1
Drgania elektromagnetyczne
Drgania w obwodzie LC
C
Q
W
E
2
2
=
2
2
Li
W
B
=
1
Drgania elektromagnetyczne
Drgania w obwodzie LC
C
Q
W
E
2
2
=
2
2
Li
W
B
=
2
Opis ilo
ś
ciowy
0
=
+
C
L
U
U
(prawo Kirchhoffa)
0
=
+
C
Q
dt
dI
L
0
1
2
2
=
+
Q
LC
dt
Q
d
równanie drga
ń
w obwodzie LC
W obwodzie LC mamy do czynienia z oscylacjami (drganiami)
ładunku
(
pr
ą
du
).
Zmienia si
ę
zarówno warto
ść
jak i znak (kierunek) ładunku na kondensatorze i pr
ą
du
w obwodzie.
Równanie opisuj
ą
ce oscylacje ładunku ma identyczn
ą
posta
ć
jak równanie drga
ń
swobodnych masy zawieszonej na spr
ęŜ
ynie,
ładunek
Q
→
przesuni
ę
cie
x
;
indukcyjno
ść
L
→
masa
m
;
pojemno
ść
C
→
odwrotno
ść
współczynnika spr
ęŜ
ysto
ś
ci
1/k;
pr
ą
d
I = d Q /dt
→
pr
ę
dko
ść
v
= dx/dt
.
t
Q
Q
0
0
cos
ω
=
t
ω
I
t
ω
ω
Q
t
d
dQ
I
0
0
0
0
0
sin
sin
−
=
−
=
=
LC
1
0
=
ω
cz
ę
sto
ść
drga
ń
0
2
0
2
2
=
+
Q
dt
Q
d
ω
Napi
ę
cia chwilowe i pr
ą
d
w obwodzie:
t
C
Q
U
o
C
ω
cos
0
=
t
Q
Q
0
0
cos
ω
=
LC
1
0
=
ω
W obwodzie LC ładunek na kondensatorze, nat
ęŜ
enie pr
ą
du i napi
ę
cie zmieniaj
ą
si
ę
sinusoidalnie tak jak dla drga
ń
harmonicznych.
Mi
ę
dzy napi
ę
ciem i nat
ęŜ
eniem pr
ą
du istnieje ró
Ŝ
nica faz, równa
π
/2.
)
2
/
cos(
sin
0
0
0
0
π
+
=
−
=
t
ω
I
t
ω
I
I
3
Obwód szeregowy RLC
Ka
Ŝ
dy obwód ma pewien opór R (np. opór drutu z którego nawini
ę
to cewk
ę
).
Obecno
ść
oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielaj
ą
cego si
ę
ciepła.
Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tłumione analogiczne do
drga
ń
tłumionych spr
ęŜ
yny, przy czym współczynnik tłumienia
β
= R/2L.
0
=
+
+
IR
C
Q
dt
dI
L
0
2
2
0
2
2
=
+
+
Q
dt
dQ
dt
Q
d
ω
β
0
2
2
=
+
+
LC
Q
dt
dQ
L
R
dt
Q
d
t
e
Q
Q
t
ω
β
cos
0
−
=
2
2
0
β
ω
ω
−
=
małe
tłumienie
t
e
C
Q
U
t
c
ω
β
cos
0
−
=
Drgania w obwodzie RLC mo
Ŝ
na podtrzyma
ć
je
Ŝ
eli
obwód b
ę
dziemy zasila
ć
zmienn
ą
SEM ze
ź
ródła
zewn
ę
trznego wł
ą
czonego do obwodu.
t
ω
U
C
Q
RI
dt
dI
L
sin
0
=
+
+
)
sin(
)
(
0
ϕ
ω
+
=
t
Q
t
Q
t
ω
L
U
LC
Q
t
d
dQ
L
R
t
d
Q
d
sin
0
2
2
=
+
+
)
'
sin(
0
ϕ
ω
+
=
t
I
I
2
2
0
0
1
−
+
=
C
L
R
U
I
ω
ω
R
C
L
tg
ω
ω
ϕ
1
'
−
−
=
2
/
'
π
ϕ
ϕ
+
=
t
ω
α
x
ω
t
d
x
d
β
t
d
x
d
sin
2
0
2
0
2
2
=
+
+
)
sin(
)
(
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
)
2
/
sin(
)
cos(
)
(
0
0
π
ϕ
ω
ϕ
ω
ω
+
+
=
+
=
=
t
I
t
Q
dt
dQ
t
I
4
2
2
0
0
1
−
+
=
C
L
R
U
I
ω
ω
2
2
1
−
+
=
C
L
R
Z
ω
ω
Z pełni analogiczną rolę jak opór R w prawie
Ohma. Wielkość Z nazywamy zawadą
(impedancją) obwodu.
