Dyskretne zmienne losowe

,...}

,

{

:

2

1

x

x

S

X



)

(

)

(

}

)

(

:

({

i

i

i

x

p

x

X

P

x

s

X

S

s

P















,...,

2

,

1

),

(

:





i

x

p

x

p

i

i

- funkcja

prawdopodobie

ństwa dyskretnej zmiennej losowej X





,...}

2

,

1

),

(

,

{(



i

x

p

x

i

i

- rozk

ład prawdopodobieństwa

dyskretnej zmiennej losowej X





)

,

(

),

(

)

(











x

x

X

P

x

F

, - dystrybuanta zmiennej

losowej X





Dla dyskretnej zmiennej losowej

)

(

)

(

:

i

x

x

i

x

p

x

F

i







.

D.





x

x

i

i

i

x

X

P

x

X

P

x

F











:

})

{

(

)

(

)

(

=













x

x

i

x

x

i

i

i

i

i

x

p

x

X

P

:

:

)

(

)

(

W

łasności dystrybuanty

)

(

)

(

x

X

P

x

F





:



1

)

(

0





x

F

,

)

,

(







x



funkcja niemalej

ąca



funkcja prawostronnie ci

ągła



)

(

)

(

)

(

x

X

P

x

F

x

F











0

)

(

lim







x

F

x



1

)

(

lim







x

F

x

Prawdopodobieństwa zdarzeń a wartości

dystrybuanty









)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

b

X

a

P

















)

(

)

(

)

(

)

(

a

p

a

F

b

F

b

X

a

P



















)

(

)

(

)

(

)

(

b

p

a

F

b

F

b

X

a

P



















)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

b

p

a

p

a

F

b

F

b

X

a

P













D.



]

,

(

]

,

(

]

,

(

b

a

a

b







)

(

)

(

)

(

b

X

a

P

a

X

P

b

X

P













)

(b

F

=

)

(a

F

+

)

(

b

X

a

P





)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

b

X

a

P











}

{

]

,

(

]

,

[

a

b

a

b

a



















)

(

)

(

)

(

a

X

P

b

X

a

P

b

X

a

P

=

).

(

)

(

)

(

a

p

a

F

b

F





Definicja.

Wartością średnią

(

oczekiwaną) dyskretnej zmiennej

losowej X

o funkcji prawdopodobieństwa

)

(



p

nazywamy liczbę









1

)

(

i

i

i

X

x

p

x



gdzie

,...

,

2

1

x

x

oznaczają wszystkie wartości X.

Notacja:

X



lub

E(X).

Przykłady

.









X = liczb

a orłów w trzech rzutach monetą symetryczną.

X



=

2

3

8

12

8

1

3

8

3

2

8

3

1

8

1

0























N

– elementowa populacja zawiera elementy o możliwych

(ró

żnych) wartościach cechy liczbowej

,

,...,

2

,

1

,

k

i

x

i



i

n

=

liczba elementów o warto

ści cechy

i

x

. Niech X = warto

ść

cechy losowo wybranego elementu. Wówczas cz

ęstość

elementów o warto

ści cechy

i

x

:

N

n

x

X

P

x

p

i

i

i







)

(

)

(















k

i

i

i

k

i

i

i

X

N

n

x

x

p

x

1

1

)

(







Wygrana na loterii jest zmienn

ą losową X o

dystrybuancie:














1

75

,

0

5

,

0

0

)

(x

F

dla

.

200

,

200

100

,

100

0

,

0













x

x

x

x



5

,

0

)

0

(

)

0

(

)

0

(

)

0

(

)

0

(



















F

F

X

P

X

P

X

P















)

100

(

)

100

(

)

100

(

X

P

X

P

X

P

25

,

0

5

,

0

75

,

0

)

100

(

)

100

(











F

F















)

200

(

)

200

(

)

200

(

X

P

X

P

X

P

25

,

0

75

,

0

1

)

200

(

)

200

(











F

F

.

75

25

,

0

200

25

,

0

100

5

,

0

0















X



.

Twierdzenie.









1

)

(

).

(

)

(

i

i

i

X

f

x

p

x

f



Twierdzenie.









1

)

(

).

(

)

(

i

i

i

X

f

x

p

x

f



D.

Je

śli f jest różnowartościowa, to wzór wynika z definicji

warto

ści średniej dla zmiennej

)

( X

f

Y



:

)

(

))

(

(

i

i

x

p

x

f

Y

P





.

W ogólnym przypadku trzeba wykorzysta

ć własności

prawdopodobie

ństwa.

Przyk

łady.





,

)

(

b

ax

x

f





b

aX

X

f

Y







)

(

,

















1

)

(

)

(

i

X

i

i

b

aX

b

a

x

p

b

ax





.





Wykonujemy niezale

żne rzuty monetą symetryczną aż do

momentu wyrzucenia or

ła. Niech X oznacza liczbę

wykonanych rzutów,

1

2





X

Y

.















































1

1

1

1

1

2

1

2

1

2

)

(

2

i

i

i

i

i

i

i

X

P

.

Warto

ść średnia nie istnieje.

Definicja.

Wariancj

ą

dyskretnej zmiennej losowej o funkcji

prawdopodobie

ństwa

)

(



p

nazywamy wielko

ść











1

2

2

)

(

)

(

i

i

X

i

X

x

p

x





.

Odchylenie standardowe:

X



=

2

X



Uwaga.

2

2

)

(

X

X

X

E









Interpretacja:

wariancja - miara rozproszenia warto

ści

zmiennej losowej wzgl

ędem wartości średniej.

Twierdzenie.









2

2

2

X

X

X















2

2

2

X

b

aX

a









D.









2

2

2

2

X

i

X

i

X

i

x

x

x















oraz









1

1

)

(

i

i

x

p



























1

1

1

2

2

2

)

(

)

(

2

)

(

i

i

i

i

X

i

i

X

i

i

X

x

p

x

p

x

x

p

x









 



2

2

2

2

X

X

X











=





2

2

X

X











2

2

))

(

(

b

a

b

aX

E

X

b

aX















=













1

2

2

)

(

)]

(

[

)]

(

[

i

i

X

i

X

x

p

x

a

X

a

E





=

2

2

X

a



Uwaga

. Bezpo

średnio z twierdzenia

2

2

2

X

aX

a







,

2

2

X

b

X









,

X

b

aX

a









.

Definicja.

Niech

,...}

2

,

1

{



k

.

Momentem zwyk

łym rzędu k

zmiennej losowej X

nazywamy

k

X

k

m





.

Momentem centralnym rz

ędu

k

zmiennej losowej X

nazywamy

k

X

X

k

)

(











=

k

X

X

E

)

(





.

W szczególno

ści:

X

m





1

,

2

2

X







.

Przykłady rozkładów dyskretnych









Rozkład dwupunktowy

Zmienna losowa X

ma rozkład dwupunktowy, jeśli

,

)

(

1

p

x

X

P





q

x

X

P





)

(

2

,

,

1

p

q





1

0





p

.

Funkcja prawdopodobieństwa:

x

1

x

2

x

p(x) p q

Rozk

ład zero – jedynkowy

( rozk

ład Bernoulli’ego z

prawdopodobie

ństwem sukcesu p )

,

)

1

(

p

X

P





p

X

P







1

)

0

(

= q

p

p

p

X













1

)

1

(

0

















2

2

2

2

)

1

(

0

1

p

p

p

X



2

p

p



=

p x q.





Rozk

ład jednostajny na k punktach

: rozk

ład

zmiennej losowej X o funkcji prawdopodobie

ństwa:

k

x

X

P

x

X

P

x

X

P

k

/

1

)

(

...

)

(

)

(

2

1















.









k

i

i

X

k

x

1

1



=





k

i

i

x

k

1

1

,











k

i

X

i

X

k

x

1

2

2

1

)

(





=







k

i

X

i

x

k

1

2

)

(

1



.

Przyk

ład

: X = liczba oczek w rzucie kostk

ą sześcienną.

Zadanie.

Zmienne losowe X i Y maj

ą rozkłady

jednostajne na zbiorach punktów { - 1, 0, 1 } oraz
{- 2, 0, 2 }. Obliczy

ć wartości średnie i wariancje zmiennych

X i Y.

