dt
d
m
dt
m
d
dt
)
d(m
v
v
v
F
+
=
=
=
=
=
=
=
const
dla
dt
m
d
const
m
dla
m
dt
d
m
v
v
F
a
v
F
⇒
ZWI
Ą
ZEK MIEDZY PODSTAWOWYMI WIELKO
Ś
CIAMI
t
d
d p
F
=
2
1
1
s
m
kg
N
=
Jednostk
ą
siły jest:
dt
dt
d
m
dt
m
d
dt
)
d(m
v
v
v
F
+
=
=
=
=
=
=
=
const
dla
dt
m
d
const
m
dla
m
dt
d
m
v
v
F
a
v
F
⇒
ZWI
Ą
ZEK MIEDZY PODSTAWOWYMI WIELKO
Ś
CIAMI
t
d
d p
F
=
2
1
1
s
m
kg
N
=
Jednostk
ą
siły jest:
dt
Dwa ciała o masach m
1
i m
2
przyciągają się wzajemnie siłą grawitacji wprost
proporcjonalną do iloczynu mas, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości
między nimi (tj. między ich środkami mas).
2
2
1
r
m
m
G
F
=
r
r
m
m
G
r
m
m
G
g
r
r
F
2
2
1
2
2
1
ˆ
−
=
−
=
lub wektorowo
Siła grawitacji
PRZYKŁADY SIŁ RZECZYWISTYCH
r
r
r
r
Masy m
1
i m
2
występującą we powyŜszym wzorze
nazywamy masami grawitacyjnymi.
Masa występująca w II zasadzie dynamiki
Newtona ( F=ma) to masa bezwładna.
Masa grawitacyjna jest źródłem oddziaływania
grawitacyjnego.
2
2
11
10
6754
.
6
−
−
×
=
kg
Nm
G
Siła grawitacji – masa grawitacyjna i bezwładna
Czy masa bezwładna i masa grawitacyjna ciała są sobie równe ???
Obliczamy przyspieszenia jakie uzyskuje masa
m (bezwładna)
spadająca swobodnie w
pobliŜu powierzchni Ziemi.
ma
Q
=
II zasada dynamiki Newtona mówi, Ŝe:
2
'
Z
Z
R
M
m
G
Q
=
Na masę
m’ (grawitacyjną)
działa siła cięŜkości:
II zasada dynamiki Newtona mówi, Ŝe:
m
m
R
M
G
a
Z
Z
'
2
=
Obliczamy przyspieszenie:
Masa grawitacyjna i bezwładna są sobie równe !!!
Doświadczalnie stwierdzono, Ŝe wszystkie ciała spadają (w próŜni) w pobliŜu Ziemi z tym
samym przyspieszeniem a = g.
const
m
m
=
'
dobierzmy G tak aby:
1
'
=
m
m
wtedy:
2
Z
Z
R
M
G
g
=
Siły kontaktowe
Gdy dwa ciała są dociskane do siebie to występują między nimi
siły kontaktowe
.
Źródłem tych sił jest odpychanie pomiędzy atomami, jest to siła elektromagnetyczna.
a
a
F
m
m
=
−
=
=
−
a
F
a
F
F
2
1
m
m
k
k
a
a
F
1
2
m
m
=
−
Siła kontaktowa
F
k
to siła z jaką klocek o masie m
1
działa na klocek o masie m
2
nadając mu przyspieszenie.
+
=
+
=
F
F
F
a
2
1
2
2
1
m
m
m
m
m
k
Siła tarcia to siła, która działa stycznie do powierzchni zetknięcia ciał i przeciwdziała
przesunięciu jednego ciała po drugim.
• Siłę tarcia działającą między nieruchomymi powierzchniami nazywamy
tarciem statycznym T
s
Prawa dotyczące tarcia:
- T
s (max)
(maksymale tarcie statyczne) jest w przybliŜeniu niezaleŜna od wielkości pola
powierzchni makroskopowego styku ciał (uwaga powierzchnia styku rzeczywistego moŜe być
nawet 10000 razy mniejsza),
- T
s (max)
jest proporcjonalna do siły z jaką jedna powierzchnia naciska na drugą.
Tarcie
N
s
s
F
T
f
(max)
=
Stosunek maksymalnej siły T
s(max)
do siły nacisku F
N
nazywamy
współczynnikiem tarcia statycznego f
s
Stosunek siły T
k
do siły nacisku F
N
nazywamy
współczynnikiem tarcia kinetycznego f
k
• Gdy ciało porusza się, to mamy do czynienia z siłą
tarcia kinetycznego T
k
Prawo:
T
k
nie zaleŜy od prędkości względnej poruszania się powierzchni.
N
k
k
F
T
f
=
Tarcie – przykład 1
Rodzaj powierzchni
f
s
f
k
Stal po stali
0.15
0.03- 0.09
Drewno po drewnie
0.54
0.34
Drewno po kamieniu
0.7
0.3
Stal po lodzie (np. łyŜwy)
0.027
0.014
Tarcie – przykład 2
Ciało o masie m spoczywa na równi pochyłej, której kąt nachylenia θ stopniowo zwiększamy.
Przy jakim granicznym kącie nachylenia ciało zacznie się zsuwać jeŜeli współczynnik
tarcia statycznego klocka o równię wynosi f
s
?
=
=
θ
θ
cos
sin
Q
N
Q
F
θ
cos
max
Q
f
T
s
=
θ
tg
f
s
<
θ
θ
sin
cos
max
Q
Q
f
F
T
s
<
⇒
<
ciało zsuwa się
Przykład zasady zachowania p
ę
du
-
napęd odrzutowy (ruch rakiety)
g
g
r
r
g
r
r
r
dm
d
dm
m
m
v
v
v
v
+
+
−
=
)
)(
(
prawo zachowania pędu
podstawiając:
gr
r
r
g
d
v
v
v
v
−
+
=
)
(
po prostych przekształceniach :
dm
d
m
=
gr
v
- prędkość gazu
względem rakiety
gr
g
r
r
dm
d
m
v
v
=
dzielimy przez dt :
gr
g
r
r
dt
dm
dt
d
m
v
v
=
gr
g
r
r
dt
dm
a
m
F
v
=
=
F -siła ciągu , dm
g
/dt – szybkość spalania
gazu, v
gr
- prędk. gazu wzgl. rakiety
Przykład zasady zachowania momentu p
ę
du
Ciało o masie m porusza się w płaszczyźnie poziomej po okręgu o promieniu r
1
(a). Prędkość
liniowa ciała wynosi v
1
. Ile razy zmieni się prędkość liniowa ciała, jeśli pociągając za sznurek
jak na rys (b) zmniejszymy promień okręgu do długości r
2
(b) . Zakładamy, Ŝe nie działa siła
grawitacji.
a)
1
1
v
r
m
L
m
=
=
1
1
v
r
L
x
1
1
v
r
⊥
const.
0
d
d
0
=
⇒
=
⇒
=
=
L
L
F
r
M
1
t
x
b)
siła F działa wzdłuŜ sznurka i zawsze prostopadle
do prędkości ciała , czyli:
F
r
1
||
2
2
1
1
v
v
r
m
r
m
L
=
=
1
2
1
2
v
v
r
r
=