MACIERZE
MACIERZE
Równość macierzy
3
2
T
A
x
f
d
b
e
c
a
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
Macierz transponowana (przestawiona)
Dwie macierze A = [ a
ik
] i B = [ b
ik
] tego samego wymiaru n x m
nazywamy równymi, jeżeli odpowiadające sobie wyrazy obu
macierzy są równe, tzn. a
ik
= b
ik
dla i = 1, 2, …, n, k = 1, 2, …, m.
Macierzą transponowaną nazywamy macierz, która powstaje
z danej macierzy przez zamianę wierszy na kolumny, bez
zmiany ich kolejności. Macierz transponowaną względem
macierzy A oznaczamy symbolem A
T
. Jeżeli A = [ a
ik
]
n
x m
to
A
T
= [ b
ik
]
m
x n
, gdzie b
ik
= a
ki
.
2
3
A
x
f
e
d
c
b
a
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Macierz zerowa
[
]
1 m
1 2
1 1
a
. . .
a
a
A
=
Macierz zerowa to taka, której wszystkie wyrazy są równe zero.
Macierz wierszowa (kolumnowa)
Macierz wierszowa (kolumnowa) to macierz o jednym wierszu
(jednej kolumnie).
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n 1
2 1
1 1
b
.
.
.
b
b
B
Macierz symetryczna
Macierz symetryczna to macierz kwadratowa, której wyrazy
rozmieszczone są symetrycznie względem głównej przekątnej.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
j
i
g
d
i
h
f
c
g
f
e
b
d
c
b
a
Macierz diagonalna (przekątna)
Macierz diagonalna to macierz
symetryczna, której wyrazy poza
główną przekątna są równe zero.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n n
2 2
1 1
a
. . .
0
0
.
. . .
.
.
0
. . .
a
0
0
. . .
0
a
Macierz jednostkowa
Macierz jednostkowa to macierz
diagonalna, której wyrazy na głównej
przekątnej są równe jeden.
A = [ a
ik
], gdzie a
ik
= 0, jeżeli i
≠ k;
a
ik
≠ 0, jeżeli i = k.
I = [ a
ik
], gdzie a
ik
= 0, jeżeli i
≠ k;
a
ik
= 1, jeżeli i = k.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
. . .
0
0
.
. . .
.
.
0
. . .
1
0
0
. . .
0
1
I
Macierz osobliwa
Macierzą osobliwą nazywamy macierz A, której wyznacznik
jest równy zero, |A| = 0.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
6
3-
1 0
-
5
A
Przykład:
Macierz nieosobliwa
Macierzą nieosobliwą nazywamy macierz A, której wyznacznik
jest różny od zera, |A|
≠ 0.
Dodawanie macierzy
Iloczyn macierzy przez liczbę
Dodawanie macierzy dotyczy macierzy o tym samym wymiarze:
A = [ a
ik
]
n
x m
, B = [ b
ik
]
n
x m
.
Iloczynem macierzy A = [ a
ik
]
m
x n
przez liczbę
α
nazywamy:
A + B = [a
ik
+ b
ik
]
n
x m
α
A = [
α
a
ik
]
m
x n
Iloczyn macierzy
Iloczynem macierzy A = [ a
ik
]
m
x r
i B = [ b
ik
]
r x n
nazywamy
macierz C = [ c
ik
]
m
x n
której wyrazy c
ik
są sumą iloczynów
wyrazów i – tego wiersza macierzy A przez k – tą kolumnę
macierzy
B.
c
ik
= a
i
1
b
1k
+ a
i
2
b
2k
+ . . . + a
ir
b
rk
∑
=
=
r
j
j k
i j
b
a
1
c
ik
i
-ty
wiersz
AB
→
A
k
–ta
kolumna
↓B
Przykład:
2
3
5
4
2-
3
2
1
A
x
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
3
2
2
0
1-
3
5
2
B
x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
4
⋅3+5 ⋅2
4
⋅5+5 ⋅0
4
⋅2+5 ⋅(-1)
5
4
3
⋅3+(-2) ⋅2
3
⋅5+(-2) ⋅0
3
⋅2+(-2)⋅(-1)
-2
3
1
⋅3+2 ⋅2
1
⋅5+2 ⋅0
1
⋅2+2 ⋅(-1)
2
1
2
0
-1
3
5
2
3
3
2 2
2 0
3
5
1 5
8
7
5
0
C
x
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Macierz odwrotna
Macierzą odwrotną A
-1
macierzy A nazywamy macierz, która
spełnia równości:
A
⋅A
-1
= I
A
-
1
⋅A = I
gdzie I to macierz jednostkowa.
Macierz dołączona
Macierz dołączona A
D
to macierz transponowana
(przestawiona) dopełnień algebraicznych wyrazów macierzy A.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n n
n
n
n
n
A
. . .
A
A
.
. . .
.
.
A
. . .
A
A
A
. . .
A
A
A
2
1
2
2 2
1 2
1
2 1
1 1
D
gdzie A
ik
to dopełniania algebraiczne
wyrazów a
ik
macierzy A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n n
n
n
n
n
a
. . .
a
a
.
. . .
.
.
a
. . .
a
a
a
. . .
a
a
A
2
1
2
2 2
2 1
1
1 2
1 1
Tw. 1
Jeżeli macierz kwadratowa A = [a
ik
] jest macierzą nieosobliwą
(|A|
≠0), to istnieje do niej dokładnie jedna macierz odwrotna A
-1
,
która jest równa macierzy dołączonej pomnożonej przez
odwrotność wyznacznika danej macierzy.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
A
A
. . .
A
A
A
A
.
. . .
.
.
A
A
. . .
A
A
A
A
A
A
. . .
A
A
A
A
A
A
1
A
2
1
2
2 2
1 2
1
2 1
1 1
D
1-
n n
n
n
n
n
Przykład:
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
3
6
3
1
1
1
1
2
4
5
4
2
1
6
4
3
1
6
5
3
2
1
1
2
1
2
1
3
1
2
1
3
2
1
1
5
4
2
1
6
4
2
1
6
5
M
i k
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
2
1
1
6
5
4
3
2
1
A
3
1 6
6
1 5
1 2
1 2
1 0
A
−
=
−
−
−
+
+
=
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3
6
3
1
1
1
1
2
4
M
︶
1
︵
M
︶
1
︵
M
︶
1
︵
M
︶
1
︵
M
︶
1
︵
M
︶
1
︵
M
︶
1
︵
M
︶
1
︵
M
︶
1
︵
A
3 3
3
3
3 2
2
3
3 1
1
3
2 3
3
2
2 2
2
2
2 1
1
2
1 3
3
1
1 2
2
1
1 1
1
1
i k
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
=
=
3
1
1
6
1
2
3
1
4
A
A
T
D
i k
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
=
1
3
1
3
1
2
3
1
3
2
1
3
1
3
4
A
A
1
A
D
1-