1

Ruch bryły sztywnej,

dynamika ruchu obrotowego

OPIS RUCHU BRYŁY SZTYWNEJ

Brył

ą

sztywna nazywamy zbiór punktów materialnych (niesko

ń

czenie wielu),

których wzajemne poło

ż

enie nie zmienia si

ę

pod wpływem działaj

ą

cych sił.

c

n

i

i

m

m

∑

=

∆

=

1

i

sm

r

R

c

m

dm

∫

=

r

R

sm

-dla układu punktów materialnych

-dla bryły sztywnej

m

m

=

i

N

=1

i

i

N

=1

i

∑

∑

r

R

i

sm

.

1

zewn

n

i

i

sm

M

F

F

a

=

=

∑

=

Ruch bryły sztywnej mo

ż

na rozło

ż

y

ć

na:

ruch post

ę

powy

ś

rodka masy i ruch obrotowy

Ś

rodek masy układu punktów materialnych porusza si

ę

w taki sposób, jakby cała masa

układu była skupiona w

ś

rodku masy i jakby wszystkie siły zewn

ę

trzne na

ń

działały.

Ruch post

ę

powy:

Ś

rodek masy:

2

Ruch obrotowy (przypadek szczególny L||

ω

ω

ω

ω

)

Dla elementarnej masy

∆

m

i

:

i

i

i

F

r

M

×

=

i

i

i

p

r

L

×

=

- moment p

ę

du:

- moment siły:

t

i

i

d

d L

M

=

i

i

i

i

ω

r

ω

r

⊥

=

=

θ

sin

v

Ruch obrotowy (przypadek szczególny L||

ω

ω

ω

ω

)

Dla elementarnej masy

∆

m

i

:

i

i

i

F

r

M

×

=

i

i

i

p

r

L

×

=

- moment p

ę

du:

- moment siły:

t

i

i

d

d L

M

=

moment
bezwładno

ś

ci:

∑

∆

=

⊥

i

m

r

I

i

i

2

∫

=

m

r

I

d

2

ω

L

Ι

=

ω

ω

θ

θ

θ













∆

=

∆

=

∆

=

=

∆

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

⊥

⊥

⊥

⊥

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

m

r

r

r

m

r

m

r

m

p

r

L

L

L

2

||

)

(

sin

sin

sin

v

v

Dla całej bryły - obrót wokół osi (zakładaj

ą

c L||

ω

ω

ω

ω

):

i

i

ω

r

⊥

=

v

3

Ruch obrotowy ogólnie

Dla ka

ż

dej bryły sztywnej mo

ż

na zdefiniowa

ć

trzy prostopadłe osie, zwane głównymi

osiami bezwładno

ś

ci.

• Moment bezwładno

ś

ci ciała wzgl

ę

dem jednej z tych osi jest maksymalny, wzgl

ę

dem

drugiej jest minimalny, za

ś

wzgl

ę

dem trzeciej – ma warto

ść

po

ś

redni

ą

: I

I

≥

I

II

≥

I

III

,

• Je

ś

li ciało ma kształt symetryczny główne osie bezwładno

ś

ci s

ą

tak

ż

e osiami symetrii

ciała.









































=





















⇔

=

z

y

x

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

z

y

x

I

I

I

I

I

I

I

I

I

L

L

L

ω

ω

ω

ω

I

L

ˆ

ω

L ||

ogólnie gdy:

z

zz

y

zy

x

zx

z

z

yz

y

yy

x

yx

y

z

xz

y

xy

x

xx

x

I

I

I

L

I

I

I

L

I

I

I

L

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

+

=

+

+

=

+

+

=

Ruch obrotowy wokół osi głównych

1)

W ogólnym przypadku L nie jest równoległy
do

ω

ω

ω

ω

.

2) L jest równoległy do

ω

ω

ω

ω

wówczas, gdy osią

obrotu jest jedna z głównych osi
bezwładności (wtedy:

gdzie

I

jest

wartością skalarną).

