ruch bryły sztywnej
/
1
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
Ciałem sztywnym nazywamy taki układ, w którym
wszystkie punkty mają stałe położenie względem siebie.
Ruch ciała sztywnego można przedstawić jako sumę
ruchu postępowego i ruchu obrotowego.
STOPNIE SWOBODY
Ilość stopni swobody (ilość możliwych niezależnych
ruchów) bryły sztywnej
f = 3 + 2 + 1 = 6
Jeżeli na ruch ciała nałożymy pewne ograniczenia -
więzy to ruch jego będzie ruchem nieswobodnym a
liczba stopni swobody:
f = 6 – p
gdzie p jest liczbą niezależnych równań więzów.
Istnienie więzów prowadzi do pojawienia się sił reakcji
Stała siła:
i
p
i
p
i
F
r
M
×
=
P
O
0
i
r
P
i
r
i
F
P
i
ruch bryły sztywnej
/
2
UKŁADY SIŁ RÓWNOWAŻNYCH
Jeżeli dla dwóch układów sił (A i B) spełnione są warunki
→
=
=
∑
∑
F
F
F
B
i
i
A
i
i
)
(
)
(
→
∑
∑
=
=
M
M
M
i
B
i
i
A
i
)
(
)
(
liczone względem pewnego punktu P to są spełnione również
dla dowolnego innego punktu
układy są równoważne.
Dla punktu O odległego o odcinek OP od punktu P:
P
i
O
i
r
OP
r
+
=
P
i
P
i
i
i
i
O
i
O
M
F
OP
F
r
F
OP
F
r
M
+
×
=
×
+
×
=
×
=
∑
∑
∑
Równoważne układy sił powodują taki sam ruch.
Jeżeli
→
F
= 0 to
→
O
M
=
→
P
M
Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych znika, to wówczas
momenty całkowite są równe względem wszystkich
punktów.
Przykład: para sił – dwie siły o tej samej wartości,
przeciwnie skierowane i nie leżące na jednej prostej.
F
r
F
r
M
×
=
×
=
⊥
r
- ramię pary
F
F
−
r
ruch bryły sztywnej
/
3
RUCH POSTĘPOWY
ś
rodek masy
∑
∑
=
i
i
i
S
m
r
m
R
M
m
i
i
=
∑
Dla ciągłego rozkładu masy (*)
∫
∫
=
dm
dm
r
R
S
dV
dm
ρ
=
( )
dV
dm
r
=
ρ
∫
∫
=
dV
dV
r
R
S
ρ
ρ
Dla ciała jednorodnego
const
V
m
=
=
ρ
V
dV
r
R
S
∫
=
Ś
rodek masy porusza się tak, jakby cała masa była w
nim skupiona i wszystkie siły do niego przyłożone
2
2
dt
R
d
m
F
S
=
Równanie ruchu postępowego
F
dt
P
d
S
=
ruch bryły sztywnej
/
4
RUCH OBROTOWY
Ruch obrotowy wokół osi przechodzącej przez ustalony
punkt np. początek układu: współrzędnych 0.
i
i
r
v
×
ω
=
i
i
i
p
r
J
×
=
i
i
i
i
i
v
r
m
J
J
×
=
=
∑
∑
(
)
∑
×
ω
×
=
i
i
i
r
r
m
J
tożsamość
wektorowa:
)
(
)
(
)
(
B
A
C
C
A
B
C
B
A
⋅
−
⋅
=
×
×
∑
=
i
M
M
Równanie ruchu obrotowego
M
dt
J
d
=
ω
i
r
0
i
m
i
v
( ) ( )
[
]
∑
−
=
i
i
i
i
i
i
r
r
r
r
m
J
ω
ω
ruch bryły sztywnej
/
5
OBRÓT WOKÓŁ STAŁEJ OSI SYMETRII
i
R
⊥
ω
Moment pędu
( ) ( )
[
]
∑
−
=
i
i
i
i
i
i
r
r
r
r
m
J
ω
ω
∑
=
i
i
i
R
m
J
ω
2
ω
I
J
=
•
Moment bezwładności
∑
=
i
i
i
R
m
I
2
∫
=
dm
R
I
2
Równanie ruchu
dla
const
I
=
ε
ω
I
dt
d
I
dt
J
d
=
=
ε
I
M
=
x
z
y
R
ω
ruch bryły sztywnej
/
7
ENERGIA KINETYCZNA
przy obrotach wokół stałej osi
∑
=
i
i
i
k
v
m
E
2
2
1
∑
×
=
i
i
i
k
r
m
E
2
)
(
2
1
ω
∑
∑
=
=
i
i
i
i
i
i
k
r
m
r
m
E
2
2
2
2
2
1
2
1
ω
ω
2
2
1
ω
I
E
K
=
x
z
y
R
ω
ruch bryły sztywnej
/
9
TWIERDZENIE STEINERA
zmiana momentu bezwładności przy zmianie osi.
S – środek masy
2
2
2
is
is
is
y
x
r
+
=
2
2
2
2
2
2
2
)
(
is
is
is
is
is
i
y
x
hx
h
y
x
h
r
+
+
+
=
+
+
=
2
2
2
2
is
is
i
r
hx
h
r
+
+
=
Moment bezwładności względem „O”
∑
∑
∑
∑
+
+
=
=
2
2
2
2
)
(
is
i
is
i
i
i
i
r
m
x
m
h
m
h
r
m
I
∑
=
0
is
i
x
m
z definicji środka masy
2
mh
I
I
s
+
=
Twierdzenie Steinera
Moment bezwładności ciała względem dowolnej osi jest
równy sumie momentów bezwładności względem osi
równoległej i przechodzącej przez środek masy ciała
plus moment bezwładności środka masy względem
badanej osi.
O
x’
S
y’
y
m
i
y
is
r
is
x
is
h
i
r
ruch bryły sztywnej
/
10
TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI
ω
I
J
=
⊥
⊥
⊥
=
ω
I
J
I
⊥
= mr
2
I
II
= mr
2
/2
J
J
J
+
=
⊥
ω
ω
ω
ω
ω
ω
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
=
=
=
2
2
1
2
2
mr
mr
I
I
J
J
Jeżeli obręcz obraca się dookoła osi nie będącej jej osią
symetrii to
moment pędu ma inny kierunek niż
prędkość kątowa
ω
I
J
ˆ
=
r
F
0
ω
F
0
α
ω
⊥
ω
ω
⊥
J
J
J
ruch bryły sztywnej
/
11
TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI
ω
I
J
ˆ
=
ω
+
ω
+
ω
=
ω
+
ω
+
ω
=
ω
+
ω
+
ω
=
z
zz
y
zy
x
zx
z
z
yz
y
yy
x
yx
y
z
xz
y
xy
x
xx
x
I
I
I
J
I
I
I
J
I
I
I
J
tensor momentu
bezwładności
względem punktu 0
Wektor J obraca się wokół wektora
ω
ωω
ω
M
dt
J
d
=
Moment sił reakcji w łożyskach
=
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Iˆ
ruch bryły sztywnej
/
12
TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI
•
Macierz tensora momentu bezwładności jest macierzą
symetryczną
I
ij
= I
ji.
Macierz taką można ją zdiagonalizować, czyli znaleźć
taki układ współrzędnych, x’, y’, z’ , że
=
'
'
'
0
0
0
0
0
0
ˆ
z
y
x
I
I
I
I
'
'
'
x
x
x
I
J
ω
=
'
'
'
y
y
y
I
J
ω
=
'
'
'
z
z
z
I
J
ω
=
gdzie x’, y’, z’ - osie główne bezwładności ciała.
•
Gdy obrót zachodzi dookoła jednej z osi głównych to
ω
J
Jeżeli ciało ma symetrię sferyczną
'
'
'
z
y
x
I
I
I
=
=
Jeżeli ciało ma symetrię obrotową
'
'
'
z
y
x
I
I
I
=
≠
ENERGIA KINETYCZNA
J
E
K
⋅
=
ω
2
1
