Interpretacja, wykresy..... na wykładzie

3

Szczególne przypadki rozwiązań równania Schrödingera

3.1

Skok potencjału

Rysunek 3: Skok potencjału. Wykres energetyczny.

Kształt potencjału

• V (x) = 0 dla x < 0

• V (x) = V dla x > 0

a postaci równania Schrödingera w obu obszarach

c

Mariusz Krasiński 2012

5

3.1

Skok potencjału

3

SZCZEGÓLNE ROZW. RÓWNANIA SCHRÖDINGERA

• lewy obszar x < 0

−

~

2

2m

 ∂

2

Ψ

L

∂x

2



= EΨ

L

(3.1)

• Prawy obszar x > 0

−

~

2

2m

 ∂

2

Ψ

R

∂x

2



+ V Ψ

R

= EΨ

R

(3.2)

Charakter rozwiązania zależy od relacji pomiędzy energią całkowitą E a energią potencjalną V w prawym
obszarze. Rozpatrzmy kolejno dwa możliwe przypadki

Przypadek I E > V

Rysunek 4: Skok potencjału. Energia cząstki E > V

Rozwiązania równań (3.1) i (3.2) mają w tym przypadku postać:

• dla x < 0

Ψ

L

= e

ik

L

x

+

k

L

− k

R

k

L

+ k

R

e

−ik

L

x

• dla x > 0

Ψ

R

=

2k

L

k

L

+ k

R

e

ik

R

x

gdzie

k

2

L

=

2m(E)

~

2

k

2

R

=

2m(E − V )

~

2

(3.3)

Dyskusja rozwiązania na wykładzie!

Przypadek II E < V

Rysunek 5: Skok potencjału. Energia cząstki E < V

Równania Schrödingera przyjmują postaci:

• dla x < 0

 ∂

2

Ψ

L

∂x

2



+ k

2

L

Ψ

L

= 0

• dla x > 0

c

Mariusz Krasiński 2012

6

3.2

Efekt tunelowy

4

SKANINGOWY MIKROSKOP TUNELOWY - STM

 ∂

2

Ψ

R

∂x

2



− k

2

R

Ψ

R

= 0

a rozwiązania w poszczególnych obszarach

Ψ

L

= e

ik

L

x

+

k

L

− ik

R

k

L

+ ik

R

e

−ik

L

x

(3.4)

Ψ

R

=

2k

L

k

L

+ ik

R

e

−k

R

x

(3.5)

gdzie k

L

i k

R

znajdujemy ponownie z zależności (3.3)

Zajmijmy się rozwiązaniem (3.5), dotyczącym prawej strony (x > 0) . Gęstość prawdopodobieństwa “spotkania”
elektronu w tym obszarze wynosi

σ = Ψ(x)Ψ

?

(x) =

2k

L

k

L

+ ik

R

e

−k

R

x

2k

L

k

L

− ik

R

e

−k

R

x

=

4k

2

L

k

2

L

+ k

2

R

e

−2k

R

x

(3.6)

i maleje wraz z odległością od bariery x.

3.2

Efekt tunelowy

Rysunek 6: Bariera potencjału.

Jakie jest prawdopodobieństwo “przebicia” się elektronu przez warstwę o skończonej grubości b?

Zdefiniujmy współczynnik transmisji przez warstwę o grubości b jako:

T =

σ(b)

σ(0)

Na podstawie (3.6) otrzymamy więc

T =

σ(b)

σ(0)

=

4k

2
L

k

2
L

+k

2
R

e

−2k

R

b

4k

2
L

k

2
L

+k

2
R

e

−2k

R

0

= e

−2k

R

b

Podstawiając do powyższego równania wartość współczynnika k

R

z równania (3.3) otrzymamy

T = e

−2

q

2m

~

2

√

V −E b

= e

−

q

8m

~

2

(V −E) b

(3.7)

(Analiza jak zwykle na wykładzie)

4

Skaningowy mikroskop tunelowy - STM

Zgodnie z wzorem (3.7) prąd tunelowy zależy od grubości bariery b oraz niedoboru energii V − E

0

. Można

wykorzystać tę zależność do pomiaru kształtu powierzchni na poziomie atomowym.

c

Mariusz Krasiński 2012

7

5

MIKROSKOP SIŁ ATOMOWYCH - AFM

Rysunek 7: Zasada działania Skaningowego Mikroskopu Tunelowego.

W przypadku STM prąd tunelowy zależy od przyłożonego napięcia (regulowanego przez użytkownika) oraz
odległości ostrza od powierzchni próbki. Nierówności na powierzchni powodują więc zmianę prądu tunelowego.
Rozdzielczość pionowa STM jest wystarczająca aby bez problemu obserwować pojedyncze warstwy atomowe.
Opis działania mikroskopu - na wykładzie.

5

Mikroskop sił atomowych - AFM

W mikroskopie AFM wykorzystujemy odpychanie pomiędzy ostrzem zamocowanym na elastycznym ramieniu
oraz powierzchnią próbki. Odkształcenia ramienia rejestrowane są przez układ wykorzystujący odbicie promienia
lasera od ramienia (dokładnie tak jak podczas puszczania “zajączków” przy pomocy lusterka). Dokładniejszy
opis działania na wykładzie.

Rysunek 8: Mikroskop sił atomowych. Najważniejsze elementy.

Poniżej dodatkowe rysunki, które będą wykorzystane podczas omawiania zasady działania AFM.

Rysunek 9: Zasada działania AFM

c

Mariusz Krasiński 2012

8