1

Drgania elektromagnetyczne

przeł

ą

cznik do pozycji (a)

/

(1

)

Rt L

I

e

R

ε

−

=

−

Obwód RL

Obwód RC

)

1

(

/ RC

t

e

C

Q

−

−

=

ε

C

Q

R

dt

dQ

+

=

ε

dt

dI

L

IR

ε

+

=

L

R

U

U

+

=

ε

C

R

U

U

+

=

ε

/

t RC

dQ

I

e

dt

R

ε

−

=

=

/

Rt L

L

dI

U

L

e

dt

ε

−

=

=

Wł

ą

czanie i wyłaczanie napi

ę

cia (szeregowe RC i RL)

/

(1

)

t RC

C

U

e

ε

−

=

−

przeł

ą

cznik do pozycji (b)

L

Rt

e

R

I

/

−

=

ε

/

t RC

C

U

e

ε

−

=

dt

dI

L

IR

+

=

0

C

Q

R

dt

dQ

+

=

0

RC

t

e

C

Q

/

−

=

ε

/

t RC

I

e

R

ε

−

= −

/

Rt L

L

U

e

ε

−

= −

2

Drgania w obwodzie LC

C

Q

W

E

2

2

=

2

2

Li

W

B

=

Opis ilo

ś

ciowy

0

=

+

C

L

U

U

(prawo Kirchhoffa)

0

=

+

C

Q

dt

dI

L

0

1

2

2

=

+

Q

LC

dt

Q

d

równanie drga

ń

w obwodzie LC

W obwodzie LC mamy do czynienia z oscylacjami (drganiami)

ładunku

(

pr

ą

du

).

Zmienia si

ę

zarówno warto

ść

jak i znak (kierunek) ładunku na kondensatorze i pr

ą

du

w obwodzie.

Równanie opisuj

ą

ce oscylacje ładunku ma identyczn

ą

posta

ć

jak równanie drga

ń

swobodnych masy zawieszonej na spr

ęż

ynie,

ładunek Q , napięcie U →

przesunięcie x, siła F;

pojemność C ( U = Q/C ) → odwrotność współczynnika sprężystości 1/k (F = kx);
prąd I = d Q /dt

→

prędkość

v

= dx/dt.

indukcyjność L (U = L dI/dt) → masa m (F = m d

v

/dt) ;

.

t

Q

Q

0

0

cos

ω

=

t

ω

I

t

ω

ω

Q

t

d

dQ

I

0

0

0

0

0

sin

sin

−

=

−

=

=

LC

1

0

=

ω

cz

ę

sto

ść

k

ą

towa drga

ń

0

2

0

2

2

=

+

Q

dt

Q

d

ω

3

W obwodzie LC ładunek na
kondensatorze, nat

ęż

enie pr

ą

du

i napi

ę

cie zmieniaj

ą

si

ę

sinusoidalnie

tak jak dla drga

ń

harmonicznych.

Mi

ę

dzy napi

ę

ciem i nat

ęż

eniem

pr

ą

du istnieje ró

ż

nica faz, równa

π

/2.

t

C

Q

U

o

C

ω

cos

0

=

t

ω

I

I

0

0

sin

−

=

LC

1

0

=

ω

Obwód szeregowy RLC

Ka

ż

dy obwód ma pewien opór R (np. opór drutu z którego nawini

ę

to cewk

ę

).

Obecno

ść

oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielaj

ą

cego si

ę

ciepła.

Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tłumione analogiczne do
drga

ń

tłumionych spr

ęż

yny, przy czym współczynnik tłumienia

β

= R/2L.

0

=

+

+

IR

C

Q

dt

dI

L

0

2

2

0

2

2

=

+

+

Q

dt

dQ

dt

Q

d

ω

β

0

2

2

=

+

+

LC

Q

dt

dQ

L

R

dt

Q

d

t

e

Q

Q

t

ω

β

cos

0

−

=

2

2

0

β

ω

ω

−

=

małe
tłumienie

t

e

C

Q

U

t

c

ω

β

cos

0

−

=

4

Drgania w obwodzie RLC mo

ż

na podtrzyma

ć

je

ż

eli

obwód b

ę

dziemy zasila

ć

zmienn

ą

SEM ze

ź

ródła

zewn

ę

trznego wł

ą

czonego do obwodu.

t

ω

U

C

Q

RI

dt

dI

L

sin

0

=

+

+

)

sin(

)

(

ϕ

ω

+

=

t

A

t

x

0

( )

sin(

')

Q t

Q

t

ω φ

=

+

t

ω

L

U

LC

Q

t

d

dQ

L

R

t

d

Q

d

sin

0

2

2

=

+

+

t

ω

α

x

ω

t

d

x

d

β

t

d

x

d

sin

2

0

2

0

2

2

=

+

+

'

1

R

tg

L

C

φ

ω

ω

=

−

2

2

0

2

ω

ω

βω

ϕ

−

−

=

tg

2

/

1

2

2

2

2

2

0

0

]

4

)

[(

ω

β

ω

ω

α

+

−

=

A

2

2

2

2

0

0

1













−

+

=

L

C

R

U

Q

ω

ω

dt

dQ

t

I

=

)

(

0

sin(

)

I

I

t

ω φ

=

−

2

2

0

0

1













−

+

=

L

C

R

U

I

ω

ω

1

L

C

tg

R

ω

ω

φ

−

=

'

/ 2

φ φ π

= − −

2

2

0

0

0

1













−

+

=

=

C

L

R

U

Z

U

I

ω

ω

2

2

1













−

+

=

C

L

R

Z

ω

ω

1

L

C

tg

R

ω

ω

φ

−

=

0

sin(

)

I

I

t

ω φ

=

−

)

sin(

0

t

U

U

ω

=

R

Z

=

C

X

Z

C

ω

1

−

=

=

L

X

Z

L

ω

=

=

trójk

ą

t impedancji

X– reaktancja
R –rezystancja
Z – impedancja

5

Rezonans

Drgania ładunku, pr

ą

du i napi

ę

cia w obwodzie odbywaj

ą

si

ę

z cz

ę

sto

ś

ci

ą

zasilania

ω

(cz

ę

sto

ś

ci

ą

wymuszaj

ą

c

ą

).

Analogicznie jak dla mechanicznych drga

ń

wymuszonych

amplituda tych drga

ń

zale

ż

y od

ω

i osi

ą

ga maksimum dla

pewnej charakterystycznej warto

ś

ci tej cz

ę

sto

ś

ci.

Warunek rezonansu :

LC

1

0

=

=

ω

ω

Nat

ęż

enie pr

ą

du osi

ą

ga warto

ść

maksymaln

ą

R

U

I

0

0

=

Nat

ęż

enie pr

ą

du w obwodzie jest takie,

jak gdyby był w nim tylko opór

R

.

2

2

0

0

1













−

+

=

C

L

R

U

I

ω

ω

Moc w obwodzie pr

ą

du zmiennego

[

][

]

0

0

( )

( ) ( )

sin

sin(

)

p t

U t I t

U

t I

t

ω

ω ϕ

=

=

−

2

0 0

0 0

1

sin

sin

cos

cos

sin

sin

cos

sin 2

sin )

2

p(t) U I

ωt (

ωt

ωt

) U I (

ωt

ωt

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

−

=

−

0

0

0

1

( )

cos

2

T

U I

P

p t dt

T

φ

=

=

∫

Moc czynna

to średnia moc tracona w obwodzie,

tj. moc, którą odbiornik pobiera ze źródła i
zamienia na pracę lub ciepło.

moc chwilowa:

0 0

0 0

cos

(1 cos 2

)

sin

sin 2

2

2

U I

U I

p(t)

ωt

ωt

ϕ

ϕ









=

−

−

















0 0

sin

2

U I

Q

ϕ

=

Moc bierna to

moc, która nie zamienia się w

odbiornikach w inny rodzaj mocy (pulsuje między
źródłem a odbiornikiem).

(1 cos 2

)

sin 2

p(t)

P

ωt

Q

ωt

=

−

−

2

1 cos(2 )

sin

2

x

x

−

=

6

Moc w obwodzie pr

ą

du zmiennego

Moc czynna

zale

ż

y od przesuni

ę

cia fazowego

pomi

ę

dzy napi

ę

ciem i pr

ą

dem.

ś

rednia moc

tracona na
oporze R

2

2

2

2

0

0

0

0

1

1

sin (

)

2

T

T

R

I R

P

I Rdt

RI

t

dt

P

T

T

ω φ

=

=

−

=

=

∫

∫

•Cała moc wydziela si

ę

na oporze R

(jest to moc czynna)

, na kondensatorze i cewce

nie ma strat mocy. Gdy w obwodzie znajduje si

ę

tylko pojemno

ść

lub indukcyjno

ść

(nie

ma oporu omowego) to przesuniecie fazowe jest równe

π

/2, a poniewa

ż

cos(

π

/2) = 0 to

ś

rednia moc jest równa zeru.

2

0 0

0

cos

2

2

U I

RI

P

ϕ

=

=

Moc czynna:

2

0 0

0

sin

2

2

U I

XI

Q

ϕ

=

=

Moc bierna:

cos

|

|

R

Z

ϕ

=

2

0 0

0

0

0

(|

|

)

cos

2

2

|

|

2

U I

Z I I

I R

R

P

Z

ϕ

=

=

=

moc

ś

rednia

wydzielana w
całym obwodzie

sin

|

|

X

Z

ϕ

=

2

2

sk

sk

U

P

I

R

R

=

=

dla pr

ą

du stałego

dla pr

ą

du zmiennego

warto

ść

skuteczna

nat

ęż

enia pr

ą

du

zmiennego

0

2

R

sk

I

I

=

0

2

R

sk

U

U

=

warto

ść

skuteczna

napi

ę

cia

zmiennego

Mierniki pr

ą

du zmiennego takie jak amperomierze i woltomierze odczytuj

ą

wła

ś

nie warto

ś

ci skuteczne.

2

2

0

0

2

2

R

R

I R

U

P

R

=

=

Warto

ść

skuteczna pr

ą

du zmiennego (lub jego napi

ę

cia)

jest tak

ą

warto

ś

ci

ą

pr

ą

du (napi

ę

cia) stałego, która w ci

ą

gu czasu równego okresowi pr

ą

du

zmiennego spowoduje ten sam efekt cieplny, co dany sygnał pr

ą

du zmiennego.

0

0

R

I

I

=

cos

sk

sk

P

U I

ϕ

=

Moc czynna:

sin

sk

sk

Q

U I

ϕ

=

Moc bierna: