dt

d

m

dt

m

d

dt

)

d(m

v

v

v

F

+

=

=












=

=

=

=

=

const

dla

dt

m

d

const

m

dla

m

dt

d

m

v

v

F

a

v

F

⇒

ZWI

Ą

ZEK MIEDZY PODSTAWOWYMI WIELKO

Ś

CIAMI

t

d

d p

F

=

2

1

1

s

m

kg

N

=

Jednostk

ą

siły jest:



dt

Dwa ciała o masach m

1

i m

2

przyciągają się wzajemnie siłą grawitacji wprost

proporcjonalną do iloczynu mas, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości
między nimi (tj. między ich środkami mas).

2

2

1

r

m

m

G

F

=

r

r

m

m

G

r

m

m

G

g

r

r

F

2

2

1

2

2

1

ˆ

−

=

−

=

lub wektorowo

Siła grawitacji

PRZYKŁADY SIŁ RZECZYWISTYCH

r

r

r

r

Masy m

1

i m

2

występującą we powyższym wzorze

nazywamy masami grawitacyjnymi.

Masa występująca w II zasadzie dynamiki
Newtona ( F=ma) to masa bezwładna.

Masa grawitacyjna jest źródłem oddziaływania
grawitacyjnego.

2

2

11

10

6754

.

6

−

−

×

=

kg

Nm

G

Siła grawitacji – masa grawitacyjna i bezwładna

Czy masa bezwładna i masa grawitacyjna ciała są sobie równe ???

Obliczamy przyspieszenia jakie uzyskuje masa

m (bezwładna)

spadająca swobodnie w

pobliżu powierzchni Ziemi.

ma

Q

=

II zasada dynamiki Newtona mówi, że:

2

'

Z

Z

R

M

m

G

Q

=

Na masę

m’ (grawitacyjną)

działa siła ciężkości:

II zasada dynamiki Newtona mówi, że:

m

m

R

M

G

a

Z

Z

'

2

=

Obliczamy przyspieszenie:

Masa grawitacyjna i bezwładna są sobie równe !!!

Doświadczalnie stwierdzono, że wszystkie ciała spadają (w próżni) w pobliżu Ziemi z tym
samym przyspieszeniem a = g.

const

m

m

=

'

dobierzmy G tak aby:

1

'

=

m

m

wtedy:

2

Z

Z

R

M

G

g

=

Siły kontaktowe

Gdy dwa ciała są dociskane do siebie to występują między nimi

siły kontaktowe

.

Źródłem tych sił jest odpychanie pomiędzy atomami, jest to siła elektromagnetyczna.

a

a

F

m

m

=

−







=

=

−

a

F

a

F

F

2

1

m

m

k

k

a

a

F

1

2

m

m

=

−

Siła kontaktowa

F

k

to siła z jaką klocek o masie m

1

działa na klocek o masie m

2

nadając mu przyspieszenie.













+

=

+

=

F

F

F

a

2

1

2

2

1

m

m

m

m

m

k

Siła tarcia to siła, która działa stycznie do powierzchni zetknięcia ciał i przeciwdziała
przesunięciu jednego ciała po drugim.

• Siłę tarcia działającą między nieruchomymi powierzchniami nazywamy

tarciem statycznym T

s

Prawa dotyczące tarcia:
- T

s (max)

(maksymale tarcie statyczne) jest w przybliżeniu niezależna od wielkości pola

powierzchni makroskopowego styku ciał (uwaga powierzchnia styku rzeczywistego może być
nawet 10000 razy mniejsza),
- T

s (max)

jest proporcjonalna do siły z jaką jedna powierzchnia naciska na drugą.

Tarcie

N

s

s

F

T

f

(max)

=

Stosunek maksymalnej siły T

s(max)

do siły nacisku F

N

nazywamy

współczynnikiem tarcia statycznego f

s

Stosunek siły T

k

do siły nacisku F

N

nazywamy

współczynnikiem tarcia kinetycznego f

k

• Gdy ciało porusza się, to mamy do czynienia z siłą

tarcia kinetycznego T

k

Prawo:
T

k

nie zależy od prędkości względnej poruszania się powierzchni.

N

k

k

F

T

f

=

Tarcie – przykład 1

Rodzaj powierzchni

f

s

f

k

Stal po stali

0.15

0.03- 0.09

Drewno po drewnie

0.54

0.34

Drewno po kamieniu

0.7

0.3

Stal po lodzie (np. łyżwy)

0.027

0.014

Tarcie – przykład 2

Ciało o masie m spoczywa na równi pochyłej, której kąt nachylenia θ stopniowo zwiększamy.
Przy jakim granicznym kącie nachylenia ciało zacznie się zsuwać jeżeli współczynnik
tarcia statycznego klocka o równię wynosi f

s

?







=

=

θ

θ

cos

sin

Q

N

Q

F

θ

cos

max

Q

f

T

s

=

θ

tg

f

s

<

θ

θ

sin

cos

max

Q

Q

f

F

T

s

<

⇒

<

ciało zsuwa się

Przykład zasady zachowania p

ę

du

-

napęd odrzutowy (ruch rakiety)

g

g

r

r

g

r

r

r

dm

d

dm

m

m

v

v

v

v

+

+

−

=

)

)(

(

prawo zachowania pędu

podstawiając:

gr

r

r

g

d

v

v

v

v

−

+

=

)

(

po prostych przekształceniach :

dm

d

m

=

gr

v

- prędkość gazu

względem rakiety

gr

g

r

r

dm

d

m

v

v

=

dzielimy przez dt :

gr

g

r

r

dt

dm

dt

d

m

v

v

=

gr

g

r

r

dt

dm

a

m

F

v

=

=

F -siła ciągu , dm

g

/dt – szybkość spalania

gazu, v

gr

- prędk. gazu wzgl. rakiety

Przykład zasady zachowania momentu p

ę

du

Ciało o masie m porusza się w płaszczyźnie poziomej po okręgu o promieniu r

1

(a). Prędkość

liniowa ciała wynosi v

1

. Ile razy zmieni się prędkość liniowa ciała, jeśli pociągając za sznurek

jak na rys (b) zmniejszymy promień okręgu do długości r

2

(b) . Zakładamy, że nie działa siła

grawitacji.

a)

1

1

v

r

m

L

m

=

=

1

1

v

r

L

x

1

1

v

r

⊥

const.

0

d

d

0

=

⇒

=

⇒

=

=

L

L

F

r

M

1

t

x

b)

siła F działa wzdłuż sznurka i zawsze prostopadle

do prędkości ciała , czyli:

F

r

1

||

2

2

1

1

v

v

r

m

r

m

L

=

=

1

2

1

2

v

v

r

r

=