W
W
Y
Y
K
K
Ł
Ł
A
A
D
D
7
7
R
R
E
E
A
A
K
K
C
C
J
J
E
E
D
D
Y
Y
N
N
A
A
M
M
I
I
C
C
Z
Z
N
N
E
E
“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer
W
W
Y
Y
K
K
Ł
Ł
A
A
D
D
7
7
R
R
E
E
A
A
K
K
C
C
J
J
E
E
D
D
Y
Y
N
N
A
A
M
M
I
I
C
C
Z
Z
N
N
E
E
“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer
D
D
E
E
F
F
I
I
N
N
I
I
C
C
J
J
A
A
R
R
E
E
A
A
K
K
C
C
J
J
I
I
Napiszmy równanie ruchu dla dowolnego ośrodka ciągłego.
Reakcja
– to siła wywierana na ciało sztywne
kontaktujące się z płynącym ośrodkiem
ciągłym
Zmiana pędu jest konsekwencją działania siły.
dv
F
dt
To samo równanie dla składowej
k =1,2,3
ma postać:
k
k
i
k
ik
i
i
v
v
v
F
t
x
x
Wprowadźmy masę właściwą pod pochodną i przekształćmy
powyższe równanie wykorzystując fakt, że
k
i
i
v
v
0
t
x
k
k
ik
i
k
i
v
F
v v
t
x
Gdzie
k
v
nazywamy gęstością
k
-tej
składowej pędu
a
i
k
v v
składowymi tensora ilości ruchu.
Gdy p
rzyjmiemy, że ruch jest ustalony-
k
v
t
i siły zewnętrzne
możemy pominąć -
k
F
0
to otrzymamy:
ik
i
k
i
v v
0
x
A
0
A
1
A
2
n
Weźmy zamkniętą powierzchnię A,
składającą się z nieprzenikliwej
części A
0
i otworów A
1
, A
2
. Ośrodek
ciągły przepływa przez otwory
wywierając reakcję na część
nieprzenikliwą A
0
.
Będziemy szukać właśnie tej reakcji.
C
ałkujemy ostatnie równanie we wnętrzu powierzchni
0
1
2
A
A
A
A
i stosujemy twierdzenie Greena
– Gaussa –
Ostrogradskiego
0
1
2
i
ik
i
i
k
i
ik
i
i
k
A
A
A
0
n T
n v v
dA
n T
n v v
dA
Na A
0
i
i
n v
n v
0
,
bo ta część powierzchni jest nieprzenikliwa.
i
ik
n T
-
to siła powierzchniowa działająca na płyn.
Na A
0
od wewnątrz działa reakcja
0
1
2
k
i
ik
i
ik
i
i
k
A
A
A
R
n T dA
n T
n v v
dA
Dodatkowo, jeśli na zewnątrz panuje stałe ciśnienie p
0
, to na
powierzchnię A
0
działa od zewnątrz siła ciśnieniowa
0
k
0
A
n p dA
Gdy dodamy reakcję wewnętrzną i siłę zewnętrzną ciśnieniową
dostaniemy:
W otworach
A
1
i A
2
pomijamy składową styczną siły
powierzchniowej. W
tedy nasze równanie upraszcza się do
postaci:
1
2
1
2
k
i
i k
i k
0
i
i
k
A
A
A
A
R
n T
p
dA
n v v dA
1
2
1
2
k
k
0
i
i
k
A
A
A
A
R
n
p
p
dA
n v v dA
Równanie w formie wektorowej:
1
2
1
2
k
0
A
A
A
A
R
n v v dA
n p
p
dA
Aby obliczyć siłę reakcji, z jaką działa płynący
płyn na kontaktujące się z nim ciało sztywne,
wystarczy znać
prędkość oraz ciśnienie na wlotach i wylotach
powierzchni danego ciała.
P
P
R
R
Z
Z
Y
Y
K
K
Ł
Ł
A
A
D
D
1
1
Z silnika rakietowego, pracującego w próżni, wypływa w ciągu
sekundy
m
gazu z prędkością
U
. Ciśnienie w strumieniu
≈ 0
.
Policzyć reakcję płynu.
n
0
p
0
Wybieramy powierzchnię zamkniętą jak
na szkicu.
Reakcja:
x
Awylot
R
U UdA
UA U
mU
Znak „-” oznacza przeciwne zwroty
prędkości wypływu i reakcji
x
P
P
R
R
Z
Z
Y
Y
K
K
Ł
Ł
A
A
D
D
2
2
W cieczy panuje ciśnienie
p
0
. Otwarto naczynie, w którym
ciśnienie jest niższe i wynosi
p
. Znaleźć reakcję płynu na
naczynie.
x
0
p
0
p
p
0
p
p
n
v
Znajdujemy prędkość w otworze wlotowym. W tym celu
piszemy równanie Bernoulliego
n v
v
wlot
wlot
2
x
0
A
A
0
0
0
0
R
v n v
dA
p p dA
v A
(p p )A
2(p
p)A (p
p)A
(p
p)A
2
2
0
0
2 p
p
p
p
v
0
v
2