2008 K.M.Gawrylczyk

1

Pr

Pr

ą

ą

dy zmienne

dy zmienne

2008 K.M.Gawrylczyk

2/17

Pr

Pr

ą

ą

dy okresowe

dy okresowe

(

)

( )

1

1

,

2

,

2

- cz

ę

stotliwo

ść

przebiegu [Hz],

- cz

ę

sto

ść

[s ],

- okres [s].

u t

T

u t

f

f

T

T

f

T

ω

ω

ω

−

+

=

=

= π

= π ;

2008 K.M.Gawrylczyk

3/17

Wielko

Wielko

ś

ś

ci charakteryzuj

ci charakteryzuj

ą

ą

ce

ce

pr

pr

ą

ą

d sinusoidalny

d sinusoidalny

(

)

ω

ω

=

=

+

−

−

−

m

m

( )

sin

warto

ść

maksymalna,

cz

ę

sto

ść

,

pocz

ą

tkowy k

ą

t fazowy.

u

u t

U

t

ψ

U

ψ

2008 K.M.Gawrylczyk

4/17

( )

+

=

⇒

=

=

∫

∫

∫

0

0

/ 2

ś

r

0

0

1

1

( ) d

( ) d

2

0 ;

( ) d ;

T

T

T

t

t

U

u t

t

T

u t

u t

t

u t

t

T

T

Warto

Warto

ść

ść

ś

ś

rednia przebiegu

rednia przebiegu

(

)

ω

ω

ω





=

=

=

−

+

=









=

−

π) + 1 =

π

π

∫

∫

/ 2

/ 2

m

m

ś

r

0

0

m

m

2

2

2

( ) d

sin

d

cos(

)

cos(0)

2

2

cos(

T

T

U

U

T

U

u t

t

t t

T

T

T

U

U

2008 K.M.Gawrylczyk

5/17

Warto

Warto

ść

ść

skuteczna przebiegu

skuteczna przebiegu

=

∫

2

0

1

( ) d

T

U

u t

t

T

(

)

(

)

ω

ω

−

+

=

+

=

=

∫

∫

2

2

m

m

m

0

0

1 cos 2

1

1

sin

d

d

2

2

T

T

t

ψ

U

U

U

t

ψ

t

U

t

T

T

2008 K.M.Gawrylczyk

6/17

Wsp

Wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik amplitudy i

czynnik amplitudy i

wsp

wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik kszta

czynnik kszta

ł

ł

tu

tu

=

=

m

ś

r

,

a

k

U

U

k

k

U

U

Dla przebiegów harmonicznych:

π

=

=

=

=

=

=

2 2

m

ś

r

2

1,41,

1,11.

a

k

U

U

k

k

U

U

2008 K.M.Gawrylczyk

7/17

Interpretacja fizyczna warto

Interpretacja fizyczna warto

ś

ś

ci

ci

skutecznej

skutecznej

=

=

=

−

∫

∫

2

0

2

2

0

1

( ) d

( ) d

energia wydzielana w rezystorze

w czasie .

T

T

I

i t

t

T

R I T

R

i t

t

W

R

T

2008 K.M.Gawrylczyk

8/17

Przesuni

Przesuni

ę

ę

cie fazowe

cie fazowe

(

)

ω

ω ϕ

=

=

−

m

m

( )

sin

,

( )

sin

u t

U

t

i t

I

t

(

)

ω

ω ϕ

=

=

+

m

m

( )

sin

,

( )

sin

u t

U

t

i t

I

t

2008 K.M.Gawrylczyk

9/17

(

)

(

)

(

)

ω ϕ

ω ϕ

ω ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

+

+

+

=

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

=

⇒

+

=

3

1

1

2

2

3

3

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

1

1

2

( )

sin

sin

sin

sin

cos

cos

sin

sin

cos

cos

sin

sin

cos

cos

sin

cos

cos

cos

,

sin

sin

s

sin

sin

cos

co

in

,

s

i t

I

t

I

t

I

t

I

t

I

t

I

t

I

t

I

t

I

t

I

I

I

a

I

I

I

I

I

rctg

I

I

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ







=

+

+

+

=

=

+

± π

+ +

−

=

=

⇒

=

=

⇒

=

+

+

+

=

=

+

+

2

2

2

3

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1 2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

2

3

1

2

3

1

2

1 2

1

2

3

cos

cos

sin

sin

sin

cos

sin

cos

2

cos

cos

sin

si

gdy :

gd

,

2

c

n

os

y :

,

I

I

I

I

I

k

I

I

I

I I

I

I

I

I

I

I

I

=

+

3

1

2

Pierwsze prawo Kirchhoffa:

( )

( )

( )

(mo

ż

na doda

ć

, je

ż

eli ta sama cz

ę

stotliwo

ść

,

inaczej zasada superpozycji)

i t

i t

i t

Dodawanie przebieg

Dodawanie przebieg

ó

ó

w harmonicznych

w harmonicznych

2008 K.M.Gawrylczyk

10/17

Rezystor

Rezystor

ω

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

=

=

⋅

=

=

=

=

=

=

=

∫

m

m

m

m

m

2

m

m

m m

2

R

m m

0

prawo Ohma :

( )

( )

Definicja mocy ch

( )

sin

,

sin

sin

, dla warto

ś

ci skutecznych:

( )

si

wilowej:

( )

( ) ( )

1

Definicja mocy czyn

n

sin

sin

nej:

( )d

1

sin

T

i t

I

t

RI

t

U

t

RI

U

RI

U

p t

U

t I

t

U I

t

u t

Ri t

P

U

p t

u t

i t

t

I

P

T

p t

T

ω

ω

−

=

=

= ⋅

∫

∫

m m

m m

0

0

1

1 cos 2

d

d

2

2

T

T

U I

t

t t

U I

t

U I

T

2008 K.M.Gawrylczyk

11/17

Cewka

Cewka

m

m

m

m

m

m

m

m

m m

0

d ( )

( )

sin

,

( )

d

cos

sin

sin

2

2

, dla warto

ś

ci skutecznych:

1

Moc chwilowa: ( )

cos

sin

sin2

2

1

Moc czynna:

( )d

0

Energia zgromadzo

T

i t

i t

I

t u t

L

t

LI

t

LI

t

U

t

L I

U

L I

U

p t

U

t I

t

U I

t

P

p t

t

T

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

=

π

π









=

=

+

=

+

















⋅ =

⋅ =

=

⋅

=

=

=

∫

(

)

2

2

2

2

L

m

na w cewce:

1

1

1

( )

sin

1 cos 2

2

2

2

W

Li t

LI

t

LI

t

ω

ω

=

=

=

−

2008 K.M.Gawrylczyk

12/17

Kondensator

Kondensator

ω

ω

ω ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

=

π

π









=

=

+

=

+

















⋅

=

⋅ =

=

⋅

=

=

=

∫

m

m

m

m

m

m

m

m

m m

0

d ( )

( )

sin

, ( )

d

cos

sin

sin

2

2

1

, dla warto

ś

ci skutecznych:

1

Moc chwilowa: ( )

cos

sin

sin2

2

1

Moc czynna:

( )d

0

Energia zgromadz

T

u t

u t

U

t i t

C

t

CU

t

CU

t

I

t

C U

I

I

U

C

p t

U

t I

t

U I

t

P

p t

t

T

(

)

ω

ω

=

=

=

−

2

2

2

2

C

m

ona w kondensatorze:

1

1

1

( )

sin

1 cos 2

2

2

2

W

Cu t

CU

t

CU

t

2008 K.M.Gawrylczyk

13/17

(

)

(

)

( ) (

)

(

)

( )

m

R

L

m

m

m

m

m

m

2

2

2

2

2

2

2

2

2

m

m

m

m

m

R

L

m

m

m

m

( )

sin

,

( )

( )

( )

sin

cos

sin

sin

cos

cos

sin

cos

sin

,

arctg

sin

cos

;

cos

o

sin

M

t

t

RI

i t

I

t u t

u t

u t

RI

t

LI

t

U

t

RI

LI

U

L

L

tg

k

R

R

RI

LI

U

U

I

t

R

L

U

U

U

U

U

LI

Z

t

ω

ω

ω ω

ω

ω ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

ω

ω

ω

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

+

=

=

+

=

+

+

=

+



⇒

=

=

± π





+

=

=

+

⇒

=

+

=

+

=







(

)

2

m

m

m m

m m

0

1

c chwilowa: ( )

sin

sin

sin

cos

sin2

sin

2

1

Moc czynna:

( )d

cos

cos

2

T

p t

U

t

I

t

U I

t

t

U I

P

p t

t

UI

T

ω ϕ

ω

ω

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ





=

+

⋅

=

+









=

=

=

∫

Ga

Ga

ł

ąź

ł

ąź

szeregowa

szeregowa

R

R

-

-

L

L

2008 K.M.Gawrylczyk

14/17

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

ω

ω

ω

ω ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

ω

ω

ω

ω

−

=

=

=

+

=

=

+

−

=

+

−

=

+





⇒

= −

= −

± π ( = 0)









+

=

+

⇒

=









=

m

R

C

o

m

m

m

m

m

m

2

2

2

2

2

m

m

m

m

m

m

m

m

( )

sin

,

( )

( )

( )

1

sin

sin

90

sin

1

cos

sin

1

1

,

arctg

1

si

cos

co

sin

sin

s

n

co

co

sin

s

s

1

t

t

i t

I

t u t

u t

u t

RI

t

I

t

U

t

C

RI

I

U

C

tg

k

k

R C

R C

RI

t

t

R

I

U

U

C

I

U

I

U

C

(

)

ω

ω ϕ

ω

ω

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ





+

=

+













=

+

⋅

=

+









=

=

=

∫









2

2

2

2

m

R

C

2

m

m

m m

m m

0

1

;

1

Moc chwilowa: ( )

sin

sin

sin

cos

sin2

sin

2

1

Moc czynna:

( )d

cos

cos

2

T

I

R

U

U

U

C

Z

p t

U

t

I

t

U I

t

t

U I

P

p t

t

UI

T

Ga

Ga

ł

ąź

ł

ąź

szeregowa

szeregowa

R

R

-

-

C

C

2008 K.M.Gawrylczyk

15/17

Ga

Ga

ł

ąź

ł

ąź

szeregowa

szeregowa

RLC

RLC

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

ω

ω

ω

ω

ω ω

ω

ω

ω ϕ

ω

ω

ϕ

ϕ

ω

ω

ω

ϕ

ω

ω

ω

ϕ

ω

ω

ω

ϕ

ϕ

=

=

+

+

=

=

+

+

+

−

=

+

+

−

=

+



−

−



⇒

=

=

± π

=



−



=



m

R

L

C

o

o

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

cos

cos

cos

1

sin

sin

sin

( )

sin

,

( )

( )

( )

( )

1

sin

sin

90

sin

90

sin

1

cos

sin

1

1

,

arctg

cos

i t

I

t u t

u t

u t

u t

RI

t

LI

t

I

t

U

t

C

RI

LI

I

U

C

L

L

t

t

t

LI

I

C

C

tg

k

R

R

U

C

t

RI

U

RI

t

(

)

(

)

(

)

ω

ϕ

ϕ

ω

ω

ω

ω ϕ

ω

ω

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ









+

−

=

+

⇒

=

+

−

















=

+

−





=

+

⋅

=

+









=

=

=

∫

2

2

2

2

2

2

2

m

m

m

m

m

2

2

R

L

C

2

m

m

m m

m m

0

1

1

sin

cos

;

1

Moc chwilowa: ( )

sin

sin

sin

cos

sin2

sin

2

1

Moc czynna:

( )d

cos

cos

2

T

LI

I

U

U

I

R

L

C

C

U

U

U

U

p t

U

t

I

t

U I

t

t

U I

P

p t

t

UI

T

2008 K.M.Gawrylczyk

16/17

Wykresy tr

Wykresy tr

ó

ó

jk

jk

ą

ą

towe

towe

2008 K.M.Gawrylczyk

17/17

Moce w obwodach pr

Moce w obwodach pr

ą

ą

du

du

sinusoidalnie zmiennego

sinusoidalnie zmiennego

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅

= ⋅

=

=

⋅

=

⋅

+

=

∫

2

2

2

0

Dla przebiegów

Moc czynna

cos ;

Moc bierna

sin ;

Moc pozorna

Moc chwilowa:

( )

( ) ( )

1

Moc czynna:

;

St

ą

d wyn

( )

ik

d

harmonicz

aj

ą

zale

ż

no

ś

ci:

cos ;

sin ;

;

nych:

T

P

U I

Q

U I

S

U I

P

S

Q

S

P

p t

u t

i t

P

p t

t

T

Q

S