1

Drgania elektromagnetyczne

i prądy zmienne

przeł

ą

cznik do pozycji (a)

)

1

(

/ L

Rt

e

R

I

−

−

= ε

Obwód RL

Obwód RC

)

1

(

/ RC

t

e

C

Q

−

−

=

ε

C

Q

R

dt

dQ

+

=

ε

dt

dI

L

IR

ε

+

=

przeł

ą

cznik do pozycji (b)

L

Rt

e

R

I

/

−

=

ε

RC

t

e

C

Q

/

−

=

ε

dt

dI

L

IR

+

=

0

C

Q

R

dt

dQ

+

=

0

L

R

U

U

+

=

ε

C

R

U

U

+

=

ε

?

=

=

dt

dQ

I

?

=

=

dt

dI

L

U

L

Wł

ą

czanie i wyłaczanie napi

ę

cia (szeregowe RC i RL)

2

Drgania w obwodzie LC

C

Q

W

E

2

2

=

2

2

Li

W

B

=

Opis ilo

ś

ciowy

0

=

+

C

L

U

U

(prawo Kirchhoffa)

0

=

+

C

Q

dt

dI

L

0

1

2

2

=

+

Q

LC

dt

Q

d

równanie drga

ń

w obwodzie LC

W obwodzie LC mamy do czynienia z oscylacjami (drganiami)

ładunku

(

pr

ą

du

).

Zmienia si

ę

zarówno warto

ść

jak i znak (kierunek) ładunku na kondensatorze i pr

ą

du

w obwodzie.

Równanie opisuj

ą

ce oscylacje ładunku ma identyczn

ą

posta

ć

jak równanie drga

ń

swobodnych masy zawieszonej na spr

ęż

ynie,

ładunek

Q

→

przesuni

ę

cie

x

;

pojemno

ść

C

→

odwrotno

ść

współczynnika spr

ęż

ysto

ś

ci

1/k;

pr

ą

d

I = d Q /dt

→

pr

ę

dko

ść

v = dx/dt;

indukcyjno

ść

L

→

masa

m

.

t

Q

Q

0

0

cos

ω

=

t

ω

I

t

ω

ω

Q

t

d

dQ

I

0

0

0

0

0

sin

sin

−

=

−

=

=

LC

1

0

=

ω

cz

ę

sto

ść

drga

ń

0

2

0

2

2

=

+

Q

dt

Q

d

ω

3

Napi

ę

cia chwilowe na i pr

ą

d

w obwodzie:

t

C

Q

U

o

C

ω

cos

0

=

t

Q

Q

0

0

cos

ω

=

LC

1

0

=

ω

W obwodzie LC ładunek na kondensatorze, nat

ęż

enie pr

ą

du i napi

ę

cie zmieniaj

ą

si

ę

sinusoidalnie tak jak dla drga

ń

harmonicznych.

Mi

ę

dzy napi

ę

ciem i nat

ęż

eniem pr

ą

du istnieje ró

ż

nica faz, równa

π

/2.

)

2

/

cos(

sin

0

0

0

0

π

+

=

−

=

t

ω

I

t

ω

I

I

Ka

ż

dy obwód ma pewien opór R (np. opór drutu z którego nawini

ę

to cewk

ę

).

Obecno

ść

oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielaj

ą

cego si

ę

ciepła.

Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tłumione analogiczne do
drga

ń

tłumionych spr

ęż

yny, przy czym współczynnik tłumienia

β

= R/2L.

0

=

+

+

IR

C

Q

dt

dI

L

0

2

2

0

2

2

=

+

+

Q

dt

dQ

dt

Q

d

ω

β

0

2

2

=

+

+

LC

Q

dt

dQ

L

R

dt

Q

d

t

e

Q

Q

t

ω

β

cos

0

−

=

2

2

0

β

ω

ω

−

=

małe
tłumienie

t

e

C

Q

U

t

c

ω

β

cos

0

−

=

Drgania w obwodzie RC

4

0

cos

I

I

t

ω

=

0

0

cos

cos

R

U

R I

RI

t

U

t

ω

ω

= ⋅ =

=

=

0

i t

R

U

R I e

R I

ω

= ⋅

= ⋅

R

U

R I

= ⋅

0

cos

R

U

U

t

ω

=

0

0

U

I

R

= ⋅

Zapis czasowy

0

i t

C

U

U e

ω

=

Re{

}

C

U

U

=

0

0

[cos

sin

]

i t

I

I e

I

t

i

t

ω

ω

ω

=

=

+

Zapis w postaci zespolonej

Re{ }

I

I

=

Pr

ą

d zmienny (drgania wymuszone)

- opornik

ϕ = 0

t

T

I

U

R

T/2

R – rezystancja

0

cos

I

I

t

ω

=

0

0

1

1

cos(

/ 2)

cos(

/ 2)

C

U

I dt

I

t

C

C

U

t

ω π

ω

ω π

=

=

−

=

=

−

∫

(

/2)

0

0

1

1

i

t

i t

C

C

U

I e

i

I e

iX

I

C

C

ω π

ω

ω

ω

−

=

⋅

= −

⋅

=

⋅

C

C

U

iX

I

=

⋅

0

cos(

/ 2)

C

U

U

t

ω π

=

−

0

0

1

|

|

C

C

U

I

X

gdzie X

C

ω

= ⋅

= −

Zapis czasowy

(

/ 2)

0

i

t

C

U

U e

ω π

−

=

Re{

}

C

U

U

=

0

i t

I

I e

ω

=

Zapis w postaci zespolonej

Re{ }

I

I

=

Pr

ą

d zmienny (drgania wymuszone)

- kondensator

X

c

– reaktancja

kondensatora

ϕ = −π/2

t

T

I

U

C

T/2

5

0

cos

I

I

t

ω

=

0

0

cos(

/ 2)

cos(

/ 2)

L

dI

U

L

L I

t

dt

U

t

ω

ω π

ω π

=

=

+

=

=

+

(

/2)

0

0

i

t

i t

L

L

U

L I e

i L I e

iX

I

ω π

ω

ω

ω

+

=

⋅

=

⋅

=

⋅

L

L

U

iX

I

=

⋅

0

cos(

/ 2)

L

U

U

t

ω π

=

+

0

0

|

|

L

L

U

I

X

gdzie X

L

ω

= ⋅

=

Zapis czasowy

(

/ 2)

0

i

t

L

U

U e

ω π

+

=

Re{

}

L

U

U

=

0

i t

I

I e

ω

=

Zapis w postaci zespolonej

Re{ }

I

I

=

Pr

ą

d zmienny (drgania wymuszone)

- cewka

ϕ = +π/2

t

T

I

T/2

X

L

– reaktancja

cewki

Drgania w obwodzie RLC mo

ż

na podtrzyma

ć

je

ż

eli obwód b

ę

dziemy zasila

ć

zmienn

ą

SEM ze

ź

ródła zewn

ę

trznego wł

ą

czonego do obwodu.

0

cos(

)

dI

Q

L

RI

U

ω

t

dt

C

ϕ

+

+ =

+

0

cos

I

I

t

ω

=

0

?

I

=

?

ϕ

=

Analogia do mechanicznych drga

ń

wymuszonych:

0

cos(

)

U

U

t

ω ϕ

=

+

Pr

ą

d zmienny (drgania wymuszone)

- RLC

2

0

2

d

d

1

sin(

)

d

d

I

R

I

I

U

t

t

L

t

CL

L

ω

ω ϕ

+

+

= −

+

6

0

cos

I

I

t

ω

=

[

]

(

)

(

)

R

C

L

C

L

C

L

U

U

U

U

R iX

iX

I

R i X

X

I

Z I

=

+

+

=

+

+

⋅ =

+

+

⋅ = ⋅

Zapis czasowy pr

ą

du

0

i t

I

I e

ω

=

Zapis w postaci zespolonej

Re{ }

I

I

=

Pr

ą

d zmienny (drgania wymuszone)

- RLC

0

Re{ }

cos(

)

U

U

U

t

ω ϕ

=

=

+

(

)

0

0

|

|

i

i t

i

t

U

Z I

Z e I e

U e

ϕ

ω

ω ϕ

+

= ⋅ =

=

2

2

0

0

1

U

I

R

L

C

ω

ω





=

+

−









R

C

L

tg

ω

ω

ϕ

1

−

=

Przebieg czasowy
napi

ę

cia:

ϕ

t

T

I

U

T/2

wykres wektorowy

2

2

0

0

Im{ }

|

|

: |

|

tg

Re{ }

Z

X

U

I

Z

gdzie

Z

R

X

oraz

Z

R

ϕ

= ⋅

=

+

=

=

(

)

|

|

i

C

L

Z

R i X

X

R iX

Z e

ϕ

= +

+

= +

=

X– reaktancja
R –rezystancja
Z - impedancja

trójk

ą

t impedancji

0

cos

I

I

t

ω

=

Zapis czasowy pr

ą

du

0

i t

I

I e

ω

=

Zapis w postaci zespolonej

Re{ }

I

I

=

Pr

ą

d zmienny (drgania wymuszone)

– RLC (podsumowanie)

0

Re{ }

cos(

)

U

U

U

t

ω ϕ

=

=

+

(

)

0

0

|

|

i

i t

i

t

U

Z I

Z e I e

U e

ϕ

ω

ω ϕ

+

= ⋅ =

=

2

2

0

0

0

1

|

|

U

I

Z

I

R

L

C

ω

ω





= ⋅

=

+

−









1

L

X

C

tg

R

R

ω

ω

φ

−

=

=

Przebieg czasowy napi

ę

cia:

ϕ

t

T

I

U

T/2

wykres wektorowy

X– reaktancja
R –rezystancja
Z - impedancja

trójk

ą

t impedancji

7

Rezonans (RLC)

Drgania ładunku, pr

ą

du i napi

ę

cia w obwodzie odbywaj

ą

si

ę

z cz

ę

sto

ś

ci

ą

zasilania

ω

(cz

ę

sto

ś

ci

ą

wymuszaj

ą

c

ą

).