0

3

1

1

3

1

0

3

1

1

















X



,

0



Y



.

3

2

3

1

)

0

1

(

3

1

)

0

0

(

3

1

)

0

1

(

2

2

2

2























X



3

8

3

1

)

0

2

(

3

1

)

0

0

(

3

1

)

0

2

(

2

2

2

2























Y



2

2

X

Y















Rozkład dwumianowy

Wykonujemy n

niezależnych jednakowych doświadczeń

Bernoulli’ego z prawdopodobieństwem sukcesu p ( w
każdym doświadczeniu możliwy sukces z prawdopodo -
bieństwem p lub porażka z prawdopodobieństwem
1

– p).

Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej

X

będącej liczbą sukcesów:

k

n

k

p

p

k

n

p

n

k

b

k

X

P























)

1

(

)

,

;

(

)

(

, k = 0,1,...,n.

np

X





,

)

1

(

2

p

np

X







.

Uzasadnienie:

}}

1

,

0

{

:

)

,...,

(

{

1







i

n

x

x

x

s

S

,

)

(

1

1

)

1

(

})

({

















n

i

i

n

i

i

x

n

x

p

p

s

P

,































n

i

k

n

k

i

p

p

k

n

k

x

S

s

P

k

X

P

1

)

1

(

})

:

({

)

(

.

Notacja

: X ~Bin(n, p).

Przykłady:

liczba elementów wadliwych spośród n

wylosowanych z dużej partii towaru o wadliwości p,
liczba trafień do celu na zawodach sportowych w n próbach

Przyk

ład.

Urz

ądzenie składa się z 14 identycznych

pracuj

ących niezależnie podzespołów. Ulegnie ono awarii,

je

śli co najmniej 3 podzespoły będą niesprawne.

Prawdopodobie

ństwo awarii podzespołu wynosi 0,1.

Znale

źć prawdopodobieństwo awarii urządzenia.

~

X

Bin( 14,0.1),

)

3

(

1

)

3

(









X

P

X

P

.

)

2

(

)

1

(

)

0

(

)

3

(















X

P

X

P

X

P

X

P

=







)

1

.

0

,

14

;

2

(

)

1

.

0

,

14

;

1

(

)

1

.

0

,

14

;

0

(

b

b

b

0,229 + 0,356 + 0,257 = 0,842

178

,

0

842

,

0

1

)

3

(









X

P









Rozkład Poissona

Definicja

. Zmienna losowa X ma

rozkład Poissona z

parametrem

,

0

,







jeśli

!

)

;

(

)

(

k

e

k

p

k

X

P

k















, k = 0,1,2,...

Notacja:

)

(

~



P

X

Przykłady

: liczba klientów w systemie masowej obsługi,

liczba cząstek emitowanych przez substancję radioaktywną,
liczba awarii sieci informatycznej w określonym przedziale
czasu,

Twierdzenie.







X

,







2

X

.

Własności rozkładu Poissona;



Niech





n

,

,

0





n

p

p

.

0







np

Wówczas dla ustalonego k, przy





n

)

,

(

)

,

;

(



k

p

p

n

k

b



.











k

n

k

p

p

k

n

k

n

p

n

k

b

)

1

(

)!

(

!

!

)

,

;

(













 





















k

n

k

n

n

k

k

n

n

n





1

!

)

1

)...(

1

(































e

k

n

n

k

n

k

n

n

n

k

k

n

k

k

!

)

1

(

)

1

(

!

)

1

(

...

)

1

(

,

gdy





n

, bo











e

n

n

)

1

(

.



Je

śli

)

(

~



P

X

dla du

żego



, to rozk

ład

standaryzowanej zmiennej





/

)

(



X

jest w przybli

żeniu

normalny, tzn.

)

(

)

/

)

((

z

z

X

P













,

dla dowolnego z. Zatem

dystrybuanta zmiennej losowej X

jest bliska dystrybuancie

zmiennej losowej o

rozk

ładzie

)

,

(





N

, a funkcje prawdopodobie

ństwa są

bliskie g

ęstościom, co ilustruje rysunek:

10
2
5
20

0

10

20

30

40

50

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

Funkcje prawdopodobieństw rozkładów Poissona