W

W

Y

Y

K

K

Ł

Ł

A

A

D

D

7

7

R

R

E

E

A

A

K

K

C

C

J

J

E

E

D

D

Y

Y

N

N

A

A

M

M

I

I

C

C

Z

Z

N

N

E

E

“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer

D

D

E

E

F

F

I

I

N

N

I

I

C

C

J

J

A

A

R

R

E

E

A

A

K

K

C

C

J

J

I

I

Napiszmy równanie ruchu dla dowolnego ośrodka ciągłego.

Reakcja

– to siła wywierana na ciało sztywne

kontaktujące się z płynącym ośrodkiem

ciągłym

Zmiana pędu jest konsekwencją działania siły.

dv

F

dt







 

To samo równanie dla składowej

k =1,2,3

ma postać:

k

k

i

k

ik

i

i

v

v

v

F

t

x

x



































Wprowadźmy masę właściwą pod pochodną i przekształćmy

powyższe równanie wykorzystując fakt, że





k

i

i

v

v

0

t

x





































k

k

ik

i

k

i

v

F

v v

t

x





















Gdzie

k

v



nazywamy gęstością

k

-tej

składowej pędu

a

i

k

v v



składowymi tensora ilości ruchu.

Gdy p

rzyjmiemy, że ruch jest ustalony-





k

v

t







i siły zewnętrzne

możemy pominąć -

k

F

0



to otrzymamy:





ik

i

k

i

v v

0

x











A

0

A

1

A

2

n

Weźmy zamkniętą powierzchnię A,
składającą się z nieprzenikliwej
części A

0

i otworów A

1

, A

2

. Ośrodek

ciągły przepływa przez otwory
wywierając reakcję na część
nieprzenikliwą A

0

.

Będziemy szukać właśnie tej reakcji.

C

ałkujemy ostatnie równanie we wnętrzu powierzchni

0

1

2

A

A

A

A







i stosujemy twierdzenie Greena

– Gaussa –

Ostrogradskiego









0

1

2

i

ik

i

i

k

i

ik

i

i

k

A

A

A

0

n T

n v v

dA

n T

n v v

dA



































Na A

0

i

i

n v

n v

0

 



,

bo ta część powierzchni jest nieprzenikliwa.

i

ik

n T

-

to siła powierzchniowa działająca na płyn.

Na A

0

od wewnątrz działa reakcja





0

1

2

k

i

ik

i

ik

i

i

k

A

A

A

R

n T dA

n T

n v v

dA













 











Dodatkowo, jeśli na zewnątrz panuje stałe ciśnienie p

0

, to na

powierzchnię A

0

działa od zewnątrz siła ciśnieniowa

0

k

0

A

n p dA





Gdy dodamy reakcję wewnętrzną i siłę zewnętrzną ciśnieniową
dostaniemy:

W otworach

A

1

i A

2

pomijamy składową styczną siły

powierzchniowej. W

tedy nasze równanie upraszcza się do

postaci:









1

2

1

2

k

i

i k

i k

0

i

i

k

A

A

A

A

R

n T

p

dA

n v v dA









 

















1

2

1

2

k

k

0

i

i

k

A

A

A

A

R

n

p

p

dA

n v v dA







 









Równanie w formie wektorowej:









1

2

1

2

k

0

A

A

A

A

R

n v v dA

n p

p

dA







 











Aby obliczyć siłę reakcji, z jaką działa płynący

płyn na kontaktujące się z nim ciało sztywne,

wystarczy znać

prędkość oraz ciśnienie na wlotach i wylotach

powierzchni danego ciała.

P

P

R

R

Z

Z

Y

Y

K

K

Ł

Ł

A

A

D

D

1

1

Z silnika rakietowego, pracującego w próżni, wypływa w ciągu
sekundy

m

gazu z prędkością

U

. Ciśnienie w strumieniu

≈ 0

.

Policzyć reakcję płynu.

n

0

p

0



Wybieramy powierzchnię zamkniętą jak
na szkicu.

Reakcja:





x

Awylot

R

U UdA

UA U

mU





 



 

 



Znak „-” oznacza przeciwne zwroty
prędkości wypływu i reakcji

x

P

P

R

R

Z

Z

Y

Y

K

K

Ł

Ł

A

A

D

D

2

2

W cieczy panuje ciśnienie

p

0

. Otwarto naczynie, w którym

ciśnienie jest niższe i wynosi

p

. Znaleźć reakcję płynu na

naczynie.

x

0

p

0

p

p



0

p

p

n

v

Znajdujemy prędkość w otworze wlotowym. W tym celu
piszemy równanie Bernoulliego

n v

v

  









wlot

wlot

2

x

0

A

A

0

0

0

0

R

v n v

dA

p p dA

v A

(p p )A

2(p

p)A (p

p)A

(p

p)A





 









 





















2

2

0

0

2 p

p

p

p

v

0

v

2









  



