1

Przykład:

liczenie momentu bezwładno

ś

ci pr

ę

ta o masie M i długo

ś

ci L.

Moment bezwładno

ś

ci elementu

o masie dm wynosi x

2

dm

∫

∑

−

=

=

2

/

2

/

2

2

d

d

L

L

i

i

i

m

x

m

x

I

x

L

m

m

c

d

d

=

je

ż

eli pr

ę

t ma stał

ą

g

ę

sto

ść

:

12

3

d

2

2

/

2

/

3

2

/

2

/

2

L

m

x

L

m

x

x

L

m

I

c

L

L

c

L

L

c

=

=

=

−

−

∫

Ruch post

ę

powy

Ruch obrotowy

2

2

1

d

d

v

m

E

m

t

m

m

k

=

=

=

=

a

F

p

F

F

v

p

a,

v,

r,

2

2

1

d

d

,

Iω

E

I

t

Ι

I

k

=

=

=

×

=

=

×

=

ε

M

L

M

F

r

M

ω

L

p

r

L

ε,

ω,

,

ϕϕϕϕ

przypadek szczególny,

L

||

ω

ω

ω

ω

oraz

M

||

εεεε

Analogie ruchu obrotowego do ruchu post

ę

powego

2

Przykład ruchu (1): Wahadło fizyczne

moment siły
powoduj

ą

cy

ruch:

2

2

d

d

t

I

I

M

θ

ε

=

=

θ

θ

sin

d

d

2

2

mgd

t

I

−

=

θ

sin

d

mg

M

−

=

II zasada dynamiki
Newtona dla bryły
sztywnej:

czyli:

dla małych wychyle

ń

θ

:

0

d

d

2

2

=

+

θ

θ

I

mgd

t

poniewa

ż

:

θ

θ

≈

sin

rozwi

ą

zanie równania oscylatora drga

ń

harmonicznych:

)

cos(

)

(

0

0

ϕ

ω

θ

θ

+

=

t

t

I

mgd

=

0

ω

mgd

I

T

π

2

=

0

d

d

2

0

2

2

=

+

θ

ω

θ

t

PRZYKŁADY RUCHU BRYŁY SZTYWNEJ

Przykład ruchu (2): Toczenie si

ę

(bez po

ś

lizgu) po równi pochyłej

– równania ruchu

Toczenie bez po

ś

lizgu:

R

a

ε

=

ma

T

mg

=

−

θ

sin

ruch post

ę

powy

ruch obrotowy

R

a

I

I

RT

M

SM

SM

=

=

=

ε

.

θ

sin

3

2

g

a

=

np. dla walca:

2

/

sin

R

I

m

mg

a

SM

+

=

θ

3

Przykład ruchu (3): Toczenie si

ę

(bez po

ś

lizgu) po równi pochyłej

– równania ruchu

ruch post

ę

powy

ruch obrotowy

2

2

1

SM

kp

m

E

v

=

R

ω

=

v

2

2

1

ω

I

E

SM

ko

=

2

2

2

1

2

1

ω

SM

SM

I

m

mgh

+

=

v

Toczenie bez po

ś

lizgu

np. dla walca

Z zasady zachowania energii

gh

SM

3

4

=

v

2

/

2

R

I

m

mgh

SM

SM

+

=

v

Znajd

ź

przyspieszenie liniowe klocka o masie m, przyspieszenie k

ą

towe

bloczka oraz napr

ęż

enie nici. Dane s

ą

masa bloczka M i jego promie

ń

R. (Wszelkie

opory i tarcie pomijamy).

2

2

1

MR

Moment bezwładno

ś

ci bloczka wynosi

M

m

m

g

M

m

mg

R

I

m

mg

a

+

=

+

=

+

=

2

2

2

2

M

m

mM

g

N

+

=

2

M

m

m

R

g

+

=

2

2

ε

Ruch postępowy

Ruch obrotowy

ε

I

RN

M

wyp

=

=

ma

N

mg

F

wyp

=

−

=

R

a

=

ε

związek miedzy ruchem

postępowym i obrotowym

II zasada

dynamiki

Newtona

Przykład:

4

const.