ω

L

Ι

=

Kiedy L jest równoległy do

ω

ω

ω

ω

?









































=





















⇔

=

z

y

x

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

z

y

x

I

I

I

I

I

I

I

I

I

L

L

L

ω

ω

ω

ω

I

L

ˆ









































=





















'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

0

0

0

0

0

0

z

y

x

z

z

y

y

x

x

z

y

x

I

I

I

L

L

L

ω

ω

ω

Transformujemy tensor do układu, którego osie współrz

ę

dnych (x’,y’,z’) s

ą

równoległe

do osi głównych bezwładno

ś

ci:

Iˆ

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

z

z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

x

I

L

I

L

I

L

ω

ω

ω

=

=

=

4

Przykład:

liczenie momentu bezwładno

ś

ci pr

ę

ta o masie M i długo

ś

ci L.

Moment bezwładno

ś

ci elementu

o masie dm wynosi x

2

dm

x

L

m

m

c

d

d

=

je

ż

eli pr

ę

t ma stał

ą

g

ę

sto

ść

:

12

d

d

d

2

2

/

2

/

2

2

/

2

/

2

2

L

m

x

x

L

m

m

x

m

x

I

c

L

L

c

L

L

i

i

i

∫

∫

∑

−

−

=

=

=

=

5

Przykładowe momenty bezwładno

ś

ci wokół osi głównych

2

d

m

Ι

Ι

c

S

+

=

Twierdzenie Steinera:

6

Ruch obrotowy (przypadek szczególny L||

ω

ω

ω

ω

i M||

ω

ω

ω

ω

)

t

d

d L

M

=

II zas. dynamiki Newtona dla
ruchu obrotowego ogólnie
spełniona

ε

ω

ω

L

M

I

t

I

t

I

t

=

=

=

=

d

d

d

)

d(

d

d

ε

M

I

=

Je

ś

li:

to:

ω

M ||

ω

L

Ι

=

oraz

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

2

2

2

2

2

1

)

(

2

1

2

1

ω

∆

ω

∆

∆

∑

∑

∑













=

=

=

⊥

⊥

i

i

i

i

i

i

i

i

i

k

r

m

r

m

m

E

v

2

2

1

ω

I

E

k

=

•przypadek szczególny, gdy wektor

ω

ω

ω

ω

jest równoległy do

jednej z osi głównych bezwładno

ś

ci (czyli

L

||

ω

ω

ω

ω

):

7

Ruch post

ę

powy

Ruch obrotowy

2

2

1

d

d

v

m

E

m

t

m

m

k

=

=

=

=

a

F

p

F

F

v

p

a,

v,

r,

2

2

1

d

d

,

Iω

E

I

t

Ι

I

k

=

=

=

×

=

=

×

=

ε

M

L

M

F

r

M

ω

L

p

r

L

ε,

ω,

,

ϕϕϕϕ

przypadek szczególny,

L

||

ω

ω

ω

ω

oraz

M

||

εεεε

Analogie ruchu obrotowego do ruchu post

ę

powego - uzupełnienie

Znajd

ź

przyspieszenie liniowe klocka o masie m, przyspieszenie k

ą

towe

bloczka oraz napr

ęż

enie nici. Dane s

ą

masa bloczka M i jego promie

ń

R. (Wszelkie

opory i tarcie pomijamy).

2

2

1

MR

Moment bezwładno

ś

ci bloczka wynosi

M

m

m

g

R

I

m

mg

a

+

=

+

=

2

2

2

M

m

mM

g

R

I

N

+

=

=

2

ε

M

m

m

R

g

+

=

2

2

ε

Ruch postępowy

Ruch obrotowy

ε

I

RN

M

wyp

=

=

ma

N

mg

F

wyp

=

−

=

R

a

=

ε

związek miedzy ruchem

postępowym i obrotowym

II zasada

dynamiki

Newtona

Przykład (1):

ma

R

I

mg

=

−

ε

ma

R

Ia

mg

=

−

2

PRZYKŁADY RUCHU BRYŁY SZTYWNEJ

8

Przykład ruchu (3): Toczenie si

ę

(bez po

ś

lizgu) po równi pochyłej

– równania ruchu

Toczenie bez po

ś

lizgu:

R

a

ε

=

ma

T

mg

=

−

θ

sin

ruch post

ę

powy

ruch obrotowy

R

a

I

I

RT

M

SM

SM

=

=

=

ε

.

θ

sin

3

2

g

a

=

np. dla walca:

2

/

sin

R

I

m

mg

a

SM

+

=

θ

2

R

a

I

T

SM

=

Przykład ruchu (4): Toczenie si

ę

(bez po

ś

lizgu) po równi pochyłej

– zasada zachowania energii

ruch post

ę

powy

ruch obrotowy

2

2

1

SM

kp

m

E

v

=

R

ω

=

v

2

2

1

ω

I

E

SM

ko

=

2

2

2

1

2

1

ω

SM

SM

I

m

mgh

+

=

v

Toczenie bez po

ś

lizgu

np. dla walca

Z zasady zachowania energii

gh

SM

3

4

=

v

2

/

2

R

I

m

mgh

SM

SM

+

=

v

9

const.

0

d

d

=

⇒

=

=

L

L

M

t

const.

=

=

ω

ωω

ω

Ι

L

KONSEKWENCJE ZASADY ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU I DRUGIEJ

ZASADY DYNAMIKI DLA RUCHU OBROTOWEGO

1. Przykład - stołek obrotowy

2. Stała wymuszona o

ś

obrotu

const.

≠

L

const.

d

d

≠

=

t

L

M

Obrót pręta wokół osi nieswobodnej (po lewej) i swobodnej (po prawej)

Obrót wokół osi nieswobodnej: Gdy za pomocą łożysk ustalimy w przestrzeni oś obrotu (narzucimy
na nią więzy), wektor momentu pędu będzie dążył do zmiany orientacji; spowoduje to powstanie sił
oddziaływania między osią a łożyskami. Momenty sił reakcji łożysk spowodują precesję wektora L.
Obrót wokół osi swobodnej: Nie potrzeba łożysk ponieważ momenty sił są zerowe.

W układzie obracającym się siła odśrodkowa dąży do rozmieszczenia masy jak najdalej od osi
obrotu (maksymalny moment bezwładności). Stabilny jest stan odpowiadający zerowemu
momentowi sił odśrodkowych, a tym samym zerowym siłom reakcji łożysk.

10

g

r

M

m

×

=

θ

θ

ϕ

ω

sin

1

sin

L

M

t

L

L

t

p

=

∆

∆

≅

∆

∆

=

∆

t

∆

L

M

=

θ

ω

sin

L

M

p

=

Precesja b

ą

ka pod wpływem siły ci

ęż

ko

ś

ci

3. Precesja pod wpływem działaj

ą

cego momentu siły

kolejka

ω

ω

I

mgr

L

mgr

p

=

=

θ

sin

mgr

M

=

Precesja osi Ziemi spowodowana momentem siły grawitacyjnej

Ziemia nie jest b

ą

kiem swobodnym.

Niejednorodno

ś

ci pola grawitacyjnego w

którym si

ę

porusza (niezerowy moment sił

grawitacji) powoduj

ą

precesj

ę

astronomiczn

ą

wektora momentu p

ę

du (w przybli

ż

eniu

równoległ

ą

do osi obrotu Ziemi

*

). Okres

precesji wynosi ok. 26 000 lat.

Dodatkowo pole grawitacyjne zmienia si

ę

w

czasie (wpływ Ksi

ęż

yca) co powoduje nutacj

ę

.

11

Rower

Ż

yroskop

Je

ś

li

ż

yroskop jest w równowadze przy L = 0 to

b

ę

dzie tak

ż

e w równowadze dla L

≠

0.

Jak zachowa si

ę

ż

yroskop gdy zwi

ę

kszymy lub

zmniejszymy przeciwwag

ę

?

kompas

horyzont

Cz

ę

sto

ść

precesji

(podobnie jak dla
b

ą

ka):

o

90

=

θ

jest proporcjonalna do
odj

ę

tej/ dodanej masy m.

ω

ω

I

mgr

L

mgr

p

=

=

12

Żyroskop - sztuczny horyzont.

UZUPEŁNIENIE – WYJA

Ś

NIENIE DEMONSTRACJI