1

1

Przykład:

strumie

ń

pola

E

od ładunku punktowego Q w odległo

ś

ci r od niego

Rysujemy sfer

ę

o promieniu r wokół ładunku Q i liczymy strumie

ń

przechodz

ą

cych

przez t

ę

powierzchni

ę

.

Q

Pole E ma jednakow

ą

warto

ść

w ka

ż

dym punkcie

sfery i jest prostopadłe do powierzchni (

α

= 0)

0

2

2

2

4

)

4

(

)

4

(

ε

π

π

π

Q

kQ

r

r

Q

k

r

E

=

=













=

=

⋅

=

Φ

S

E

Otrzymany strumie

ń

nie zale

ż

y od r, a zatem strumie

ń

jest

jednakowy dla wszystkich r

2

Izolowany przewodnik

W izolatorze nadmiarowy ładunek mo

ż

e by

ć

rozmieszczony w całej jego obj

ę

to

ś

ci.

Ładunek rozmieszczony w przewodniku wytwarza pole elektryczne przemieszczaj

ą

ce

swobodne elektrony na powierzchni

ę

przewodnika dopóty, dopóki nie zniknie pole

wewn

ą

trz przewodnika.

Wtedy na ładunki nie działa ju

ż

siła i otrzymujemy statyczny rozkład ładunku.

0

d

=

∫

S

E

Wewn

ą

trz przewodnika

E

= 0

0

0

ε

.

wewn

Q

=

0

.

=

wewn

Q

Cały ładunek gromadzi si

ę

na powierzchni przewodnika

Prawo Gaussa - przykłady

2

3

Procedura obliczania pola

E

od symetrycznych rozkładów ładunków:

1. Trzeba okre

ś

li

ć

symetri

ę

pola

2. Wybra

ć

odpowiedni

ą

powierzchni

ę

Gaussa

3. Obliczy

ć

strumie

ń

przez t

ę

powierzchni

ę

Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana sfera (lub kula z
przewodnika)

∫

=

)

πr

E(

EdS

2

4

0

2

)

4

(

ε

π

Q

r

E

=

2

2

0

4

1

r

Q

k

r

Q

E

=

=

πε

Na zewn

ą

trz sfery tj. dla r > R pole jest takie jakby cały ładunek skupiony był w

ś

rodku sfery. Natomiast wewn

ą

trz sfery (r < R) Q

wewn.

= 0 wi

ę

c E

wewn.

= 0.

4

Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana kula (izolator)

2

.

r

Q

k

E

wewn

=

3

3

3

.

3

4

3

4













=

=

R

r

Q

R

r

Q

Q

wewn

π

π

2

3

0

4

1

r

R

r

Q

E













=

πε

r

R

Q

k

r

R

Q

E

3

3

0

4

1

=

=

πε

3

5

Liniowy rozkład ładunków

∫

=

0

ε

λ

h

dS

E

0

2

ε

λ

π

h

rh

E

=

r

E

0

2

πε

λ

=

0

2

ε

σ

S

S

E

=

0

2

ε

σ

=

E

Płaskie rozkłady ładunków

dS

dQ

σ

=

dl

dQ

λ

=

6

W praktyce stosuje si

ę

układ dwóch płaskich

równoległych płyt naładowanych ładunkami jednakowej
wielko

ś

ci ale o przeciwnych znakach (kondensator

płaski ).

0

0

0

2

2

ε

σ

ε

σ

ε

σ

=

+

=

E

0

2

2

0

0

=













−

+

=

ε

σ

ε

σ

E

0

2

2

0

0

=













−

+

=

ε

σ

ε

σ

E

po lewej stronie

po prawej stronie

pomi

ę

dzy płytami

Na zewn

ą

trz układu pole jest równe zeru a pomi

ę

dzy

płytami ma w ka

ż

dym punkcie stał

ą

warto

ść

σ

/

ε

0

.

Takie pole nazywamy polem jednorodnym.

4

7

Energia potencjalna i potencjał pola elektrycznego

Pole elektryczne jest polem zachowawczym (potencjalnym), wi

ę

c warto

ść

pracy

nie zale

ż

y od wyboru drogi pomi

ę

dzy punktami A i B.

∫

−

=

−

=

−

B

A

AB

pA

pB

d

W

E

E

r

F

F

)

(

∫

∫

−

=

−

=

B

A

pA

B

A

pA

pB

d

q

E

d

E

E

r

E

r

F

Potencjał elektryczny

Potencjał elektryczny to energia potencjalna
podzielona przez jednostkowy ładunek czyli

V = E

p

/q

:

∫

−

=

B

A

A

B

d

V

V

r

E

Jednostk

ą

potencjału elektrycznego jest wolt (V); 1 V = 1 J/C.

∫

∑

=

∆

=

→

∆

B

A

i

i

AB

d

W

i

r

F

r

F

r

F

0

)

(

lim

8

W fizyce posługujemy si

ę

cz

ę

sto poj

ę

ciem ró

ż

nicy potencjałów czyli napi

ę

ciem

U

.

Znak minus odzwierciedla fakt,

ż

e

potencjał maleje w kierunku
wektora

E

.

∫

−

=

−

=

B

A

A

B

d

V

V

U

r

E

Czyli energia potencjalna dla ładunku punktowego

q

umieszczonego w polu

ładunku

Q

wynosi:

r

qQ

k

(r)

E

p

=

r

Q

k

r

kQ

dr

r

Q

k

V

V(r)

r

r

=









−

−

=

−

∞

=

∞

∞

∫

'

1

'

'

)

(

2

1) Potencjał pola ładunku punktowego

Q

:

przyjmujemu,

ż

e:

0

)

(

=

∞

V

Przykłady:

5

9

2) Jednorodnie naładowana sfera

R

Q

k

r

kQ

dr

r

Q

k

V

V(r)

R

R

=









−

−

=

−

∞

=

∞

∞

∫

1

'

'

)

(

2

R

r

≥

r

Q

k

V(r)

=

10

Generator elektrostatyczny Van de Graaffa.

Elektrofor

6

11

dla N ładunków punktowych

i

i

i

i

i

r

r

Q

k

r

E

2

=

∑

=

=

N

i

i

1

E

E

r

l

E

E

=

1

3

3

2

1

r

p

k

r

Ql

k

r

Q

k

r

l

E

r

l

E

=

=













=

=

p = Q l

jest momentem dipolowym

Zasada superpozycji

Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, wypadkowe nat

ęż

enie

pola (sił

ę

wypadkow

ą

), obliczamy dodaj

ą

c wektorowo nat

ęż

enia pól od

pojedynczych ładunków.

Przykład:

dipol elektryczny

12

dla N ładunków punktowych

∑

∑

=

∧

=

=

=

N

i

i

i

N

i

i

r

Q

k

1

2

1

r

E

E

Zasada superpozycji – potencjał i nat

ęż

enie

Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, wypadkowy potencjał
pola (energi

ę

potencjaln

ą

), obliczamy dodaj

ą

c skalarnie potencjały pól od

pojedynczych ładunków.

i

∑

∑

=

=

=

=

N

i

i

i

N

i

i

r

Q

k

V

V

1

1

3

r

p

k

E

=

Przykład 1:

dipol elektryczny

0

=

−

=

r

q

k

r

q

k

V

oraz

7

13

Zasada superpozycji dla ci

ą

głego rozkładu ładunków (naładowane ciało):

dV

r

k

r

dQ

k

V

i

i

i

∫

∑

∧

∧

=

=

r

r

E

2

2

ρ

dV

dQ

ρ

=

g

ę

sto

ść

obj

ę

to

ś

ciowa, powierzchniowa, liniowa

dS

dQ

σ

=

dl

dQ

λ

=

α

dE

dE

x

cos

=

r

x

=

α

cos

r

Q

π

λ

2

=

2

r

dl

λ

k

dE

=

r

x

r

dl

λ

k

dE

x

2

=

2

3

2

2

3

3

2

)

R

(x

kxQ

πR)

(

r

x

kλ

dl

r

x

kλ

dE

E

E

x

x

+

=

=

=

=

=

∫

∫

2

1

2

2

2

)

R

(x

kQ

πR)

(

r

kλ

r

dl

λ

k

dV

V

+

=

=

=

=

∫

∫

dV

r

k

V

V

∫

=

ρ

Przykład 2:

naładowany pier

ś

cie

ń

14

pojemno

ść

kuli o promieniu R

V

Q

C

=

R

Q

k

V

=

R

k

R

C

0

4

πε

=

=

Przykłady:

kondensator płaski

0

ε

σ

=

E

l

El

d

U

B

A

0

ε

σ

=

=

−

=

∫

r

E

l

S

l

S

U

Q

C

El

U

0

0

ε

ε

σ

σ

=

=

=

=

Pojemno

ść

zale

ż

y od kształtu okładek, ich rozmiaru i wzajemnego poło

ż

enia

A

B

r