0

d

d

=

⇒

=

=

L

L

M

t

const.

=

=

ω

ωω

ω

Ι

L

KONSEKWENCJE ZASADY ZACHOWANIA
MOMENTU PĘDU I DRUGIEJ ZASADY DYNAMIKI
DLA RUCHU OBROTOWEGO

2. Stała wymuszona o

ś

obrotu

const.

≠

L

const.

d

d

≠

=

t

L

M

Obrót pręta wokół osi nieswobodnej (po lewej) i swobodnej (po prawej)

Obrót wokół osi nieswobodnej: Gdy za pomocą łożysk ustalimy w przestrzeni oś obrotu (narzucimy
na nią więzy), wektor momentu pędu będzie dążył do zmiany orientacji; spowoduje to powstanie sił
oddziaływania między osią a łożyskami. Momenty sił reakcji łożysk spowodują precesję wektora L.
Obrót wokół osi swobodnej: Nie potrzeba łożysk ponieważ momenty sił są zerowe.

W układzie obracającym się siła odśrodkowa dąży do rozmieszczenia masy jak najdalej od osi
obrotu (maksymalny moment bezwładności). Stabilny jest stan odpowiadający zerowemu
momentowi sił odśrodkowych a tym samym zerowym siłom reakcji łożysk.

5

g

r

M

m

×

=

θ

θ

ϕ

ω

sin

1

sin

L

M

t

L

L

t

p

=

∆

∆

≅

∆

∆

=

∆

t

∆

L

M

=

θ

ω

sin

L

M

p

=

Zjawisko precesji momentu magnetycznego jest podstaw

ą

ró

ż

nych technik

do

ś

wiadczalnych jak np. magnetyczny rezonans j

ą

drowy (NMR)

Precesja b

ą

ka pod wpływem siły ci

ęż

ko

ś

ci

3. Precesja pod wpływem działaj

ą

cego momentu siły

kolejka

ω

ω

I

mgr

L

mgr

p

=

=

θ

sin

mgr

M

=

Precesja osi Ziemi spowodowana momentem siły grawitacyjnej

Ziemia nie jest b

ą

kiem swobodnym.

Niejednorodno

ś

ci pola grawitacyjnego w

którym si

ę

porusza (niezerowy moment sił

grawitacji) powoduj

ą

precesj

ę

astronomiczn

ą

wektora momentu p

ę

du (w przybli

ż

eniu

równoległ

ą

do osi obrotu Ziemi

*

). Okres

precesji wynosi ok. 26 000 lat.

Dodatkowo pole grawitacyjne zmienia si

ę

w

czasie (wpływ Ksi

ęż

yca) co powoduje nutacj

ę

.

*

uwaga w punkcie 1. opisano niewielk

ą

precesj

ę

osi obrotu Ziemi wokół kierunku wektora

momentu p

ę

du (

Ziemia nie jest idealna kulą i nie obraca się wokół osi głównej)

6

g

r

M

m

×

=

θ

θ

ϕ

ω

sin

1

sin

L

M

t

L

L

t

p

=

∆

∆

≅

∆

∆

=

∆

t

∆

L

M

=

θ

ω

sin

L

M

p

=

Zjawisko precesji momentu magnetycznego jest podstaw

ą

ró

ż

nych technik

do

ś

wiadczalnych jak np. magnetyczny rezonans j

ą

drowy (NMR)

Precesja b

ą

ka pod wpływem siły ci

ęż

ko

ś

ci

3. Precesja pod wpływem działaj

ą

cego momentu siły

kolejka

ω

ω

I

mgr

L

mgr

p

=

=

θ

sin

mgr

M

=

Rower