Analogicznie jak dla mechanicznych drga

ń

wymuszonych

amplituda tych drga

ń

zale

ż

y od

ω

i osi

ą

ga maksimum dla

pewnej charakterystycznej warto

ś

ci tej cz

ę

sto

ś

ci.

Warunek rezonansu dla małego
oporu

R

czyli dla małego tłumienia

LC

1

0

=

=

ω

ω

Nat

ęż

enie pr

ą

du osi

ą

ga warto

ść

maksymaln

ą

R

U

I

0

0

=

Nat

ęż

enie pr

ą

du w obwodzie jest takie,

jak gdyby był w nim tylko opór

R

.

2

2

0

0

1













−

+

=

C

L

R

U

I

ω

ω

Moc w obwodzie pr

ą

du zmiennego

[

][

]

0

0

( )

( ) ( )

cos

cos(

)

p t

U t I t

I

t U

t

ω

ω ϕ

=

=

+

2

0 0

0 0

1

cos

cos

cos

sin

sin

cos

cos

sin 2

sin )

2

p(t) U I

ω

t (

ω

t

ω

t

) U I (

ω

t

ω

t

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

−

=

−

0

0

0

1

( )

cos

2

T

U I

P

P t dt

T

φ

=

=

∫

Moc czynna

to średnia moc tracona w obwodzie,

tj. moc, którą odbiornik pobiera ze źródła i
zamienia na pracę lub ciepło.

moc chwilowa:

0 0

0 0

cos

(1 cos 2

)

sin

sin 2

2

2

U I

U I

p(t)

ω

t

ω

t

ϕ

ϕ









=

+

−

















0 0

sin

2

U I

Q

ϕ

=

Moc bierna to

moc, która nie zamienia się w

odbiornikach w inny rodzaj mocy (pulsuje między
źródłem a odbiornikiem).

(1 cos 2

)

sin 2

p(t)

P

ω

t

Q

ω

t

=

+

−

8

Moc w obwodzie pr

ą

du zmiennego

Moc czynna

zale

ż

y od przesuni

ę

cia fazowego

pomi

ę

dzy napi

ę

ciem i pr

ą

dem.

ś

rednia moc

tracona na
oporze R

2

2

2

2

0

0

0

0

1

1

(

cos

)

2

T

T

R

I R

P

I Rdt

RI

t dt

P

T

T

ω

=

=

=

=

∫

∫

•Cała moc wydziela si

ę

na oporze R

(jest to moc czynna)

, na kondensatorze i cewce

nie ma strat mocy. Gdy w obwodzie znajduje si

ę

tylko pojemno

ść

lub indukcyjno

ść

(nie

ma oporu omowego) to przesuniecie fazowe jest równe

π

/2, a poniewa

ż

cos(

π

/2) = 0 to

ś

rednia moc jest równa zeru.

2

0 0

0

cos

2

2

U I

RI

P

ϕ

=

=

Moc czynna:

2

0 0

0

sin

2

2

U I

XI

Q

ϕ

=

=

Moc bierna:

cos

|

|

R

Z

ϕ

=

2

0 0

0

0

0

(|

|

)

cos

2

2

|

|

2

U I

Z I I

I R

R

P

Z

ϕ

=

=

=

moc

ś

rednia

wydzielana w
całym obwodzie

sin

|

|

X

Z

ϕ

=

2

2

sk

sk

U

P

I

R

R

=

=

dla pr

ą

du stałego

dla pr

ą

du zmiennego

warto

ść

skuteczna

nat

ęż

enia pr

ą

du

zmiennego

0

2

R

sk

I

I

=

0

2

R

sk

U

U

=

warto

ść

skuteczna

napi

ę

cia

zmiennego

Mierniki pr

ą

du zmiennego takie jak amperomierze i woltomierze odczytuj

ą

wła

ś

nie warto

ś

ci skuteczne.

2

2

0

0

2

2

R

R

I R

U

P

R

=

=

Warto

ść

skuteczna pr

ą

du zmiennego (lub jego napi

ę

cia)

jest tak

ą

warto

ś

ci

ą

pr

ą

du (napi

ę

cia) stałego, która w ci

ą

gu czasu równego okresowi pr

ą

du

zmiennego spowoduje ten sam efekt cieplny, co dany sygnał pr

ą

du zmiennego.

0

0

R

I

I

=

cos

sk

sk

P

U I

ϕ

=

Moc czynna:

sin

sk

sk

Q

U I

ϕ

=

Moc bierna: