Dyskretne zmienne losowe
,...}
,
{
:
2
1
x
x
S
X
)
(
)
(
}
)
(
:
({
i
i
i
x
p
x
X
P
x
s
X
S
s
P
,...,
2
,
1
),
(
:
i
x
p
x
p
i
i
- funkcja
prawdopodobie
ństwa dyskretnej zmiennej losowej X
,...}
2
,
1
),
(
,
{(
i
x
p
x
i
i
- rozk
ład prawdopodobieństwa
dyskretnej zmiennej losowej X
)
,
(
),
(
)
(
x
x
X
P
x
F
, - dystrybuanta zmiennej
losowej X
Dla dyskretnej zmiennej losowej
)
(
)
(
:
i
x
x
i
x
p
x
F
i
.
D.
x
x
i
i
i
x
X
P
x
X
P
x
F
:
})
{
(
)
(
)
(
=
x
x
i
x
x
i
i
i
i
i
x
p
x
X
P
:
:
)
(
)
(
W
łasności dystrybuanty
)
(
)
(
x
X
P
x
F
:
1
)
(
0
x
F
,
)
,
(
x
funkcja niemalej
ąca
funkcja prawostronnie ci
ągła
)
(
)
(
)
(
x
X
P
x
F
x
F
0
)
(
lim
x
F
x
1
)
(
lim
x
F
x
Prawdopodobieństwa zdarzeń a wartości
dystrybuanty
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
b
X
a
P
)
(
)
(
)
(
)
(
a
p
a
F
b
F
b
X
a
P
)
(
)
(
)
(
)
(
b
p
a
F
b
F
b
X
a
P
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
b
p
a
p
a
F
b
F
b
X
a
P
D.
]
,
(
]
,
(
]
,
(
b
a
a
b
)
(
)
(
)
(
b
X
a
P
a
X
P
b
X
P
)
(b
F
=
)
(a
F
+
)
(
b
X
a
P
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
b
X
a
P
}
{
]
,
(
]
,
[
a
b
a
b
a
)
(
)
(
)
(
a
X
P
b
X
a
P
b
X
a
P
=
).
(
)
(
)
(
a
p
a
F
b
F
Definicja.
Wartością średnią
(
oczekiwaną) dyskretnej zmiennej
losowej X
o funkcji prawdopodobieństwa
)
(
p
nazywamy liczbę
1
)
(
i
i
i
X
x
p
x
gdzie
,...
,
2
1
x
x
oznaczają wszystkie wartości X.
Notacja:
X
lub
E(X).
Przykłady
.
X = liczb
a orłów w trzech rzutach monetą symetryczną.
X
=
2
3
8
12
8
1
3
8
3
2
8
3
1
8
1
0
N
– elementowa populacja zawiera elementy o możliwych
(ró
żnych) wartościach cechy liczbowej
,
,...,
2
,
1
,
k
i
x
i
i
n
=
liczba elementów o warto
ści cechy
i
x
. Niech X = warto
ść
cechy losowo wybranego elementu. Wówczas cz
ęstość
elementów o warto
ści cechy
i
x
:
N
n
x
X
P
x
p
i
i
i
)
(
)
(
k
i
i
i
k
i
i
i
X
N
n
x
x
p
x
1
1
)
(
Wygrana na loterii jest zmienn
ą losową X o
dystrybuancie:
1
75
,
0
5
,
0
0
)
(x
F
dla
.
200
,
200
100
,
100
0
,
0
x
x
x
x
5
,
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
F
F
X
P
X
P
X
P
)
100
(
)
100
(
)
100
(
X
P
X
P
X
P
25
,
0
5
,
0
75
,
0
)
100
(
)
100
(
F
F
)
200
(
)
200
(
)
200
(
X
P
X
P
X
P
25
,
0
75
,
0
1
)
200
(
)
200
(
F
F
.
75
25
,
0
200
25
,
0
100
5
,
0
0
X
.
Twierdzenie.
1
)
(
).
(
)
(
i
i
i
X
f
x
p
x
f
Twierdzenie.
1
)
(
).
(
)
(
i
i
i
X
f
x
p
x
f
D.
Je
śli f jest różnowartościowa, to wzór wynika z definicji
warto
ści średniej dla zmiennej
)
( X
f
Y
:
)
(
))
(
(
i
i
x
p
x
f
Y
P
.
W ogólnym przypadku trzeba wykorzysta
ć własności
prawdopodobie
ństwa.
Przyk
łady.
,
)
(
b
ax
x
f
b
aX
X
f
Y
)
(
,
1
)
(
)
(
i
X
i
i
b
aX
b
a
x
p
b
ax
.
Wykonujemy niezale
żne rzuty monetą symetryczną aż do
momentu wyrzucenia or
ła. Niech X oznacza liczbę
wykonanych rzutów,
1
2
X
Y
.
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
)
(
2
i
i
i
i
i
i
i
X
P
.
Warto
ść średnia nie istnieje.
Definicja.
Wariancj
ą
dyskretnej zmiennej losowej o funkcji
prawdopodobie
ństwa
)
(
p
nazywamy wielko
ść
1
2
2
)
(
)
(
i
i
X
i
X
x
p
x
.
Odchylenie standardowe:
X
=
2
X
Uwaga.
2
2
)
(
X
X
X
E
Interpretacja:
wariancja - miara rozproszenia warto
ści
zmiennej losowej wzgl
ędem wartości średniej.
Twierdzenie.
2
2
2
X
X
X
2
2
2
X
b
aX
a
D.
2
2
2
2
X
i
X
i
X
i
x
x
x
oraz
1
1
)
(
i
i
x
p
1
1
1
2
2
2
)
(
)
(
2
)
(
i
i
i
i
X
i
i
X
i
i
X
x
p
x
p
x
x
p
x
2
2
2
2
X
X
X
=
2
2
X
X
2
2
))
(
(
b
a
b
aX
E
X
b
aX
=
1
2
2
)
(
)]
(
[
)]
(
[
i
i
X
i
X
x
p
x
a
X
a
E
=
2
2
X
a
Uwaga
. Bezpo
średnio z twierdzenia
2
2
2
X
aX
a
,
2
2
X
b
X
,
X
b
aX
a
.
Definicja.
Niech
,...}
2
,
1
{
k
.
Momentem zwyk
łym rzędu k
zmiennej losowej X
nazywamy
k
X
k
m
.
Momentem centralnym rz
ędu
k
zmiennej losowej X
nazywamy
k
X
X
k
)
(
=
k
X
X
E
)
(
.
W szczególno
ści:
X
m
1
,
2
2
X
.
Przykłady rozkładów dyskretnych
Rozkład dwupunktowy
Zmienna losowa X
ma rozkład dwupunktowy, jeśli
,
)
(
1
p
x
X
P
q
x
X
P
)
(
2
,
,
1
p
q
1
0
p
.
Funkcja prawdopodobieństwa:
x
1
x
2
x
p(x) p q
Rozk
ład zero – jedynkowy
( rozk
ład Bernoulli’ego z
prawdopodobie
ństwem sukcesu p )
,
)
1
(
p
X
P
p
X
P
1
)
0
(
= q
p
p
p
X
1
)
1
(
0
2
2
2
2
)
1
(
0
1
p
p
p
X
2
p
p
=
p x q.
Rozk
ład jednostajny na k punktach
: rozk
ład
zmiennej losowej X o funkcji prawdopodobie
ństwa:
k
x
X
P
x
X
P
x
X
P
k
/
1
)
(
...
)
(
)
(
2
1
.
k
i
i
X
k
x
1
1
=
k
i
i
x
k
1
1
,
k
i
X
i
X
k
x
1
2
2
1
)
(
=
k
i
X
i
x
k
1
2
)
(
1
.
Przyk
ład
: X = liczba oczek w rzucie kostk
ą sześcienną.
Zadanie.
Zmienne losowe X i Y maj
ą rozkłady
jednostajne na zbiorach punktów { - 1, 0, 1 } oraz
{- 2, 0, 2 }. Obliczy
ć wartości średnie i wariancje zmiennych
X i Y.
0
3
1
1
3
1
0
3
1
1
X
,
0
Y
.
3
2
3
1
)
0
1
(
3
1
)
0
0
(
3
1
)
0
1
(
2
2
2
2
X
3
8
3
1
)
0
2
(
3
1
)
0
0
(
3
1
)
0
2
(
2
2
2
2
Y
2
2
X
Y
Rozkład dwumianowy
Wykonujemy n
niezależnych jednakowych doświadczeń
Bernoulli’ego z prawdopodobieństwem sukcesu p ( w
każdym doświadczeniu możliwy sukces z prawdopodo -
bieństwem p lub porażka z prawdopodobieństwem
1
– p).
Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej
X
będącej liczbą sukcesów:
k
n
k
p
p
k
n
p
n
k
b
k
X
P
)
1
(
)
,
;
(
)
(
, k = 0,1,...,n.
np
X
,
)
1
(
2
p
np
X
.
Uzasadnienie:
}}
1
,
0
{
:
)
,...,
(
{
1
i
n
x
x
x
s
S
,
)
(
1
1
)
1
(
})
({
n
i
i
n
i
i
x
n
x
p
p
s
P
,
n
i
k
n
k
i
p
p
k
n
k
x
S
s
P
k
X
P
1
)
1
(
})
:
({
)
(
.
Notacja
: X ~Bin(n, p).
Przykłady:
liczba elementów wadliwych spośród n
wylosowanych z dużej partii towaru o wadliwości p,
liczba trafień do celu na zawodach sportowych w n próbach
Przyk
ład.
Urz
ądzenie składa się z 14 identycznych
pracuj
ących niezależnie podzespołów. Ulegnie ono awarii,
je
śli co najmniej 3 podzespoły będą niesprawne.
Prawdopodobie
ństwo awarii podzespołu wynosi 0,1.
Znale
źć prawdopodobieństwo awarii urządzenia.
~
X
Bin( 14,0.1),
)
3
(
1
)
3
(
X
P
X
P
.
)
2
(
)
1
(
)
0
(
)
3
(
X
P
X
P
X
P
X
P
=
)
1
.
0
,
14
;
2
(
)
1
.
0
,
14
;
1
(
)
1
.
0
,
14
;
0
(
b
b
b
0,229 + 0,356 + 0,257 = 0,842
178
,
0
842
,
0
1
)
3
(
X
P
Rozkład Poissona
Definicja
. Zmienna losowa X ma
rozkład Poissona z
parametrem
,
0
,
jeśli
!
)
;
(
)
(
k
e
k
p
k
X
P
k
, k = 0,1,2,...
Notacja:
)
(
~
P
X
Przykłady
: liczba klientów w systemie masowej obsługi,
liczba cząstek emitowanych przez substancję radioaktywną,
liczba awarii sieci informatycznej w określonym przedziale
czasu,
Twierdzenie.
X
,
2
X
.
Własności rozkładu Poissona;
Niech
n
,
,
0
n
p
p
.
0
np
Wówczas dla ustalonego k, przy
n
)
,
(
)
,
;
(
k
p
p
n
k
b
.
k
n
k
p
p
k
n
k
n
p
n
k
b
)
1
(
)!
(
!
!
)
,
;
(
k
n
k
n
n
k
k
n
n
n
1
!
)
1
)...(
1
(
e
k
n
n
k
n
k
n
n
n
k
k
n
k
k
!
)
1
(
)
1
(
!
)
1
(
...
)
1
(
,
gdy
n
, bo
e
n
n
)
1
(
.
Je
śli
)
(
~
P
X
dla du
żego
, to rozk
ład
standaryzowanej zmiennej
/
)
(
X
jest w przybli
żeniu
normalny, tzn.
)
(
)
/
)
((
z
z
X
P
,
dla dowolnego z. Zatem
dystrybuanta zmiennej losowej X
jest bliska dystrybuancie
zmiennej losowej o
rozk
ładzie
)
,
(
N
, a funkcje prawdopodobie
ństwa są
bliskie g
ęstościom, co ilustruje rysunek:
10
2
5
20
0
10
20
30
40
50
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
Funkcje prawdopodobieństw rozkładów Poissona