Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych

Laboratori

um Drgań Mechanicznych

Bielsko-

Biała 2012

o

o

o

p

p

p

r

r

r

a

a

a

c

c

c

o

o

o

w

w

w

a

a

a

ł

ł

ł

A

A

A

r

r

r

k

k

k

a

a

a

d

d

d

i

i

i

u

u

u

s

s

s

z

z

z

T

T

T

r

r

r

ą

ą

ą

b

b

b

k

k

k

a

a

a

ĆWICZENIE NR ...

DRGANIA SKRĘTNE UKŁADU O WIELU STOPNIACH

SWOBODY

1.

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem drgań mechanicznych
układu o wielu stopniach swobody na przykładzie drgań skrętnych układu o
czterech stopniach swobody.


2. Opis stanowiska

Na rysunku 1 przedstawiono schemat układu drgającego o czterech stopniach
swobody, którego głównymi elementami są:



Aluminiowe tarcze osadzone na stalowym pręcie;



Mechanizm korbowo-wahaczowy;



Silnik prądu stałego;



Autotransformator (do płynnej regulacji prędkości obrotowej silnika);



Tachometr elek

troniczny (do pomiaru prędkości obrotowej silnika).

DRGANIA SKRĘTNE UKŁADU O WIELU STOPNIACH SWOBODY

Laboratorium Drgań Mechanicznych

2

Rys.1. Schemat stanowiska pomiarowego

3.

Zależności obliczeniowe

Ruch wymuszający drgania jest realizowany przez mechanizm korbowo-wahaczowy,
w przybliżeniu należy przyjąć, że jest to ruch harmoniczny określony równaniem:



=



sin ωt

(1)

Równania ruchu opisujące drgania wymuszone układu z rys. 1 mają postać:

0

)

(

2

2

1

2

1

1

1















k

k

k

B 



0

)

(

3

3

2

3

2

1

2

2

2



















k

k

k

k

B 



(2)

0

)

(

4

4

3

4

3

2

3

3

3



















k

k

k

k

B 



t

k

k

k

k

B



sin

)

(

5

4

5

4

3

4

4

4





















W równaniach tych pominięto tłumienie, które przy pracy układu w pobliżu częstości
rezonansowych nie wpływa w istotny sposób na relacje pomiędzy wartościami
amplitud.
Celem wyznaczenia częstości drgań własnych oraz postaci drgań należy przyjąć
prawe strony równań (2) równe zeru oraz założyć rozwiązania w postaci:

),

sin(

1

1













t

),

sin(

1

2

1

















t





i=1, 2, 3, 4

(3)

Czujnik

tachometru

Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych

Laboratorium Drgań Mechanicznych

3

otrzymuje się wówczas równanie częstości (4):

1

2

2

1

B

k

k







2

k



0

0

2

k



2

2

3

2

B

k

k







3

k



0

= 0

(4)

0

3

k



3

2

4

3

B

k

k







4

k



0

0

4

k



4

2

5

4

B

k

k







Do wyznaczania miejsc zerowych równania (4) zastosowano metodę Jacobiego.
W wyniku rozwiązania równania (4) otrzymuje się cztery dodatnie wartości częstości
drgań własnych układu:



Postacie drgań wyznacza się z równań otrzymanych z równań (2) po przyjęciu
prawych stron równych zero i po podstawieniu rozwiązań w postaci (3).

Całkę szczególną równania (2) wyznaczamy przewidując rozwiązanie w postaci:

t

D

i

i



sin





t

D

i

i





sin

2











i=1, 2, 3, 4

(5)

Podstawiając rozwiązania (5) do równań (2) oraz porównując współczynniki przy

t



sin

otrzymuje się układ równań algebraicznych w postaci:

0

)

(

2

2

1

1

2

2

1









D

k

D

B

k

k



0

)

(

3

3

2

2

2

3

2

1

2













D

k

D

B

k

k

D

k



(6)

0

)

(

4

4

3

3

2

4

3

2

3













D

k

D

B

k

k

D

k















5

4

4

2

5

4

3

3

)

(

k

D

B

k

k

D

k



stąd wartości amplitud:

W

W

D

2

2



W

W

D

1

1



W

W

D

3

3



W

W

D

4

4



4

3

2

1

,

,

,









DRGANIA SKRĘTNE UKŁADU O WIELU STOPNIACH SWOBODY

Laboratorium Drgań Mechanicznych

4

stosunki amplitud drgań wymuszonych wyrażają związki:

4

3

2

1

4

3

2

1

:

:

:

:

:

:

W

W

W

W

D

D

D

D



(7)

można łatwo wykazać, że dla częstości

i







mamy:

i

i

i

i

W

W

W

W

W

W

W

W

4

3

2

1

4

3

2

1

:

:

:

:

:

:



(8)

a więc:

i

i

i

i

D

D

D

D

4

3

2

1

4

3

2

1

:

:

:

:

:

:











(9)

Zatem przy drganiach wymuszonych układu z rysunku 1 amplitudy drgań przy
częstościach bliskich rezonansowym (

i







), odpowiadają postaciom drgań właściwym

odpowiedniej częstotliwości drgań swobodnych.
Obserwując więc konfigurację amplitud w pobliżu częstości rezonansowych możemy
wnioskować o postaciach drgań swobodnych układu.


4. Przebieg ćwiczenia



Zmierzyć średnice oraz grubości tarcz umieszczonych na wale, a następnie
obliczyć ich masowe momenty bezwładności;



Korzystając ze specjalnego przyrządu zmierzyć długości wszystkich odcinków
wału, a także ich średnice;



Zmieniając prędkość obrotową silnika za pomocą autotransformatora, odczytać z
tachometru kolejne cztery wartości prędkości przy których dominują odpowiednie
postacie drgań. Zaobserwować i wykreślić postacie drgań towarzyszące
częstościom rezonansowym (punkty węzłowe, maksymalne odkształcenia);



Za pomocą programu komputerowego obliczyć sztywności odcinków wału,
częstości drgań własnych oraz odpowiadające im postacie drgań. Wyniki zapisać
w protokole.

5. Zawartość sprawozdania



Cel ćwiczenia;



Przebieg ćwiczenia (w punktach);



Schemat stanowiska laboratoryjnego (z opisem);



Dane wejściowe do przeprowadzanego ćwiczenia;



Zestawienie zmierzonych c

zęstości rezonansowych oraz wykresy

zaobserwowanych postaci odkształceń wału;



Zestawienie wyników obliczeń;

Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych

Laboratorium Drgań Mechanicznych

5



Porównanie wyników doświadczalnych z wynikami teoretycznymi;



Sporządzony w trakcie ćwiczeń protokół;



Wnioski, spostrzeżenia i uwagi.