R
C
L
tg
ω
ω
ϕ
1
'
−
−
=
)
'
sin(
0
ϕ
ω
+
=
t
I
I
)
sin(
0
t
U
U
ω
=
R
Z
=
C
X
Z
C
ω
1
−
=
=
L
X
Z
L
ω
=
=
Rezonans
Drgania ładunku, pr
ą
du i napi
ę
cia w obwodzie odbywaj
ą
si
ę
z cz
ę
sto
ś
ci
ą
zasilania
ω
(cz
ę
sto
ś
ci
ą
wymuszaj
ą
c
ą
).
Analogicznie jak dla mechanicznych drga
ń
wymuszonych
amplituda tych drga
ń
zale
Ŝ
y od
ω
i osi
ą
ga maksimum dla
pewnej charakterystycznej warto
ś
ci tej cz
ę
sto
ś
ci.
Warunek rezonansu :
LC
1
0
=
=
ω
ω
Nat
ęŜ
enie pr
ą
du osi
ą
ga warto
ść
maksymaln
ą
R
U
I
0
0
=
Nat
ęŜ
enie pr
ą
du w obwodzie jest takie,
jak gdyby był w nim tylko opór
R
.
2
2
0
0
1
−
+
=
C
L
R
U
I
ω
ω
5
Moc w obwodzie pr
ą
du zmiennego
)
sin(
sin
)
(
)
(
)
(
0
0
ϕ
ω
ω
−
=
=
t
t
I
U
t
I
t
U
t
P
)
sin
2
sin
2
1
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
2
0
0
0
0
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
t
ω
t
ω
(
I
U
)
t
ω
t
ω
(
t
ω
I
U
P(t)
−
=
−
=
2
2 t
t
t
ω
ω
ω
sin
cos
sin
=
gdzie:
)
sin
2
sin
2
1
cos
sin
(
__________
__________
2
0
0
ϕ
ω
ϕ
ω
t
t
I
U
P
−
=
Moc
ś
rednia
1
2
2
=
+
t
t
ω
ω
cos
sin
2
1
2
2
=
=
t
t
ω
ω
cos
sin
0
2
=
t
ω
sin
ϕ
cos
2
0
0
I
U
P
=
Ś
rednia moc zale
Ŝ
y od przesuni
ę
cia
fazowego pomi
ę
dzy napi
ę
ciem i
pr
ą
dem.
R
C
L
tg
ω
ω
ϕ
1
'
−
=
Z
R
=
ϕ
cos
2
2
1
−
+
=
C
L
R
Z
ω
ω
i
ś
rednia moc tracona na oporze R
2
2
0
2
2
0
2
R
I
R
t
I
R
t
I
P
R
=
=
=
__________
________
sin
)
(
ω
U
0
= ZI
0
2
2
)
(
cos
2
2
0
0
0
0
0
R
I
Z
R
I
ZI
I
U
P
=
=
=
ϕ
moc
ś
rednia wydzielana w całym obwodzie
• Cała moc wydziela si
ę
na oporze R, na kondensatorze i cewce nie ma strat mocy.
•Gdy w obwodzie znajduje si
ę
tylko pojemno
ść
lub indukcyjno
ść
(nie ma oporu
omowego) to przesuniecie fazowe jest równe
π
/2, a poniewa
Ŝ
cos(
π
/2) = 0 to
ś
rednia moc jest równa zeru.
• Moc chwilowa zmienia si
ę
z czasem; raz jest dodatnia (energia jest gromadzona
w polu elektrycznym kondensatora lub magnetycznym cewki), a raz ujemna
(zgromadzona moc jest oddawana do
ź
ródła).
Z
C
L
ω
ω
ϕ
1
sin
−
=
i
6
R
I
P
2
=
dla pr
ą
du stałego
2
2
0
R
I
P
=
dla pr
ą
du zmiennego
warto
ść
skuteczna nat
ęŜ
enia pr
ą
du zmiennego
2
0
I
I
sk
=
Z porównania tych dwóch wyra
Ŝ
e
ń
wynika,
Ŝ
e moc
ś
rednia wydzielana przy
przepływie pr
ą
du zmiennego o amplitudzie I
0
jest taka sama jak pr
ą
du stałego
o nat
ęŜ
eniu:
2
0
U
U
sk
=
warto
ść
skuteczna napi
ę
cia zmiennego
Mierniki pr
ą
du zmiennego takie jak amperomierze i woltomierze odczytuj
ą
wła
ś
nie warto
ś
ci skuteczne.
Podobnie definiujemy napi
ę
cie skuteczne: