Dyskretna2010 id 146232 Nieznany

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

A. PAWE L WOJDA

Spis tre´

sci

1.

Wyk lad 1 - 3.III.2010

3

1.1.

Matematyka dyskretna

3

1.2.

Zasada indukcji matematycznej

3

1.3.

ownania rekurencyjne

4

2.

Wyk lad 2 - 10.III.2010

5

2.1.

Wyznacznik Vandermonde’a

5

2.2.

ownania rekurencyjne liniowe

5

2.3.

Metody zliczania

6

3.

Wyk lad 3 - 17.III.2010

8

3.1.

Metody zliczania c.d.

8

4.

Wyk lad 4 - 24.III.2010

9

4.1.

Metody zliczania c.dc.d.

9

4.2.

Arytmetyka modularna

10

5.

Wyk lad 5 - 31.III.2010

12

5.1.

Arytmetyka modularna c.d.

12

5.2.

Grupy

12

6.

Wyk lad 6 - 21.IV.2010

14

6.1.

Grupy c.d.

14

7.

Wyk lad 7 - 28.IV.2010

16

7.1.

Grupy c.d.c.d.

16

7.2.

Kwadratowe residua modulo

16

7.3.

Zasady kryptografii z kluczem publicznym

17

7.4.

Metoda Rabina

18

8.

Wyk lad 8 - 5.V.2010

20

8.1.

Metoda RSA

20

8.2.

Grupy c.d.

21

9.

Wyk lad 9 - 12.V.2010

23

9.1.

Lemat Burnside’a

23

9.2.

Teoria graf´

ow

23

10.

Wyk lad 10 - 19.V.2010

24

10.1.

Grafy eulerowskie c.d.

24

10.2.

Grafy p laskie i planarne

25

11.

Wyk lad 11 - 26.V.2010

26

11.1.

Garfy planarne c.d.

26

11.2.

Drzewa i lasy

26

12.

Wyk lad 12 - 2.VI.2010

28

12.1.

Drzewa c.d.

28

12.2.

Drzewa jako przestrzenie metryczne

28

1

background image

2

A. PAWE L WOJDA

12.3.

Drzewa z korzeniem i drzewa binarne

28

12.4.

Dendryty

29

13.

Wyk lad 13 - 9.VI.2010

30

13.1.

Kolorowanie wierzcho lk´

ow grafu

Liczba chromatyczna

30

13.2.

Wielomiany chromatyczne

30

13.3.

Kolorowanie kraw

,

edzi

31

13.4.

Grafy skierowne i turnieje.

31

14.

Wyk lad 14 - 16.VI.2010

32

14.1.

Turnieje -ci

,

ag dalszy.

32

14.2.

Liczba nieizomorficznych turniej´

ow rz

,

edu n

32

Literatura

35

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

3

1. Wyk lad 1 - 3.III.2010

1.1. Matematyka dyskretna. Przez matematyk

,

e dyskretn

,

a rozumie si

,

e dzia l ma-

tematyki, w kt´

orym nie stosuje si

,

e aparatu topologicznego, a w ka˙zdym razie w

kt´

orej ten aparat ma znaczenie raczej drugorz

,

edne

1

. Podczas wyk lad´

ow nie zoba-

czymy wi

,

ec ani pochodnych, ani ca lek. B

,

edziemy za to wykorzystywa´

c wiadomo´

sci

z algebry, teorii mnogo´

sci, teorii liczb. B

,

edziemy m´

owi´

c o kombinatoryce i teorii

graf´

ow.

Na wyk ladzie por´

ownywa lem matematyk

,

e ci

,

ag l

,

a z przemieszczaj

,

acy

,

a si

,

e wskaz´

ow-

k

,

a zegarka, za´

s matematyk

,

e dyskretn

,

a ze zmieniaj

,

ac

,

emi si

,

e cyframi zegarka elek-

tronicznego.

1.2. Zasada indukcji matematycznej. Zasada indukcji matematycznej jest stu-
dentom dobrze znana ze szko ly. Mo˙zna j

,

a sformu lowa´

c nast

,

epuj

,

aco.

Niech b

,

edzie dany ci

,

ag zda´

n (T

n

)


n=k

(gdzie k jest pewn

,

a liczb

,

a naturaln

,

a).

• Je˙zeli zdanie T

k

jest prawdziwe oraz

• dla ka˙zdego n ≥ k z faktu, ˙ze T n jest prawdziwe wynika, ˙ze T

n+1

jest

prawdziwe,

owczas dla wszystkich n ≥ k zdania T

n

s

,

a prawdziwe.

Zasad

,

e indukcji matematycznej mo˙zna przyj

,

c jako pewnik.

My jednak za-

uwa˙zyli´

smy, ˙ze wynika ona z jeszcze latwiejszej do zaakceptowania zasady do-

brego uporz

,

adkowania zbioru liczb naturalnych. Zasada ta m´

owi, ˙ze ka˙zdy

podzbi´

or zbioru liczb naturalnych N ma element najmniejszy. W bardzo prosty

spos´

ob udowodnili´

smy, ˙ze z zasady dobrego uporz

,

adkowania zbioru liczb natural-

nych wynika zasada indukcji matematycznej.

Przyk lad 1. Wie ˙ze Hanoi (Brahmy)
Zabawka polega na tym, ˙ze dane s

,

a 3 patyczki nazwane A, B i C na podstawkach

oraz n k´

o leczek r´

o˙znej ´

srednicy z dziurkami w ´

srodku ka˙zdego. K´

o lka s

,

a na lo˙zone na

patyczek A tak, ˙ze nigdy ´

zadne wi

,

eksze k´

o lo nie le˙zy na k´

o lku mniejszym (czyli s

,

a

u lo˙zone od najwi

,

ekszego na dole do najmniejszego na wierzchu). K´

o lka przek lada

si

,

e po jednym tak, by korzystaj

,

ac z po´

sredniego patyczka B prze lo˙zy´

c wszystkie k´

o lka

na patyczek C ca ly czas trzymaj

,

ac si

,

e zasady, ˙ze nigdy k´

o lko wi

,

eksze nie mo˙ze by´

c

po lo˙zone na mniejszym.
Problem jest nast

,

epuj

,

acy: w ilu ruchach da si

,

e rozwi

,

aza´

c nasze zadanie?

Oznaczmy przez a

n

liczb

,

e koniecznych ruch´

ow przy n k´

o lkach. Z latwo´

sci

,

a stwier-

dzamy, ˙ze a

0

= 0, a

1

= 1 no i niezbyt trudno jest zauwa˙zy´

c, ˙ze a

n

= 2a

n−1

+ 1 (dla

n > 0). St

,

ad latwo obliczy´

c, ˙ze a

2

= 3, a

3

= 7, a

4

= 15. Te liczby sugeruj

,

a og´

olny

wz´

or. No i rzeczywi´

scie, indukcyjnie udowodnili´

smy, ˙ze

a

n

= 2

n

− 1

dla dowolnego n naturalnego.
Stara lem si

,

e przekona´

c s luchaczy, ˙ze to bardzo du˙zo (przek ladaj

,

ac 64 k´

o lka z szybko´

sci

,

a

1

Od tej regu ly s

,

a bardzo znacz

,

ace odst

,

epstwa. By´

c mo˙ze najcz

,

sciej cytowany artyku l ma-

tematyczny, to praca dotycz

,

aca teorii graf´

ow Kazimierza Kuratowskiego charakteryzuj

,

aca grafy

planarna. Grafy to jeden z najwa˙zniejszych obiekt´

ow zainteresowa´

n matematyki dyskretnej. Ka-

zimierz Kuratowski za´

s to jeden z najwybitniejszych topolog´

ow.

background image

4

A. PAWE L WOJDA

1 mikrosekundy jedno, mo˙zna z latwo´

sci

,

a oszacowa´

c czas potrzebny wsystkich k´

o lek

na grubo ponad 500 000 lat).

1.3. R´

ownania rekurencyjne. Niech b

,

edzie zadany ci

,

ag (a

n

) w nast

,

epuj

,

acy spos´

ob.

• Dane s

,

a warto´

sci a

0

, a

1

, ..., a

k−1

(a wi

,

ec k pierwszych wyraz´

ow ci

,

agu) oraz

wz´

or

• a

n

= f (a

n−1

, a

n−2

, ...a

n−k

), gdzie f jest pewn

,

a funkcj

,

a.

Zdefiniowany w taki spos´

ob ci

,

ag (a

n

) nazywamy rekurencyjnym stopnia k.

1.3.1. Ci

,

ag Fibonacciego. Ci

,

ag Fibonacciego

2

to z pewno´

sci

,

a najs lynniejszy ci

,

ag

rekurencyjny (drugiego stopnia). Pomijaj

,

ac tu anegdot

,

e o kr´

olikach, mo˙zna go

zdefiniowa´

c nast

,

epuj

,

aco:

• f

0

= 1

• f

1

= 1

• f

n+1

= f

n

+ f

n−1

dla n ≥ 2

Oczywi´

scie i tym razem mo˙zna z latwo´

sci

,

a wypisa´

c pierwszych kilka wyraz´

ow

ci

,

agu:

f

2

= 2, f

3

= 3, f

4

= 5, f

5

= 8, f

6

= 13, f

7

= 21, f

8

= 34, f

9

= 55, f

10

= 89

Tym razem jednak ci

,

ag kolejnych wyraz´

ow, nawet gdyby´

smy wypisali ich znacz-

nie wi

,

ecej, nie sugeruje ˙zadnego og´

olnego wzoru. Na nast

,

epnym wyk ladzie po-

znamy spos´

ob jak sobie z niekt´

orymi ci

,

agami rekurencyjnymi radzi´

c. Metoda kt´

or

,

a

poznamy obejmuje tak˙ze ci

,

ag Fibonacciego. Nie precyzuj

,

ac metody og´

olnej ci

,

ag

Fibonacciego jednak rozwi

,

azali´

smy. Okaza lo si

,

e, ˙ze

f

n

=

1

5

1 +

5

2

!

n+1

1 −

5

2

!

n+1

Tak skomplikowane rozwi

,

azanie oczywi´

scie wyja´

snia, dlaczego nie byli´

smy w

stanie odgadn

,

c og´

olnego wzoru.

2

Postaci i znaczeniu Fibonacciego (1175-1250) po´

swi

,

eci lem na wyk ladzie chwilk

,

e. Warto po-

szpera´

c w wyszukiwarce i poczyta´

c o cz lowieku, kt´

ory poruszy l europejsk

,

a matematyk

,

e, napisa l

pierwsze znacz

,

ace dzie la matematyczne w Europie po 1000 lat zacofania.

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

5

2. Wyk lad 2 - 10.III.2010

2.1. Wyznacznik Vandermonde’a. Z nast

,

epuj

,

acego twierdzenia dotycz

,

acego wy-

znacznik´

ow, b

,

edziemy korzysta´

c w najbli˙zszej przysz lo´

sci.

Twierdzenie 1.

det








1

1

...

1

x

1

x

2

...

x

n

...

x

n−1
1

x

n−1
2

...

x

n−1

n








=

Y

1≤i≤j≤n

(x

j

− x

i

)

2.2. R´

ownania rekurencyjne liniowe. R´

ownaniem rekurencyjnym linio-

wym jednorodnym stopnia k nazywamy r´

ownanie postaci

(1)

a

n

= f (a

n−1

, ..., a

n−k

)

gdzie f : R

k

→ R jest pewn

,

a funkcj

,

a liniow

,

a, oraz zadane s

,

a warto´

sci pierwszych

k wyraz´

ow ci

,

agu (a

n

), a

0

, a

1

, ..., a

k−1

. Przy tych zamych za lo˙zeniach r´

ownanie

(2)

a

n

= f (a

n−1

, ..., a

n−k

) + g(n)

Nazywamy r´

ownaniem liniowym niejednorodnym stopnia k (o funkcji g :

N → R, poza tym, ˙ze jest to funkcja okre´

slona w zbiorze liczb naturalnych i o

warto´

sciach rzeczywistych, niczego szczeg´

olnego nie zak ladamy). Dla tak og´

olnie

postawionego problemu nie b

,

edziemy w stanie tu przedstawi´

c metody rozwi

,

azania,

niemniej ta posta´

c u latwi pewne zapisy.

ownaniem rekurencyjnym liniowym o sta lych wsp´

o lczynnikach jedno-

rodnym nazywamy r´

ownanie rekurencyjne postaci

(3)

a

n

= α

1

a

n−1

+ α

2

a

n−2

+ ... + α

k

a

n−k

za´

s r´

ownanie

(4)

a

n

= α

1

a

n−1

+ α

2

a

n−2

+ ... + α

k

a

n−k

+ g(n)

nazywamy r´

ownaniem rekurencyjnym liniowym o sta lych wsp´

o lczynnikach

niejednorodnym.

Dla r´

ownania (3) r´

ownanie

(5)

r

k

= α

1

r

k−1

+ α

2

r

k−2

+ ... + α

k−1

r + α

k

nazywamy r´

ownaniem charakterystycznym.

Podczas wyk ladu zauwa˙zyli´

smy nast

,

epuj

,

ace fakty.

• Je´sli dane s

,

a ci

,

agi b

,

ed

,

ace rozwi

,

azaniami r´

ownania (1), to tak˙ze dowolna

kombinacja liniowa tych ci

,

ag´

ow jest rozwi

,

azaniem (1) (inaczej m´

owi

,

ac,

zbi´

or rozwi

,

aza´

n r´

ownania (1) jest podprzestrzeni

,

a przestrzeni wszystkich

ci

,

ag´

ow rzeczywistych).

• Warunki pocz

,

atkowe (czyli warto´

sci ci

,

agu dla pierwszych k indeks´

ow) nale˙z

,

a

do k-wymiarowej podprzestrzeni przestrzeni wszystkich ci

,

ag´

ow rzeczywi-

stych.

• Dla ka˙zdego rozwi

,

azania r r´

ownania charakterystycznego (5) ci

,

ag (r

n

) jest

rozwi

,

azaniem r´

ownania (3) (pomijamy w tym rozumowaniu, na razie, wa-

runki pocz

,

atkowe).

background image

6

A. PAWE L WOJDA

• Z twierdzenia o wyznaczniku Vandermonde’a mo˙zna wywnioskowa´

c, ˙ze

je´

sli r´

ownanie charakterystyczne (5) ma k r´

o ˙znych rozwi

,

aza´

n r

1

, r

2

, ..., r

k

,

owczas rozwi

,

azanie (1) ma (jedyne) rozwi

,

azanie postaci

a

0
n

= c

1

r

n

1

+ c

2

r

n

2

+ ... + c

k

r

n

k

To oczywi´

scie oznacza, ˙ze w przypadku istnienia k r´

o˙znych pierwiastk´

ow r´

ownania

charakterystycznego problem r´

owna´

n liniowych jednorodnych o sta lych wsp´

o lczynnikach

jest teoretycznie rozwi

,

azany

3

.

Powiedzieli´

smy tak˙ze (ju˙z bez dowodu), ˙ze je´

sli r

0

jest l-krotnym rozwi

,

azaniem

ownania charakterystycznego, w´

owczas takie rozwi

,

azanie dostarcza nam l nie-

zale˙znych rozwi

,

aza´

n (1), mianowicie r

n

0

, nr

n

0

, ..., n

l−1

r

n

0

.

ownanie niejednorodne nauczyli´

smy si

,

e rozwi

,

azywa´

c stosuj

,

ac metod

,

e prze-

widywa´

n. Metoda ta polega na zastosowaniu nast

,

epuj

,

acego algorytmu post

,

epo-

wania.

• Metod

,

e stosujemy wy l

,

acznie do przypadku gdy w r´

ownaniu (4) funkcja g

jest postaci

g(n) = βq

n

• Przewidujemy rozwi

,

azanie postaci

a

00
n

= An

l−1

q

n

gdzie l jest krotno´

sci

,

a pierwiastka charakterystycznego q (czyli przewidu-

jemy rozwi

,

azanie postaci a

00

n

= Aq

n

je´

sli q nie jest pierwiastkiem charakte-

rystycznym).

• Teraz nadszed l moment uwzgl

,

ednienia faktu, ˙ze zadane mamy pierwsze k

wyrazy ci

,

agu: znajdujemy takie c

1

, c

2

, ..., c

k

by

a

n

= a

0
n

+ a

00
n

spe lnia ly warunki pocz

,

atkowe problemu, czyli tak, by

a

0
i

+ a

00
i

= a

i

dla i = 0, 1, ..., k − 1

Przyk lad 2. R´

ownania

a

n

− 3a

n−1

= 5 · 7

n

a

n

− 3a

n−1

= 5 · 3

n

a

0

= 4.

2.3. Metody zliczania.

3

W la´

sciwie by lby rozwi

,

azany, nie tylko teoretycznie, gdyby´

smy umieli rozwi

,

azywa´

c r´

ownania

algebraiczne. Tymczasem nie tylko tego nie umiemy, ale wiemy, ˙ze metoda rozwi

,

azywania takich

owna´

n nie istnieje.

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

7

2.3.1. Zasada w l

,

aczania-wy l

,

aczania (metoda sita).

Twierdzenie 2. (Formu la Sita

4

lub Zasada W l

,

aczania i Wy l

,

aczania) Niech

A

1

, A

2

, ..., A

n

b

,

ed

,

a zbiorami sko´

nczonymi. W´

owczas zachodzi wz´

or

|A

1

∪ A

2

∪ ... ∪ A

n

| =

X

1≤i

1

<i

2

<...<i

k

≤n

(−1)

k+1

|A

i

1

∩ A

i

2

∩ ... ∩ A

i

k

|.

Formu l

,

e sita wykazali´

smy metod

,

a indukcji matematycznej.

2.3.2. Miasta Parzyste i Nieparzyste. W mie´

scie P o 32 mieszka´

ncach kluby s

,

a

tworzone wed lug nast

,

epuj

,

acych zasad.

(i) Ka˙zdy klub ma parzyst

,

a liczb

,

e cz lonk´

ow.

(ii) Przeci

,

ecie dowolnych dw´

och klub´

ow ma parzyst

,

a liczb

,

e element´

ow.

Natomiast w mie´

scie N (tak˙ze o 32 mieszka´

ncach) kluby s

,

a tworzone wed lug tak,

by

(a) Ka˙zdy klub mia l nieparzyst

,

a liczb

,

e cz lonk´

ow.

(b) Przeci

,

ecie dowolnych dw´

och klub´

ow mia lo parzyst

,

a liczb

,

e element´

ow.

Problem. Jaka jest maksymalna liczba klub´

ow w P, a jaka w N?

Wykazali´

smy, ˙ze w P mo˙zna utworzy´

c co najmniej 2

16

≥ 65536 klub´

ow, podczas

gdy w N co najwy˙zej 32.
Bardzo si

,

e zdziwili´

smy!

Oszacowanie liczby klub´

ow w P znale´

zli´

smy stosuj

,

ac metody czysto kombinato-

ryczne. Dla oszacowania liczby klub´

ow w N stosowali´

smy podstawowe wiadomo´

sci

dotycz

,

ace wymiaru pewnej przestrzeni liniowej. Przyda la si

,

e wi

,

ec algebra liniowa.

4

Dok ladniej: ”sita Eratostenesa”. Eratostenes, (276-194 p.n.e) by l kustoszem Biblioteki Alek-

sandryjskiej i jednym z najwi

,

ekszych umys l´

ow staro ˙zytno´

sci. Sito Eratostenesa s lu ˙zy lo do ”od-

siewania” liczb pierwszych od ”plew” innych liczb. Jego innym, wielkim osi

,

agni

,

eciem by la pr´

oba

zmierzenia promienia Ziemi przez zmierzenie d lugo´

sci cieni rzucanych w po ludnie przez dwie

tyczki: jednej ustawionej w Aleksandrii, drugiej za´

s w Syene (dzisiejszy Asuan).

Wynik jaki

otrzyma l r´

o ˙zni l sie tylko o 1% od nam znanego, a by lo to w czasach kiedy w kulisto´

c Ziemi

wierzy l ma lo kto!

background image

8

A. PAWE L WOJDA

3. Wyk lad 3 - 17.III.2010

3.1. Metody zliczania c.d. Poza twierdzeniem Cantora (twierdzenie 9), o wszyst-
kich zbiorach wyst

,

epuj

,

acych poni˙zej zak ladamy, ˙ze s

,

a sko´

nczone.

3.1.1. Liczno´

c zbioru par.

|A × B| = |A| · |B|

3.1.2. Wariacje z powt´

orzeniami. Niech B

A

= {f : A → B}. Wwczas

|B

A

| = |B|

|A|

(dow. indukcyjny ze wzgl

,

edu na |A| ).

3.1.3. —Wariacje bez powt´

orze´

n.

|{f : A → B|f − bijekcja}| = |B|(|B| − 1) · ... · (|B| − |A| + 1)

Wniosek 3. Liczba permutacji zbioru n elementowego: n!

3.1.4. Liczba k elementowych podzbior´

ow zbioru n elementowego. Niech

A

k

 = {B ⊂

A : |B| = k}.




A

k





=

|A|

k



=

n!

k!(n − k)!

Wniosek 4.

(1) (a + b)

n

=

P

n
k=0

n
k

a

k

b

n−k

(2)

P

n
k=0

n
k

 = 2

n

3.1.5. Wz´

or Cauchy’ego.

Twierdzenie 5.

p + q

m



=

m

X

k=0

p

k



q

m − k



3.1.6. Wybory z powt´

orzeniami. Wykorzystuj

,

ac model Lov´

asza-P´

elikana-Vesztera

wykazali´

smy nast

,

epuj

,

ace.

Twierdzenie 6. Istnieje dok ladnie

n+r−1

r



rozwi

,

aza´

n ca lkowitych nieujemnych

ownania

x

1

+ x

2

+ ... + x

n

= r

3.1.7. Zasada Go l

,

ebnika (szufladkowa Dirichleta).

Twierdzenie 7. Niech A i B b

,

ed

,

a zbiorami sko´

nczonymi, f : A → B.

(1) Je´

sli A| > |B| w´

owczas f nie jest r´

o˙znowarto´

sciowa.

(2) Je´

sli |A| < |B| w´

owczas f nie jest suriekcj

,

a.

Wniosek 8 (Twierdzenia Erd˝

osa-Szek´

eresza). Niech n ∈ N. Ka˙zdy ci

,

ag r´

o˙znych

n

2

+ 1 liczb rzeczywistych zawiera n + 1 wyrazowy podci

,

ag monotoniczny.

Twierdzenie 9 (Cantor). Niech A b

,

edzie dowolnym (niekoniecznie sko´

nczonym!)

zbiorem. Nie istnieje suriekcja zbioru A na zbi´

or wszystkich podzbior´

ow zbioru A.

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

9

4. Wyk lad 4 - 24.III.2010

4.1. Metody zliczania c.dc.d.

4.1.1. Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju. Przypomnieli´

smy co to jest permutacja,

jak zapisujemy permutacje w przypadku zbioru sko´

nczonego (wygl

,

ada lo na to, ˙ze

nie wszyscy wiedzieli!), co to jest cykl permutacji (permutacja cykliczna) i jak
rozk ladamy permutacj

,

e na iloczyn (z lo˙zenie) cykli.

c(n, k) - liczba permutacji zbioru n-elementowego, kt´

ore maj

,

a k cykli.

Twierdzenie 10. Niech k, n ∈ N, 0 < k ≤ n.

(1) c(n, k) = c(n − 1, k − 1) + (n − 1)c(n − 1, k).
(2) c(n, n) = 1
(3) c(n, 0) = c(0, k) = 0.

Dow. ...

Oznaczmy

[x]

n

= x(x − 1) · ... · (x − n + 2)(x − n + 1)

[x]

n

=

n

X

k=0

s(n, k)x

k

Wsp´

o lczynniki s(n, k) nazwyamy liczbami Stirlinga I-go rodzaju.

Twierdzenie 11. Niech k, n ∈ N, 0 < k < n. W´

owczas

(1) s(n, k) = s(n − 1, k − 1) − (n − 1)s(n − 1, k).
(2) s(n, n) = 1.
(3) s(n, 0) = s(0, k) = 0

Dow. ...

Twierdzenie 12. Niech n, k ∈ N, k ≤ n.

c(n, k) = (−1)

n+k

s(n, k)

Dow. ...

4.1.2. Liczba permutacji danego typu.

Definicja 1. Permutacj

,

e σ ∈ S

n

nazywamy typu 1

λ

1

2

λ

2

. . . n

λ

n

je˙zeli ma λ

i

cykli

d lugo´

sci i (w rozk ladzie kanonicznym na cykle roz l

,

aczne), dla i = 1, . . . , n.

Uwaga. Oczywi´

scie, je´

sli permutacja σ jest typu 1

λ

1

2

λ

2

. . . n

λ

n

, w´

owczas zacho-

dzi:

1

+ 2λ

2

+ · · · + nλ

n

= n

Twierdzenie 13 (Cauchy’ego). Je´

sli 1λ

1

+ 2λ

2

+ · · · + nλ

n

= n, w´

owczas liczba

permutacji typu 1

λ

1

2

λ

2

. . . n

λ

n

jest r´

owna

h(λ

1

, ..., λ

n

) =

n!

1

λ

1

2

λ

2

. . . n

λ

n

λ

1

2

!...λ

n

!

Dow. ...

background image

10

A. PAWE L WOJDA

4.1.3. Liczba podzia l´

ow zbioru.

Definicja 2. Rodzina

5

{A

i

}

i=1,...,n

jest podzia lem zbioru X je˙zeli:

(1) X =

S

i=1,...,n

A

i

,

(2) A

i

∩ A

j

dla i 6= j.

Definicja 3. Podzia l zbioru n-elementowego jest typu 1

λ

1

2

λ

2

...n

λ

n

je´

sli zawiera λ

i

zbior´

ow liczno´

sci i (dla i = 1, ..., n).

Uwaga: Je´

sli istnieje podzia l n-elementowego zbioru typu 1

λ

1

2

λ

2

...n

λ

n

, w´

owczas

1

+ 2λ

2

+ ... + nλ

n

= n.

Twierdzenie 14. Je´

sli 1λ

1

+ 2λ

2

+ ... + nλ

n

= n w´

owczas liczba podzia l´

ow typu

1

λ

1

2

λ

2

...n

λ

n

dana jest wzorem

P (λ

1

, ..., λ

n

) =

n!

λ

1

2

!...λ

n

!(1!)

λ

1

(2!)

λ

2

. . . (n!)

λ

n

Dow. ...

4.1.4. Liczby Stirlinga II rodzaju.

Definicja 4. Liczb

,

a Stirlinga II rodzaju nazywamy S(n, k) – liczb

,

e podzia l´

ow zbioru

n-elementowego na k podzbior´

ow niepustych.

Twierdzenie 15.

S(n, k) =

X

λ

1

+...+λ

n

=k; λ

1

+...+nλ

n

=n

n!

λ

1

2

!...λ

n

!(1!)

λ

1

(2!)

λ

2

. . . (n!)

λ

n

Twierdzenie 16. (Zale˙zno´

c rekurencyjna dla liczb Stirlinga II rodzaju)

(1) S(n, n) = 1 (dla n ≥ 0),
(2) S(n, 0) = 0 dla n > 0,
(3) S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + kS(n − 1, k) dla 0 < k < n

Dow. ...

4.2. Arytmetyka modularna.

4.2.1. Twierdzenie o dzieleniu liczb ca lkowitych i jego konsekwencje.

Twierdzenie 17. Dla dowolnych liczb ca lkowitych a i b, b > 0 istniej

,

a jednoznacz-

nie wyznaczone liczby q, r ∈ Z takie, ˙ze a = bq + r, przy czym 0 ≤ r < b.

Liczby q oraz r nazywamy, odpowiednio, ilorazem i reszt

,

a dzielenia a przez b.

Warto podkre´

sli´

c, ˙ze twierdzenie 17 nie jest tym, kt´

ore wi

,

ekszo´

c student´

ow

pami

,

eta ze szko ly

6

.

owimy, ˙ze d jest najwi

,

ekszym wsp´

olnym dzielnikiem liczb ca lowitych a i

b je˙zeli

• d|a i d|b oraz
• dla ka˙zdego c ∈ Z: c|a ∧ c|b ⇒ c|d

5

Inaczej: zbi´

or zbior´

ow.

6

Sprawd´

z, jaki jest wynik dzielenia liczby −9 przez 7?

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

11

Algorytm Euklidesa
Niech a, b ∈ Z, a, b 6= 0.
Tworzymy rekurencyjnie ci

,

ag (r

n

):

r

0

= a, r

1

= b

r

n−1

= q

n

r

n

+ r

n+1

, gdzie 0 ≤ r

n+1

< r

n

.

Twierdzenie 18. Niech a, b ∈ Z, a, b 6= 0. Istnieje takie k ca lkowite, ˙ze r

k

6= 0,

r

k+1

= 0 (gdzie ci

,

ag (r

n

) jest wyznaczony przy pomocy algorytmu Euklidesa). Co

wi

,

ecej, mamy w´

owczas r

k

=NWD(a, b).

background image

12

A. PAWE L WOJDA

5. Wyk lad 5 - 31.III.2010

5.1. Arytmetyka modularna c.d.

Twierdzenie 19 (O postaci NWD). Niech a, b ∈ Z nie r´

owne r´

ownocze´

snie zero.

owczas

N W D(a, b) = min{c > 0 : c = αa + βb, α, β ∈ Z}

Dow. ...
Uwaga. Zauwa˙zmy, ˙ze dzi

,

eki twierdzeniu 19 oraz algorytmowi Euklidesa, dla

dowolnych liczb ca lkowitych a i b umiemy nie tylko efektywnie policzy´

c ich NWD,

ale tak˙ze przedstawi´

c w postaci

d = αa + βb

W najbli˙zszej przesz lo´

sci ta umiej

,

etno´

c bardzo nam si

,

e przyda.

Definicja 5. M´

owimy, ˙ze dwie liczby ca lkowite a i b s

,

a wzgl

,

ednie pierwsze, je´

sli

N W D(a, b) = 1.
Piszemy w´

owczas a ⊥ b.

5.2. Grupy.

5.2.1. Przypomnienie poj

,

ecia grupy. Zbi´

or G z dzia lanem ∗ nazywamy grup

,

a je˙zeli

∗ jest w G dzia laniem

• l

,

acznym,

• posiadaj

,

acym element neutralny e, oraz

• takim, ˙ze dla dowolnego g ∈ G istnieje g

0

∈ G spe lniaj

,

acy

g ∗ g

0

= g

0

∗ g = e

(element odwrotny elementu g).

Je´

sli dzia lanie ∗ jest w G przemienne, w´

owczas G nazywamy przemienn

,

a lub

abelow

,

a.

Przyk lady: grupa Kleina, Z

n

(dla r´

o˙znych n).

5.2.2. Grupy Z

n

. D lu˙zsz

,

a chwil

,

e po´

swi

,

ecili´

smy zbiorowi Z

n

(n naturalne i wi

,

eksze

od 1) z dzia laniem mno˙zenia. Do´

c oczywistym jest, ˙ze elementem neutralnym

dla mno˙zenia w Z

n

jest 1. Latwo si

,

e okaza lo, ˙ze dla niekt´

orych n do niekt´

orych

element´

ow Z

n

nie ma element´

ow odwrotnych. Tak wi

,

ec, cho´

c dla dodawania Z

n

zawsze jest grup

,

a przemienn

,

a, dla mno˙zenia nigdy grup

,

a nie jest (bo 0 nie ma

elementu odwrotnego). Postanowili´

smy tak zmodyfikowa´

c Z

n

, by jednak grup

,

e

multyplikatywn

,

a (t.j. z dzia laniem mno˙zenia) otrzyma´

c. Rych lo okaza lo si

,

e, ˙ze

z Z

n

nie wystarczy usun

,

c zera. Na szcz

,

scie uda lo si

,

e udowodni´

c nast

,

epuj

,

ace

twierdzenie.

Twierdzenie 20. Element a ∈ Z

n

ma w Z

n

element odwrotny ze wzgl

,

edu na

mno˙zenie wtedy i tylko wtedy gdy a ⊥ n

Dow. ...
St

,

ad ju˙z tylko krok do nast

,

epnego, wa˙znego twierdzenia.

Twierdzenie 21. Niech Z

b

,

edzie zbiorem element´

ow Z

n

wzgl

,

ednie pierwszych z

n. W´

owczas Z

n

jest grup

,

a przemienn

,

a z mno˙zeniem.

Uwaga. Znowu, dzi

,

eki algorytmowi Euklidesa, umiemy do dowolnego elementu

a ∈ Z

n

efektywnie znale´

c element odwrotny.

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

13

5.2.3. Chi´

nskie Twierdzenie o Resztach.

Twierdzenie 22 (Sun Ze ok. 450 r.). Niech a, b, n, k b

,

ed

,

a liczbami ca lkowitymi,

n, k > 0, n ⊥ k. W´

owczas istnieje dok ladnie jedno rozwi

,

azanie x

0

∈ Z, 0 ≤ x

0

< nk

uk ladu r´

owna´

n:



x

a

( mod n)

x

b

( mod k)

Co wi

,

ecej, ka˙zde rozwi

,

azanie tego uk ladu r´

o˙zni si

,

e od x

0

o wielokrotno´

c nk.

Dow. ... (Warto zna´

c, bo zawiera algorytm roawi

,

azywania uk lad´

ow modular-

nych, o kt´

orych m´

owi twierdzenie!)

Na koniec wyk ladu by la anegdota o cesarzu (chi´

nskim), a de facto pewne za-

stosowanie twierdzenia do policzenia liczno´

sci zbioru, bez liczenia wszystkich jego

element´

ow.

background image

14

A. PAWE L WOJDA

6. Wyk lad 6 - 21.IV.2010

Uwaga: Napis DOM! na marginesie oznacza, ˙ze zdanie podane w tek´

scie

pozostawione zosta lo do udowodnienia (ca lkowicie lub cz

,

sciowo) w domu lub na

´

cwiczeniach.

6.1. Grupy c.d.

6.1.1. Homomorfizmy grup. Niech (G; ∗) i (H, ◦) b

,

ed

,

a grupami. Odwzorowanie

φ : G → H nazywamy homomorfizmem grup je´

sli dla wowolnych a, b ∈ G

spe lniony jest warunek

φ(a ∗ b) = φ(a) ◦ φ(b)

Je´

sli, dodatkowo, φ jest bijekcj

,

a, w´

owczas homomorfizm ten nazywamy izomorfi-

zmem. W´

owczas grupy nazywamy izomorficznymi.

Przyk lad. Sprawdzili´

smy, ˙ze

φ : Z

5

3 k → k ∈ Z

nie jest homomorfizmem, za´

s

ψZ 3 k → k

[5]

∈ Z

5

homomorfizmem jest

7

.

Inne przyk lady te˙z by ly.

6.1.2. Podgrupy. Niech (G; ∗) b

,

edzie grup

,

a. H ⊂ G jest podgrup

,

a grupy G je´

sli

H z dzia laniem ∗

|

H

(czyli z dzia lanie ∗ zacie´

snionym do zbioru H) jest grup

,

a.

Przyk lad. {0, 2, 4, 6} jest podgrup

,

a grupy Z

8

(addytywnej).

Q, Z s

,

a podgrupami addytywnej grupy R.

Przyk lad. Sprawdzili´

smy, ˙ze grupa Kleina jest izomorficzna z pewn

,

a podgrup

,

a

grupy permutacji czterech element´

ow a tak˙ze, ˙ze grupa izometrii sze´

scianu wykonal-

DOM!

nych bez zniszczenia tego sze´

scianu, jest podgrup

,

a grupy permutaci zbioru o´

smio-

elementowego (wierzcho lk´

ow sze´

scianu).

Twierdzenie 23. Niech G b

,

edzie grup

,

a multyplikatywn

,

a, H ⊂ G, H 6= ∅. H jest

podgrup

,

a grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych element´

ow a, b ∈ H

ab

−1

∈ H

Dow... co´

s chyba m´

owi lem, ale bardzo szybko, a wi

,

ec −→...

DOM!

Krotno´

c i pot

,

ega elementu w grupie.

Niech G b

,

edzie grup

,

a addytywn

,

a. Krotno´

c elementu a ∈ G definiujemy nast

,

epuj

,

aco.

(1) 0a = 0

Nale˙zy zwr´

oci´

c uwag

,

e na fakt, ˙ze 0 z lewej strony r´

owno´

sci oznacza liczb

,

e

ca lkowit

,

a 0, za´

s 0 z prawej strony r´

owno´

sci jest elementem neutralnym

grupy G. Mog

,

a to by´

c (i na og´

o l s

,

a) zupe lnie r´

o˙zne elementy, kt´

ore ozna-

czamy tym samym symbolem.

(2) Dla n ∈ N:

(n + 1)a = na + a

7

Przez k

[n]

oznaczamy reszt

,

e z dzielenia k przez n (inaczej m´

owi

,

ac, obcinamy k modulo n).

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

15

(3) Dla n ∈ Z, n < 0:

na = (−n)(−a)

Je´

sli H jest grup

,

a multyplikatywn

,

a, w´

owczas definiujemy pot

,

egi ca lkowite elementu

a ∈ H.

(1) a

0

= 1

1 oznacza tu oczywi´

scie element neutralny grupy H.

(2) Dla n ∈ N:

a

n+1

= a · a

n

(3) Dla n ∈ Z i n < 0:

a

n

= (a

−1

)

−n

Uwaga 1. Zbi´

or wszystkich ca lkowitych krotno´

sci pewnego elementu a dowolnej

grupy addytywnej jest podgrup

,

a tej grupy.

Podobnie:
Zbi´

or wszystkich ca lkowitych pot

,

eg elementu a grupy multyplikatywnej jest podgrup

,

a.

DOM!

Podgrup

,

e pot

,

eg elementu a (w grupie multyplikatywnej) nazywamy podgrup

,

a

generowan

,

a przez ten element. Oczywi´

scie rz

,

ad elementu i rz

,

ad podgrupy gene-

rowanej przez ten element s

,

a identyczne.

Rz

,

ad elementu w grupie.

Niech G b

,

edzie grup

,

a multyplikatywn

,

a, a ∈ G.

owimy, ˙ze a jest rz

,

edu k je˙zeli

k = min{n ∈ N − {0} : a

n

= 1}

Zauwa˙zyli´

smy, ˙ze w Z

8

rz

,

ad elementu 2 jest r´

owny 4 (przenosz

,

ac przy okazji

poj

,

ecie rz

,

edu na grupy addytywne).

W grupie Z ˙zaden, poza 0, element nie ma rz

,

edu (w takiej sytuacji m´

owimy tak˙ze,

˙ze rz

,

edem elementu jest ∞).

Twierdzenie 24. W dowolnej grupie sko´

nczonej G ka˙zdy element ma rz

,

ad sko´

nczony.

Dow. ...

6.1.3. Grupy transformacji i Twierdzenie Cayleya. Niech X b

,

edzie dowolnym zbio-

rem niepustym.

Ka˙zd

,

a podgrup

,

e grupy S(X) permutacji zbioru X nazywamy

grup

,

a transformacji.

Przyk lady ...

Twierdzenie 25 (Cayley). Ka˙zda grupa jest izomorficzna z pewn

,

a grup

,

a transfor-

macji.

Dow. ...

background image

16

A. PAWE L WOJDA

7. Wyk lad 7 - 28.IV.2010

Uwaga: Egzamin I termin: 22 czerwca 2010 w U2

Godz. 9.00

7.1. Grupy c.d.c.d.

7.1.1. Twierdzenie Lagrange’a.

Twierdzenie 26 (Lagrange’a). Niech H b

,

edzie podgrup

,

a grupy sko´

nczonej G, a =

|H|, b = |G|. W´

owczas a|b.

Definicja 6 (Przystawanie modulo p´

o lgrupa). Niech H b

,

edzie podgrup

,

a grupy G,

a, b ∈ G. M´

owimy, ˙ze a przystaje do b modulo H (piszemy a ≡ b (mod H) lub

aR

H

b) je˙zeli ab

−1

∈ H.

Lemat 27. Je˙zeli H jest podgrup

,

a G w´

owczas relacja przystawania modulo H jest

w G relacj

,

a r´

ownowa˙zno´

sci.

Lemat 28. Niech G b

,

edzie dowoln

,

a grup

,

a, za´

s H jej podgrup

,

a. W´

owczas klas

,

a

elementu neutralnego grupy G modulo H jest zbi´

or H.

Lemat 29. Niech G b

,

edzie dowoln

,

a grup

,

a, za´

s H jej podgrup

,

a. W´

owczas dowolne

dwie klasy r´

ownowa˙zno´

sci modulo H s

,

a r´

ownoliczne (bijektywne)

8

.

Oczywi´

scie twierdzenie Lagrange’a wynika natychmiast z lematu 29.

7.1.2. Wnioski z twierdzenia Lagrange’a.

Wniosek 30. Ka˙zdy element grupy sko´

nczonej G ma rz

,

ad b

,

ed

,

acy dzielnikiem rz

,

edu

grupy G.

Twierdzenie 31 (Eulera). Je´

sli liczby naturalne a, n s

,

a wzgl

,

ednie pierwsze, w´

owczas

a

ϕ(n)

≡ 1 (mod n)

Twierdzenie 32 (Ma le Twierdzenie Fermata). Je´

sli p jest liczb

,

a pierwsz

,

a, a ∈ Z,

to

a

p

≡ a( mod p)

7.2. Kwadratowe residua modulo.

Twierdzenie 33. Niech p b

,

edzie liczb

,

a pierwsz

,

a i niech a ∈ Z

p

. W´

owczas a ma

co najwy˙zej dwa pierwiastki kwadratowe w Z

p

.

Niech n ∈ N, a ∈ Z

n

. M´

owimy, ˙ze a jest kwadratowym residuum modulo

n, je˙zeli istnieje b ∈ Z

n

takie, ˙ze a = b

2

(mod n).

Twierdzenie 34. Niech p ∈ N b

,

edzie liczb

,

a pierwsz

,

a, p ≡ 3 (mod 4) i niech a

b

,

edzie residuum kwadratowym w Z

p

. W´

owczas pierwiastkami kwadratowymi a z Z

p

s

,

a a

p+1

4

(mod p) oraz −a

p+1

4

(mod p).

8

W przypadku gdy G jest grup

,

a sko´

nczon

,

a oznacza to, ˙ze dowolne dwie klasy r´

ownowa ˙zno´

sci

modulo H maj

,

a tak

,

a sam

,

a liczb

,

e element´

ow.

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

17

7.3. Zasady kryptografii z kluczem publicznym. Wyobra´

zmy sobie, ˙ze mamy

trzy osoby: Alicj

,

e, Boba i Ew

,

e. Alicja chce przesla´

c Bobowi pewne informacje

tak, by Ewa (ani nikt inny poza Bobem) nie m´

og l odgadn

,

c ich tre´

sci mimo, ˙ze

informacje te przekazywane s

,

a w spos´

ob jawny

9

. Warto w tym miejscu zda´

c sobie

spraw

,

e, ˙ze ka˙zd

,

a informacj

,

e mo˙zna traktowa´

c jako liczb

,

e. Standardowym zapisem

jest powszechnie znany kod ASCII kt´

ory mo˙zna z latwo´

sci

,

a zdoby´

c, na przyk lad

za pomoc

,

a internetu (w kodzie tym ka˙zdemu znakowi odpowiada 3-cyfrowa liczba,

a to 097, spacja to 032, o to 111 itd). Kod ASCII ma jednak oczywist

,

a wad

,

e:

wszyscy go znaj

,

a, a w ka˙zdym razie wiedz

,

a jak sie w niego zaopatrzy´

c. Tak wi

,

ec

Alicja i Bob b

,

ed

,

a musieli przesy lane dane zaszyfrowa´

c (funkcj

,

e szyfruj

,

ac

,

a oznacza´

c

b

,

edziemy przez E

10

, na dodatek wychodz

,

ac z za lo˙zenia, ˙ze wszystkie przesy lane

wiadomo´

sci s

,

a pods luchiwane (przez Ew

,

e).

By osi

,

agn

,

c sw´

oj cel, Alicja i Bob b

,

ed

,

a post

,

epowali wed lug nast

,

epuj

,

acego sche-

matu:

1

Bob znajduje funkcj

,

e koduj

,

ac

,

a (szyfruj

,

ac

,

a) E oraz dekoduj

,

ac

,

a D,

a wi

,

ec takie by D(E(l)) = l

2

Bob przesy la tekstem otwartym (Ewa widzi przekaz) funkcj

,

e E Alicji

3

Alicja koduje informacj

,

e kt´

or

,

a chce przes la´

c Bobowi wed lug

otrzymanej przez niego instrukcji (t

,

e instrukcje zna tak˙ze Ewa).

Inaczej m´

owi

,

ac Alicja oblicza warto´

c m = E(l)

4

Alicja wysy la Bobowi m

(Ewa oczywi´

scie tak˙ze widzi przesy lan

,

a informacj

,

e)

5

Bob liczy D(m) i poznaje tre´

c przesy lki Alicji

Wydaje si

,

e, ˙ze znalezienie w tej sytuacji skutecznej metody szyfrowania chroni

,

acej

przesy lane informacje przed niezdrow

,

a

11

ciekawo´

sci

,

a Ewy b

,

edzie bardzo trudne.

Okazuje si

,

e, ˙ze taka metoda istnieje, cho´

c opiera si

,

e na bardzo, na poz´

or, kruchej

podstawie. T

,

a podstaw

,

a jest przekonanie (hipoteza), ˙ze nie istnieje skuteczna me-

toda faktoryzacji liczb naturalnych. Rzeczywi´

scie, cho´

c pomno˙zenie r

,

ecznie, a wi

,

ec

bez u˙zycia komputera dw´

och du˙zych, powiedzmy o 500 pozycjach dziesi

,

etnych liczb,

wydaje si

,

e czynno´

sci

,

a k lopotliw

,

a, wymagaj

,

ac

,

a du˙zej ilo´

sci czasu i papieru, dla kom-

putera jest proste i odbywa si

,

e w mgnieniu oka, daj

,

ac w rezultacie liczb

,

e o 1000

miejscach dziesi

,

etnych. Nawet naszemu domowemu komputerowi taka czynno´

c

zajmie mniej ni˙z sekund

,

e. Je´

sli jednak odwr´

ocimy zagadnienie, czyli je´

sli otrzy-

mamy 1000-pozycyjn

,

a liczb

,

e n = pq, gdzie p i q s

,

a nieznanymi nam liczbami pierw-

szymi, i zadanie nasze b

,

edzie polega lo na znalezieniu p i q, to b

,

edziemy musieli

wykona´

c liczb

,

e dziele´

n (pr´

ob) rz

,

edu 10

500

, co nawet najszybszemu komputerowi

zajmie niewyobra˙zaln

,

a ilo´

c czasu

12

. Na dodatek, gdyby wynaleziono komputery o

wiele szybsze ni˙z znane do tej pory, wystarczy zwi

,

ekszy´

c liczb

,

e cyfr znacz

,

acych n

9

Rozszyfrujmy kilka spraw. Dlaczego Alicja, Bob i Ewa? To proste. Alicja, bo na liter

,

e A,

Bob bo na liter

,

e B, E bo po angielsku pods luchiwacz to eavesdropper (a wi

,

ec na liter

,

e E, jak Ewa

(Eve)). Rozs

,

adnie jest tak˙ze za lo˙zy´

c, ˙ze wszystkie przesy lane informacje mog

,

a by´

c ´

sledzone. Czy˙z

nie tak jest gdy wyjmujemy pieni

,

adze z bankomatu lub, w jeszcze wi

,

ekszym stopniu, gdy p lacimy

za zakupy dokonywane za po´

srednictwem internetu?

10

E od angielskiego encoding

11

A przede wszystkiem niebezpieczn

,

a dla Alicji i Boba!

12

Sam sprawd´

z. Przyjmij, ˙ze jedno dzielenie wymaga 1 mikrosekundy, a dla u latwienia obli-

cze´

n, ˙ze minuta ma 100 sekund, doba 100 godzin, rok 1000 dni.

background image

18

A. PAWE L WOJDA

z 1000 do 2000 by liczba operacji potrzebnych do znalezienia faktoryzacji wzros la
10

1000

krotnie.

Poni˙zej poka˙zemy w jaki spos´

ob rozwa˙zania na temat z lo˙zono´

sci obliczeniowej

mno˙zenia i znajdowania rozk ladu liczb na czynniki pierwsze mog

,

a by´

c przydatne

w kryptografii.

7.4. Metoda Rabina. Metod

,

e kodowania Rabina

13

mo˙zna opisa´

c nast

,

epuj

,

aco.

Niech n b

,

edzie ustalon

,

a, wystarczaj

,

aco du˙z

,

a (powiedzmy 300-cyfrow

,

a) liczb

,

a.

Funkcj

,

a koduj

,

ac

,

a jest

E(l) = l

2

( mod n)

Oznacza to tyle, ˙ze Bob prze´

sle Alicji liczb

,

e n i funkcj

,

e koduj

,

ac

,

a. Alicja obliczy

l

2

(mod n), prze´

sle t

,

e informacje Bobowi. Ewa, pods luchiwaczka, b

,

edzie zna la

zar´

owno l

2

jak i n, a jednak, z powod´

ow opisanych wy˙zej, nie b

,

edzie w stanie obli-

czy´

c l. Zauwa˙zmy. ˙ze tak ´

swietnie licz

,

ace pierwiastki kalkulatory (czy komputery)

s

,

a w tej sytuacji zupe lnie bezu˙zyteczne. Na przyk lad gdyby´

smy obliczyli przy po-

mocy kalkulatora

10 to otrzymaliby´

smy 3.1621..., co nijak ma si

,

e do pierwiastka

z 10 (mod 13) (dwie liczby daj

,

a w kwadracie 10 (mod 13), mianowicie 6 i 7). Jak

to jednak mo˙zliwe, ˙ze Bob b

,

edzie w stanie zrobi´

c to, czego nie jest w stanie uczyni´

c

Ewa, to znaczy obliczy´

c l?

Oto opis metody.

(1) Bob wybiera dwie du˙ze liczby pierwsze p i q takie, by p ≡ q ≡ 3 (mod 4).

Nast

,

epnie oblicza n = pq i przesy la Alicji (a wszystko to podgl

,

ada Ewa).

(2) Alicja konwertuje swoj

,

a wiadomo´

c w kodzie ASCII otrzymuj

,

ac liczb

,

e l i

oblicza m = l

2

(mod n). Nast

,

epnie przesy la Bobowi m. Ewa widzi m, zna

ju˙z n, nie umie jednak obliczy´

c p i q, bo to jest w la´

snie trudny problem

faktoryzacji.

(3) Bob znajduje pierwiastki z m obliczaj

,

ac wpierw a = m

p+1

4

(mod p), b =

−m

p+1

4

(mod p), c = m

q+1

4

(mod q) oraz d = −m

q+1

4

(mod q), a nast

,

epnie

rozwi

,

azuj

,

ac cztery uk lady r´

owna´

n modularnych:



x

a

(mod p)

x

c

(mod q)



x

a

(mod p)

x

d

(mod q)



x

b

(mod p)

x

c

(mod q)



x

b

(mod p)

x

d

(mod q)

Uk lady r´

owna´

n modularnych maj

,

a jednoznaczne rozwi

,

azania modulo n = pq

dzi

,

eki lematowi chi´

nskiemu. Otrzymamy wi

,

ec a˙z cztery rozwiazania, cho´

c wiemy,

˙ze dobre jest tylko jedno z nich. To jednak, by w´

sr´

od rozwi

,

aza´

n odr´

o˙zni´

c w la´

sciwe

b

,

edzie dla Boba bardzo proste. Po przej´

sciu z kodu ASCII na litery otrzyma jedn

,

a

wiadomo´

c sensown

,

a i trzy ci

,

agi znak´

ow nie maj

,

acych sensu.

Przyk lad. Alicja ma wiadomo´

c w = 15. Bob wybiera n = 209 = 11 · 19

(zauwa˙zmy, ˙ze 11, 19 ≡ 3 (mod 4).
Alicja liczy: 15

2

= 225 ≡ 16 (mod 209)

i przesy

,

a Bobowi, kt´

ory oblicza:

16

11+1

4

= 16

3

≡ 5

3

≡ 25 · 5 ≡ 3 · 5 = 15 ≡ 4 (mod 11)

16

19+1

4

= 16

5

= 16

2

·16

2

·16 = 256·256·16 ≡ 9·9·16 = 81·16 ≡ 5·16 ≡ 5·16 = 80 ≡ 4

(mod 19)

13

Nazwa od tw´

orcy metody: Michaela Rabina

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

19

Bob rozwi

,

azuje teraz (oczywi´

scie korzystaj

,

ac z chi´

nskiego twierdzenia o resztach)

cztery uk lady r´

owna´

n modularnych:



x

4

(mod 11)

x

4

(mod 19)



x

4

(mod 11)

x

15

(mod 19)



x

7

(mod 11)

x

4

(mod 19)



x

7

(mod 11)

x

15

(mod 19)

Rzeczywi´

scie, latwo sprawdzi´

c, ˙ze jeden z tych uk lad´

ow ma rozwi

,

azanie, r´

owne 15.

background image

20

A. PAWE L WOJDA

8. Wyk lad 8 - 5.V.2010

8.1. Metoda RSA. O ile metoda Rabina wykorzystuje Ma le Twierdzenie Fer-
mata, to metoda RSA

14

opiera si

,

e na twierdzeniu Eulera.

Opis metody RSA.

(1) Bob:

(a) Znajduje 2 du˙ze liczby pierwsze p, q, liczy n = pq oraz ϕ(n) = (p −

1)(q − 1).

(b) Wybiera (dowolne) e ∈ Z


ϕ(n)

(a wi

,

ec e jest wzgl

,

ednie pierwsze z ϕ(n)).

(c) Oblicza d = e

−1

w Z


ϕ(n)

.

(2) Ewa: Widzi! Widzi zar´

owno n jak i e. Wie tak˙ze jaka jest funkcja szy-

fruj

,

aca.

(3) Alicja:

(a) Liczy l = m

e

(mod n)

(b) Wysy la l Bobowi.

Bob: Liczy

(6)

l

d

= (m

e

)

d

≡ m

Prawdziwo´

c wzoru 6 wymaga uzasadnienia. Oto one.

(a) Przypadek: m ⊥ n. Skoro ed ≡ 1 (mod ϕ(n)) mamy: ed = 1 + kϕ(n)

(gdzie n jest pewn

,

a liczb

,

a ca lkowit

,

a. W´

owczas

m

ed

= m

1+kϕ(n)

= m(m

ϕ(n)

)

k

≡ m( mod n)

(b) Przypadek: m i n nie s

,

a wzgl

,

ednie pierwsze. Wtedy albo p|m albo q|m

(gdyby p|m i q|m to mieliby´

smy sprzeczno´

c z za lo˙zeniem, ´

ze m < n

15

).

Za l´

o˙zmy, ˙ze p|m oraz q 6 |m.

Mamy teraz: m

ed

= m

1+k(p−1)(q−1)

= m(m

q−1

)

k(p−1)

. Ale q ⊥ m (bo

q jest liczb

,

a pierwsz

,

a i q nie dzieli m). Wiemy ˙ze, ϕ(q) = q − 1. A

wi

,

ec m

ed

≡ m · 1

k(p−1)

= m (mod q).

Ostatecznie otrzymali´

smy

m

ed

≡ m (mod q)

Mamy tak˙ze

m

ed

≡ m (mod p)

(bo m ≡ 0 (mod p). Z chi´

nskiego twierdzenia o resztach m jest jedy-

nym rozwi

,

azaniem uk ladu r´

owna´

n

m ≡ l

d

(mod q)

m ≡ 0 (mod p)

(tak czy inaczej mamy m ≡ l

d

(mod n), niezale˙znie od tego, czy m ⊥ n,

czy te˙z nie).

14

Nazwa metody od pierwszych liter nazwisk jej tw´

orc´

ow: Rivest, Shamir i Adleman.

15

Zak ladamy, ˙ze liczby szyfrowane s

,

a mniejsze od n, w przeciwnym przypadku ulega lyby

obci

,

eciu modulo n, a wi

,

ec zniekszta lceniu. Takie szyfrowanie by loby bez sensu!

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

21

8.2. Grupy c.d.

8.2.1. Lemat Burnside’a. Definicja. Niech G b

,

edzie grup

,

a multyplikatywn

,

a. M´

owimy,

˙ze G dzia la na zbiorze X je´

sli jest okre´

slone odwzorowanie ϕ : G × X → X

spe lniaj

,

ace nast

,

epuj

,

ace dwa warunki (piszemy g(x) zamiast ϕ(g, x)):

(1) dla dowolnych g

1

, g

2

∈ G oraz dla ka˙zdego x ∈ X (g

1

· g

2

)(x) = g

1

(g

2

(x))

(2) dla dowolnego x ∈ X e(x) = x (gdzie e jest elementem neutralnym grupy

G).

Przyk lady: grupa Kleina jako podgrupa permutacji na zbiorze {1, 2, 3, 4}.

Twierdzenie 35. Je´

sli grupa G dzia la na zbiorze X, g ∈ G, to g jest bijekcj

,

a.

Dla grupy G dzia laj

,

acej na zbiorze X oraz el. x ∈ X stabilizatorem x nazy-

wamy

Stab x = {g ∈ G : g(x) = x}

Przyk lad ..

Twierdzenie 36. Stabilizator dowolnego elementu x ∈ X jest podgrup

,

a grupy G.

Przyk lad. Grupa obrot´

ow sze´

scianu (foremnego).

Orbit

,

a elementu x ∈ X nazywamy zbi´

or

Orb x = {g(x) : g ∈ G}

Relacja R okre´

slona przez

xRy ⇐⇒ ∃g ∈ G : g(x) = y

jest w X r´

ownowa˙zno´

sciowa.

Twierdzenie 37. Je´

sli sko´

nczona grupa G dzia la na zbiorze X, w´

owczas dla

ka˙zdego x ∈ X

|G| = |Stab x| · |Orb x|

Dow´

od.

Niech x ∈ X. Oznaczmy przez H stabilizator elementu x (czyli: H =

Stab x). Na mocy twierdzenia 36 wiemy, ˙ze H jest podgrup

,

a grupy G. Mo˙zemy

wic, podobnie jak w dowodzie twierdzenia Lagrange’a (tw. 26), rozwa˙za´

c warstwy

grupy G modulo podgrupa H (czyli zbi´

or klas abstrakcji relacji R zdefiniowanej

przez gRh ⇔ gh

−1

∈ H). Przypomnijmy, ˙ze w dowodzie twierdzenia Lagrange’a

zbi´

or warstw G modulo H oznaczyli´

smy przez G/H i wykazali´

smy, ˙ze

• Warstwa dowolnego elementu a ∈ G jest postaci Ha,
• Wszystkie warstwy s

,

a r´

ownoliczne (a poniewa˙z warstw

,

a elementu neutral-

nego jest H, w przypadku sko´

nczonym ka˙zda warstwa ma tyle samo ele-

ment´

ow co podgrupa H).

Tym razem wyka˙zemy, ˙ze ka˙zda warstwa jest r´

ownoliczna ze orbit

,

a elementu x.

Zdefiniujmy funkcj

,

e

ϕ : G/H 3 Hg → g

−1

(x) ∈ Orb x

Nim wyka˙zemy, ˙ze ϕ jest bijekcj

,

a, musimy udowodni´

c, ˙ze

• g

−1

(x) ∈ Orb x

• ϕ jest dobrze okre´slona czyli, ˙ze je˙zeli Hg = Hh, to

background image

22

A. PAWE L WOJDA

Rzeczywi´

scie, w orbicie elementu x s

,

a wzystkie warto´

sci funkcji z G na elemencie

x, no a przecie˙z g

−1

jest elementem G.

Przypu´

cmy teraz, ˙ze Hg = Hh. Poniewa˙z e ∈ H, musi w H istnie´

c taki element

f , ˙ze g = f h A wobec tego

g

−1

(x) = (f h)

−1

(x) ⇒ g

−1

(x) = (h

−1

f

−1

)(x) = h

−1

(f

−1

(x))

Ale f ∈ H, za´

s H jest stabilizatorem x, czyli f

−1

(x) = x i otrzymujemy ostatecznie

g

−1

(x) = h

−1

(x), czyli ϕ(hg) = ϕ(Hh).

• ϕ jest iniektywna: ϕ(Hg) = ϕ(Hh) ⇒ g

−1

(x) = h

−1

(x) ⇒ h ◦ g

−1

(x) =

x ⇒ hg

−1

∈ H ⇒ Hg = Hh

• ϕ jest suriektywna: Niech y ∈ Orb x. W´

owczas istnieje g ∈ G takie, ˙ze

y = g(x), a wtedy y = h

−1

(x) dla h = g

−1

, czyli y = ϕ(Hh).

Przyk lad – ilustracja funkcjonowania twierdzenia 37.
Grupa izometrii pi

,

eciok

,

ata.

Przyk lad. Grupa izometrii wykonalnych sze´

scio´

scianu: 24-elementowa

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

23

9. Wyk lad 9 - 12.V.2010

9.1. Lemat Burnside’a. Dla danej grupy G dzia laj

,

acej na zbiorze X oraz ginG

zbi´

or punkt´

ow sta lych g oznaczamy przez F ix g:

F ix g = {x ∈ X : g(x) = x}

Twierdzenie 38 (Lemat Burnside’a). Niech G b

,

edzie grup

,

a sko´

nczon

,

a dzia laj

,

a-

c

,

a na zbiorze sko´

nczonym X. W´

owczas liczba N orbit zbioru X ze wzgl

,

edu na G

wynosi

N =

1

|G|

X

g∈G

|F ix g|

Przyk lady ...

Dow´

od (metod

,

a podw´

ojnego zliczania)...

9.2. Teoria graf´

ow. Definicja grafu prostego. Rz

,

ad (ozn. |G|) i rozmiar (ozn.

k G k) grafu G. Wierzcho lki po l

,

aczone, wierzcho lki i krawdzie incydentne. Sto-

pie´

n wierzcho lka v (ozn. d

G

(v)) w grafie G.

Twierdzenie 39. Je´

sli G = (V ; E) jest grafem zwyk lym sko´

nczonym, w´

owczas

k G k=

1

2

X

v∈V

d

G

(v)

Wniosek 40. W dowolnym grafie sko´

nczonym liczba wierzcho lk´

ow stopni stopni

nieparzystych jest parzysta.

Twierdzenie 41 (O podawaniu r

,

ak

16

). W dowolnym grafie zwyk lym (prostym)

istniej

,

a co najmniej dwa wierzcho lki tego samego stopnia.

Dow. ...

Definicje trasy, ´

scie ˙zki, drogi, cyklu w grafie. Graf sp´

ojny.

Twierdzenie 42. Je´

sli graf G ma dok ladnie dwa wierzcho lki stopnia nieparzystego,

to wierzcho lki te po l

,

aczone s

,

a ´

scie˙zk

,

a (a co za tym idzie, s

,

a we wsp´

olnej sk ladowej).

Dow. ...

9.2.1. Grafy eulerowskie. Definicja multigrafu (grafu)
Definicja cyklu Eulera, graf´

ow eulerowskich. Anegdota o mostach kr´

olewieckich.

Twierdzenie 43 (Eulera). Multigraf bez wierzcho lk´

ow izolowanych jest eulerowski

wtedy i tylko wtedy gdy

(1) jest sp´

ojny,

(2) stopie´

n dowolnego wierzcho lka jest parzysty.

Dow. ...

16

Handshaking Theorem

background image

24

A. PAWE L WOJDA

10. Wyk lad 10 - 19.V.2010

10.1. Grafy eulerowskie c.d.

Wniosek 44. W multigrafie G bez wierzcho lk´

ow izolowanych istnieje (otwarta)

droga eulerowska wtedy i tylko wtedy, gdy

(1) G jest sp´

ojny,

(2) dok ladnie dwa wierzcho lki G s

,

a stopnia nieparzystego.

Dow. ...

Algorytm Fleury’ego znajdowania cyklu Eulera.
Algorytm ten znajduje cykl Eulera w grafie

17

spe lniaj

,

acym warunki twierdzenia

Eulera (graf sp´

ojny, stopnie wszystkich wierzcho lk´

ow parzyste).

Algorytm dzia la wed lug nast

,

epuj

,

acych regu l.

(1) Algorytm rozpoczyna swoje dzia lanie od dowolnego wierzcho lka u (od tego

jednak momentu ju˙z ustalonego).

(2) Tworzymy ci

,

ag ES, do kt´

orego w ka˙zdej kolejnej iteracji dopisujemy nast

,

epn

,

a

kraw

,

ed´

z e tworzonego cyklu eulerowskiego, kt´

or

,

a z kolei wyrzucamy ze

zbioru kraw

,

edzi grafu, tworz

,

ac w ten spos´

ob bie˙z

,

acy graf G

0

. Je´

sli w wy-

niku tej operacji w grafie pojawia si

,

e wierzcho lek izolowany (stopnia zero),

owczas usuwamy go tak˙ze.

Powiedzmy, ˙ze ostatnim wierzcho lkiem, do kt´

orego dotarli´

smy jest wierzcho lek

v nie izolowany w bie˙z

,

acym grafie G

0

. Niech e b

,

edzie kraw

,

edzi

,

a G

0

tak

,

a, ˙ze

• jednym z jej ko´

nc´

ow jest v a drugim, powiedzmy, w.

• G

0

− {e} jest dalej sp´

ojny (chyba, ˙ze stopie´

n v w G

0

jest r´

owny 1).

Uwaga: To, ˙ze e mo˙zna tak w la´

snie wybra´

c, udowodnimy p´

zniej.

• Do ci

,

agu ES dopisujemy e, G

0

(graf bie˙z

,

acy) zast

,

epujemy przez G

0

− {e}

(je´

sli v sta l si

,

e po tej operacji izolowany, to usuwamy go z grafu r´

ownie˙z).

Je´

sli w jest w nowym grafie G

0

izolowany, algorytm si

,

e ko´

nczy. Skonstru-

owali´

smy cykl Eulera. Je´

sli nie, kontynuujemy od wierzcho lka w.

Jest oczywistym, ˙ze algorytm si

,

e ko´

nczy, gdy graf G

0

nie ma ju˙z kraw

,

edzi, a wi

,

ec

gdy ES jest ci

,

agiem kraw

,

edzi tworz

,

acym cykl Eulera.

Pozostaje jednak wykaza´

c, ˙ze algorytm jest wykonalny, to znaczy, ˙ze w ka˙zdym

etapie mo˙zna w G

0

wybra´

c tak

,

a kraw

,

ed´

z e o ko´

ncu w v, ˙ze G

0

− {e} jest sp´

ojny

chyba, ˙ze v w G

0

− {e} jest izolowany (wtedy v tak˙ze z G

0

usuwamy i w dalszym

ci

,

agu mamy, rzecz jasna, graf sp´

ojny)

18

.

W tym celu zauwa˙zmy, ˙ze graf G

0

jest sp´

ojny (z konstrukcji) oraz, ˙ze w G

0

albo

(i) s

,

a dok ladnie 2 wierzcho lki stopnia nieparzystego (jednym z nich jest wtedy

u a drugim v),
albo

(ii) wszystkie wierzcho lki s

,

a stopnia parzystego (tak b

,

edzie jesli v = u).

W przypadku (i) do l

,

aczamy do G

0

now

,

a kraw

,

ed´

z l

,

acz

,

ac

,

a u i v (wierzcho lki stopni

nieparzystych).
W dugim przypadku nie robimy nic

19

.

W obu przypadkach w efekcie otrzymujemy graf, kt´

ory jest sp´

ojny (bo G

0

taki

17

Zamiast m´

owi´

c (pisa´

c) multigraf najcz

,

sciej m´

owimy i piszemy graf

18

Prosz

,

e zauwa ˙zy´

c, ˙ze ten dow´

od jest, niewiele ale jednak, r´

o ˙zny od tego, kt´

ory by l podany

ma wyk ladzie. Oba s

,

a dobre.

19

Czyli to, co lubimy najbardziej!

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

25

by l) i ma wszystkie wierzcho lki stopnia parzystego. Jest wi

,

ec eulerowski (na mocy

twierdzenia Eulera). Latwo stwierdzi´

c teraz, ˙ze mo˙zna tak wybra´

c e, kraw

,

ed´

z o

jednym ko´

ncu w v, by G

0

−{e} by l sp´

ojny (chyba, ˙ze d

G

0

(v) = 1, lecz ten przypadek,

to najmniejszy problem, opisany zosta l ju˙z powy˙zej).

10.2. Grafy p laskie i planarne. Definicja graf´

ow p laskich i planarnych.

Regiony. Stopie´

n regionu (podczas wyk ladu stopie´

n oznacza le inaczej, lepiej jest

jednak oznacza´

c tak jak poni˙zej, czyli przez deg R).

Twierdzenie 45 (Euler). Je´

sli G jest grafem p laskim rz

,

edu n o rozmiarze m i o

f regionach, w´

owczas

n = m − f + 2

Dow. ...
Definicja stopnia regionu: stopniem regionu deg R nazywamy d lugo´

c (liczb

,

e

kraw

,

edzi) najkr´

otszej drogi stanowi

,

acej jego brzeg.

Twierdzenie 46. Je´

sli G jest grafem p laskim o regionach R

1

, . . . , R

f

oraz rozmia-

rze m, w´

owczas

f

X

i=1

deg R

i

= 2m

background image

26

A. PAWE L WOJDA

11. Wyk lad 11 - 26.V.2010

11.1. Garfy planarne c.d. Udowodnili´

smy nast

,

epuj

,

acy wniosek z twierdzenia 45

(Eulera).

Wniosek 47. Je´

sli G jest grafem planarnym sp´

ojnym bez p

,

etli i kraw

,

edzi wielo-

krotnych rz

,

edu n, rozmiaru m i o f regionach, w´

owczas

(1) 3f ≤ 2m
(2) m ≤ 3n − 6

Wniosek 48. Grafy K

5

i K

3,3

nie s

,

a planarne.

Def. bry ly regularnej.
Siatki wielo´

scian´

ow.

Twierdzenie 49 (O bry lach plato´

nskich). Jedynymi bry lami regularnymi s

,

a czworo´

scian,

sze´

scian, o´

smio´

scian, dwunasto´

scian i dwudziesto´

scian.

Dow´

od....

Twierdzenie 50 (K. Kuratowski). Graf prosty G jest planarny wtedy i tylko wtedy
gdy nie zawiera podgraf´

ow homeomorficznych z K

5

ani z K

3,3

.

11.2. Drzewa i lasy. Drzewem nazywamy dowolny graf prosty (tzn. bez p

,

etli

i kraw

,

edzi wielokrotnych) sp´

ojny i bez cykli. Las to graf, kt´

orego ka˙zda sk ladowa

jest drzewem.

Twierdzenie 51. Graf prosty jest drzewem wtedy i tylo wtedy, gdy dowolne dwa
jego wierzcho lki po l

,

aczone s

,

a dok ladnie jedn

,

a ´

scie˙zk

,

a.

Dow´

od. ...

Twierdzenie 52. Je´

sli graf T jest drzewem, w´

owczas k T k= |T | − 1.

Dow´

od. ...

Twierdzenie 53 (O w lasno´

sciach drzew). Niech T = (V ; E) b

,

edzie grafem zwyk lym.

Nast

,

epuj

,

ace warunki s

,

a r´

ownowa˙zne.

(1) T jest drzewem.
(2) T jest sp´

ojny i dla dowolnego e ∈ E graf T − e nie jest sp´

ojny.

(3) T nie zawiera cykli i |T | =k T k +1
(4) T jest sp´

ojny i |T | =k T k +1

(5) T nie zaweiera cykli i dla dowolnych niepo l

,

aczonych wierzcho lk´

ow a, b grafu

T graf T ∪ {ab} zawiera dok ladnie jeden cykl.

Uwaga: T ∪ {ab} to graf otrzymany z T przez dodanie kraw

,

edzi ab (inaczej:

przez po laczenie wierzcho lk´

ow a i b kraw

,

edzi

,

a).

Dow. ...

Twierdzenie 54. Niech T b

,

edzie dowolnym drzewem za´

s v jego dowolnym wierz-

cho lkiem. W´

owczas istnieje taka numeracja wierzcho lk´

ow T : v = v

1

, v

2

, . . . , v

n

oraz kraw

,

edzi e

1

, e

2

, . . . , e

n−1

, ˙ze wierzcho lek v

i+1

jest po l

,

aczony z dok ladnie jed-

nym spo´

sr´

od wierzcho lk´

ow v

1

, ..., v

i−1

kraw

,

edzi

,

a e

i

.

Przyk lad...

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

27

Macierz incydencji grafu G. M = (a

ij

) nazywamy macierz

,

a incydencji grafu

G o zbiorach wierzcho lk´

ow {v

1

, . . . , v

n

} i kraw

,

edzi {e

1

, . . . , e

m

} je˙zeli

a

ij

=



1

je´

sli wierzcho lek v

i

jest jednym z ko´

nc´

ow kraw

,

edzi e

j

,

0

w przeciwnym przypadku

Przyk lad...

background image

28

A. PAWE L WOJDA

12. Wyk lad 12 - 2.VI.2010

Uwaga egzamin!

Przypominam:

Egzamin pisemny 22-go czerwca w U2, 9-12

Egzamin ustny dla s´

ob zwolnionych z pisemnego na podstawie

wysokich ocen z zalicze´

n:

22-go czerwca w B.7, na I pi

,

etrze w moim pokoju od godz. 8.00

(numeru pokoju nie pami

,

etam, jestem w nim zaledwie 12 ostatich lat, ale ka˙zde

dziecko wska˙ze)

lista szczeg´

o lowa, z orientacyjnym terminem rozpocz

,

ecia egzaminu uka˙ze si

,

e w

terminie p´

zniejszym.

II termin: 20 wrze´

snia, 9-12, w s. 1.8 paw. B7 (Czarnowiejska 70, za

budynkiem Metalurgii)

III termin: 27 wrze´

snia w s. 2.1 B7

12.1. Drzewa c.d.

Wniosek 55. Macierz incydencji drzewa rz

,

edu n jest rz

,

edu n − 1.

Dow. ...

12.2. Drzewa jako przestrzenie metryczne. Niech G b

,

edzie grafem prostym.

Odleg lo´

sci

,

a wierzcho lk´

ow a i b nazywamy liczb

,

e dist

G

(a, b) r´

own

,

a d lugo´

sci

najkr´

otszej ´

scie˙zki z a do b.

dist

G

spe lnia warunki metryki.

Ekscentryczno´

sci

,

a wierzcho lka a grafu G = (V ; E) nazywamy

Ec

G

= max{dist

G

(a, b) : b ∈ V }

Wierzcho lek centralny to wierzcho lek o ekscentryczno´

sci najmniejszej w grafie,

peryferyjny to taki, kt´

ory ma ekscentryczno´

c maksysmaln

,

a. Centrum grafu to

zbi´

or wierzcho lk´

ow centralnych.

Twierdzenie 56 (D˝

ones K˝

onig). Ka˙zde drzewo ma centrum z lo˙zone z jednego lub

dw´

och po l

,

aczonych wierzcho lk´

ow.

Dow´

od - ladny i latwy. Podczas wyk ladu nie powiedzia lem, ˙ze twierdzenie to

jako pierwszy udowodni l D˝

ones K˝

onig

20

.

12.3. Drzewa z korzeniem i drzewa binarne. Korze´

n drzewa T - dowolny,

wyr´

o˙zniony wierzcho lek.

Drzewo binarne - drzewo, w kt´

orym korze´

n jest wierzcho lkiem stopnia 2, pozo-

sta le wierzcho lki s

,

a stopnia 3 lub 1 (li´

scie)

Poziom wierzcho lka w drzewie (z korzeniem) - odleg lo´

c od korzenia.

Wysoko´

c drzewa - maksymalna odleg lo´

c wiercho lka od korzenia.

20

W

,

egierski matematyk, kt´

ory w 1935 roku opublikowa l w la´

sciwie pierwsz

,

a monografi

,

e z teorii

graf´

ow. Ta ksi

,

a˙zka jest bardzo szczeg´

olna tak´

ze dlatego, ˙ze zawiera wiele nowych twierdze´

n. St

,

ad

wi

,

ekszo´

c wynik´

ow K˝

oniga ma dat

,

e 1935. Opublikowanie jego monografii spowodowa lo ogromne

zwi

,

ekszenie zainteresowania teori

,

a graf´

ow. Pewno K˝

onig jest w znacznie wi

,

ekszym stopniu ojcem

teorii graf´

ow ni˙z Euler. Ale po co te rozwa ˙zania? Czy mo˙zna by´

c bardziej ojcem czego´

s ni˙z kto

inny? :)

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

29

Przyk lad 3. Model funkcjonowania automatu rozpoznaj

,

acego monety - drzewo bi-

narne o 9 wierzcho lkach.

Twierdzenie 57. Ka˙zde drzewo binarne ma rz

,

ad nieparzysty.

Dow. ...

Twierdzenie 58. W dowolnym drzewie binarnym T rz

,

edu n jest p =

n+1

2

li´

sci i

k =

n−3

2

wierzcho lk´

ow stopnia 3.

Twierdzenie 59. Niech T b

,

edzie drzewem binarnym o p li´

sciach i wysoko´

sci h.

owczas h ≥ dlog pe.

12.4. Dendryty. Dendrytem grafu G nazywamy podgraf T tego grafu, kt´

ory

jest drzewem i |T | = |G|.

Twierdzenie 60. Graf G jest sp´

ojny wtedy i tylko wtedy gdy ma dendryt.

ALGORYTM DRZEWO

Grafy z wagami. Problem minimalnego dendrytu. Algorytmy Kruskala i
Prima

21

znajdowania dendrytu minimalnego.

Podczas wyk ladu obieca lem, ˙ze w tych notatkach podam te algorytmy (jeszcze raz,
bo podczas wyk ladu (chyba?) poda lem) i na dodatek napisz

,

e dowody. Przepra-

szam, ale nie zd

,

a˙ze. Mam inn

,

a propozycj

,

e. T

,

e cz

,

c wyk ladu realizuj

,

e wed lug

ksi

,

a˙zki Rossa i Wrighta [6]. Je´

sli jeste´

scie ciekawi (mam nadziej

,

e, ˙ze jeste´

scie,

wiem, ˙ze nie wszyscy), zar´

owno algorytmy jak i dowody ich funkcjonowania na

stronach 382-291 tej ksi

,

a˙zki. Tam te˙z algorytm DRZEWO.

21

Zaniepokoi lo mnie, ˙ze nie wiedzia lem podczas wyk ladu kim by l Prim i w zwi

,

azku z tym, jak

nale ˙zy czyta´

c jego nazwisko. Ju˙z wiem! To ameryka´

nski matematyk (Princeton), Robert Clay

Prim (1921 - ) - chyba ˙zyj

,

acy, bo Wikipedia podaje tylko dat

,

e urodzenia. A wi

,

ec czytamy to

nazwisko po angielsku. Dowiedzia lem si

,

e tak˙ze innych, ciekawych rzeczy (w [3] - to naprawd

,

e

´

swietna ksi

,

a ˙zka!). Ot´

o˙z znacznie przed Kruskalem i Primem blisko podania algorytm´

ow znaj-

dowanie dendryt´

ow optymalnych byli czeski matematyk Otakar Bor ˙uvka (1899-1995, nad u jest

o lko, nie kropka, ale nie umiem) oraz Jan Czekanowski (1882-1965). W tym drugim przypadku

najciekawsze jest nie to, ˙ze Czekanowski byl Polakiem (innym te ˙z to si

,

e zda˙za), lecz fakt, ˙ze to

antropolog (cho´

c matematyk

,

e te ˙z studiowa l - ciekawe informacje o nim w Wikipedii).

background image

30

A. PAWE L WOJDA

13. Wyk lad 13 - 9.VI.2010

13.1. Kolorowanie wierzcho lk´

ow grafu

Liczba

chromatyczna. Kolorowaniem

wierzcho lk´

ow grafu (prostego

22

)

G = (V ; E) nazywamy dowoln

,

a funkcj

,

e

c : E → C

gdzie C jest sko´

nczonym zbiorem, nazywanym zbiorem kolor´

ow.

Kolorowanie jest w la´

sciwe je´

sli spe lnia warunek xy ∈ E ⇒ c(x) 6= c(y).

Liczba chromatyczna grafu G:

χ(G) = min{k : ∃c : E → [1, k], c - kolorowanie w la´

sciwe grafu G}

Przyk lad 4. χ(C

2k

) = 2,

χ(C

2k+1

) = 3, χ(K

n

) = n

Problem i twierdzenie o 4-kolorowalno´

sci graf´

ow planarnych (historia problemu

czterech kolor´

ow).

Przyk lady...

Definicja 7. κ(G) = max{k : G jest k − sp´

ojny}

∆(G) = max{d

G

(v) : v ∈ V }

Twierdzenie 61 (???

23

). Dla dowolnego grafu prostego G prawdziwa jest nier´

owno´

c

χ(G) ≤ ∆(G).

Dow. ...

Twierdzenie 62 (Brooks). Je´

sli G jest grafem sp´

ojnym i nie jest ani cyklem

nieparzystym ani grafem pe lnym, to χ(G) ≤ ∆(G)

Dow´

od twierdzenia Brooksa nie poda lem podczas wyk ladu.

13.2. Wielomiany chromatyczne. Oznaczmy przez d

i

liczb

,

e pokolorowa´

n w la-

´

sciwych wierzcho lk´

ow grafu (prostego) G rz

,

edu n. W´

owcza wierzcho lki G mo˙zna

pokolorowa´

c (w spos´

ob w la´

sciwy) d

i

λ

i

 kolorami. St

,

ad oczywi´

scie istnieje

(7)

P

G

(λ) =

n

X

i=1

d

i

i



o˙znych pokolorowa´

n w la´

sciwych wierzcho lk´

ow grafu G. Zauwa˙zmy, ˙ze nie istnieje

pokolowanie 0 kolorami ani wi

,

ecej ni˙z n kolorami, st

,

ad rzeczywi´

scie we wzorze (7)

sumowanie mo˙zna rozpocz

,

c od i = 0 i zako´

nczy´

c na i − n. P

G

(λ) zdefiniowane

wzorem (7) nazywamy wielomianem charakterystycznym grafu G

24

Przyk lad.

22

Mo ˙zna m´

owi´

c o kolorowaniu wierzcho lk´

ow, a tak ˙ze kraw

,

edzi, graf´

ow niekoniecznie pro-

stych, szczeg´

olnie ma to sens w przypadku kolorowania kraw

,

edzi multigraf´

ow, kraw

,

edzi i/lub

wierzcho lk´

ow graf´

ow skierowanych. O tego typu kolorowaniach nie b

,

ed

,

e jednak m´

owi l w trakcie

wyk lad´

ow.

23

To twierdzenie jest powszechnie znane, nie wiadomo kto je jako pierwszy udowodni l. W

literaturze angielskoj

,

ezycznej pisze si

,

e w takich przypadkach folclore. Mo˙ze mi kto´

s podpowie,

jak to mo ˙zna okre´

sli´

c po polsku?

24

We wzorze (7) λ oznacza r´

ownocze´

snie liczb

,

e kolor´

ow i zmienn

,

a nieokre´

slon

,

a wielomianu

(zazwyczaj oznaczan

,

a przez x). Ta podw´

ojna rola, kt´

or

,

a odgrywa tu λ formalnie jest niezupe lnoie

poprawna, nie prowadzi jednak do nieporozumie´

n.

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

31

Twierdzenie 63. P

K

n

(λ) = λ(λ − 1) · ... · (λ − n + 1)

Dow. ...

Twierdzenie 64. P

P

n

(λ) = λ(λ − 1)

n−1

Niech a i b b

,

ed

,

a dwoma wierzcho lkami nie po l

,

aczonymi w grafie G. Przez G

0

oznaczmy graf powsta ly z G przez po l

,

aczenie wierzcho lk´

ow a i b kraw

,

edzi

,

a, za´

s przez

G

00

graf powsta ly przez zast

,

apienie w G wierzcho lk´

ow a i b jednym wierzcho lkiem

c po l

,

aczonym z wszystkimi wierzcho lkami po l

,

aczonymi w G z a lub z b.

Twierdzenie 65 (Whitney).

P

G

(λ) = P

G

0

(λ) + P

G

00

(λ)

Dow. ...

Przyk lad...
Zauwa˙zyli´

smy, ˙ze twierdzenie Whitneya daje metod

,

e (co prawda kompletnie algo-

rytmicznie nieefektywn

,

a) znajdowania wielomianu chromatycznego grafu.

13.3. Kolorowanie kraw

,

edzi. Kolorowaniem krw

,

edzi grafu prostego G =

(V ; E) nazywamy dowoln

,

a funkcj

,

e

c : E → C

Kolorowanie kraw

,

edzi jest w la´

sciwe je´

sli kraw

,

edzie incydentne s

,

a r´

o˙znych kolor´

ow.

Minimaln

,

a liczb

,

e kolor´

ow konieczn

,

a do pokolorowania w la´

sciwego kraw

,

edzi grafu

G nazywamy indeksem chromatycznym i oznaczamy przez χ

0

(G).

Twierdzenie 66 (Twierdzenie Vizinga). Dla dowolnego grafu prostego

∆(G) ≤ χ

0

(G) ≤ ∆(G) + 1

Dow´

od twierdzenia Vizinga nie by l podany podczas wyk ladu.

13.4. Grafy skierowne i turnieje.

Definicja 8. Grafem prostym skierowanym nazywamy G = (V ; E), gdzie
E ⊂ V × V − {(x, x) : x ∈ V }.
Elementy zbioru V nazywamy wierzcho lkami za´

s elementy zbioru E lukami grafu

G.
Turniejem nazywamy graf skierowany w kt´

orym dowolne dwa wierzcho lki po l

,

aczone

s

,

a dok ladnie jednym lukiem.

Przyk lady.

Definicja 9. ´

Scie ˙zka o pocz

,

atku w x i ko´

ncu w y, to ci

,

ag

(x = a

1

, e

1

, a

2

, e

2

, ..., a

k−1

e

k−1

, a

k

= y)

wierzcho lk´

ow a

1

, ..., a

k

i luk´

ow e

1

, ..., e

k−1

takich, ˙ze e

i

= (a

i

, a

i+1

) dla i = 1, ..., k

oraz a

i

6= a

j

dla i 6= j.

´

Scie˙zk

,

e nazywamy hamiltonowsk

,

a (albo Hamiltona) je´

sli zawiera wszystkie wierz-

cho lki grafu.

Twierdzenie 67 (R´

edei). Ka˙zdy turniej zawiera ´

scie˙zk

,

e (skierowan

,

a) Hamiltona.

Dow. ...

background image

32

A. PAWE L WOJDA

14. Wyk lad 14 - 16.VI.2010

Terminy egzamin´

ow:

I (i oby ostatni): 22 czerwca godz. 9.00 w U2 - pisemny

Dla tych, kt´

orzy z pisemnej cz

,

sci egzaminu b

,

ed

,

a zwolnieni, cz

,

c

ustna w B7, tak ˙ze 22-go od (zapewne) 9.00

szczeg´

o ly og losz

,

e, gdy b

,

ed

,

e wiedzia l dok ladnie kto jest zwolniony

II i III termin: 20 o 9.00 i 27 wrze´

snia o 13.30 w B7

Szczerze, troch

,

e egoistycznie, ˙zycz

,

e powodzenia!!!

14.1. Turnieje -ci

,

ag dalszy.

Definicja 10. W dowolnym grafie skierowanym G oznaczamy d

+
G

(v) = |{u ∈ V :

(v, u) ∈ E}|. i nazywamy p´

o lstopniem wierzcho lka v. Je´

sli G jest turniejem,

owczas wektor (a

1

≤ a

2

≤ ... ≤ a

n

) p´

o lstopni wierzcho lk´

ow G nazywamy wekto-

rem wynik´

ow turnieju G..

Twierdzenie 68 (Landau). Ci

,

ag niemalej

,

acy (a

1

≤ a

2

≤ ... ≤ a

n

) jest wektorem

wynik´

ow pewnego turnieju wtedy i tylko wtedy gdy

k

X

i=1

a

i

n

k



dla ka˙zdego k, 1 ≤ k ≤ n, przy czym dla k = n zachodzi r´

owno´

c.

Dowodu nie b

,

ed

,

e podaswa l, cho´

c ladny. Jako ciekawostk

,

e mog

,

e jednak poda´

c,

˙ze autor twierdzenia, Landau, nie by l matematykiem.

Nie jest to tak˙ze znany

fizyk o tym nazwisku. Chodzi o biologa. Twierdzenie Landaua bywa cytowane
w pracach biologicznych. Sam czyta lem kiedy´

s prac

,

e naukow

,

a o zachowaniu ma-

kak´

ow (to takie ma lpy). Turniejami w pracy o makakach by ly walki pomi

,

edzy

makakami. Uczony bada l, czy jest jaka´

s relacja pomi

,

edzy wynikami (niegro´

znych)

walk makak´

ow a cz

,

esto´

sci

,

a wzajemnych pieszczot (polegaj

,

acymi na wzajemnym

pozbawianiu si

,

e dokuczliwych insekt´

ow).

14.2. Liczba nieizomorficznych turniej´

ow rz

,

edu n.

Twierdzenie 69. Niech σ ∈ S

n

b

,

edzie permutacj

,

a typu d = 1

d

1

2

d

2

...n

d

n

dzia laj

,

ac

,

a

na zbiorze turniej´

ow rz

,

edu n. Je´

sli σ ma cykl

25

d lugo´

sci parzystej (czyli je´

sli d

2k

> 0

dla pewnego k) |F ix σ| = 0. W przeciwnym przypadku |F ix σ| = 2

t(d)

, gdzie

t(d) =

1

2

n

X

i,j=1

(i, j)d

i

d

j

n

X

i=1

d

i

Uwaga. (i, j) to, jak pami

,

etamy, NWD(i, j). W dowodzie s

,

a wykorzystywane

lemat Burnside’a oraz twierdzenie Cauchyego. Warto wi

,

ec sobie te twierdzenia

przypomnie´

c.

Dow.

Najpierw wyka˙zemy, ˙ze gdy jeden z cykli jest parzysty, w´

owczas |F ix σ| = 0. Rze-

czywi´

scie, przypu´

cmy, ˙ze istnieje cykl (a

1

, a

2

, ..., a

2i

). Bez straty og´

olno´

sci mo˙zemy

25

Oczywi´

scie mowa tu o cyklach permutacji σ w rozk ladzie na cykle (permutacje cykliczne)

roz l

,

aczne. Pami

,

etamy, ˙ze taki rozk lad istnieje i jest jednoznaczny.

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

33

za lo˙zy´

c, ˙ze (a

1

, a

1+

i

2

) ∈ E(T ). Gdyby σ(T ) = T w´

owczas σ(a

1

, a

1+

i

2

) ∈ E(T ),

σ

2

(a

1

, a

1+

i

2

) ∈ E(T ), etc. W szczeg´

olno´

sci σ

i

2

(a

1

, a

1+

i

2

) ∈ E(T ). Tymczasem

σ

i

2

(a

1

, a

1+

i

2

) = (a

1+

i

2

, a

1

), a to jest sprzeczne z za lo˙zeniem, ˙ze T jest turniejem

(w turnieju dwa wierzcho lki s

,

a po l

,

aczone dok ladnie jednym lukiem, a nie dwoma,

przeciwnie skierowanymi lukami.

Od tego momentu b

,

edziemy zak ladali, ˙ze wszystkie cykle permutacji σ s

,

a niepa-

rzyste (inaczej: d

2

= d

4

= ... = 0).

Niech wi

,

ec b

,

edzie cykl (nieparzysty) (a

1

, ..., a

i

) permutacji σ. Na wierzcho lkach tego

cyklu mo˙zna zbudowa´

c 2

i−1

2

o˙znych turniej´

ow T

i

(rz

,

edu i) takich, ˙ze σ(T

i

) = T

i

.

Bierze si

,

e to st

,

ad, ˙ze ka˙zd

,

a ci

,

eciw

,

e tego cyklu

26

a

1

, a

α

mo˙zna nada´

c jedn

,

a z dw´

och

orientacji (kt´

ore zostaj

,

a zachowane po wzi

,

eciu na nich warto´

sci permutacji σ i jej

kolejnych pot

,

eg).

Dla wszystkich cykli d lugo´

sci (nieparzystej!) i otrzymamy 2

d

i

i−1

2

turniej´

ow T

i

ta-

kich, ˙ze σ(T

i

) = T

i

. A dla wszystkich cykli permutacji lacznie 2

P

n
i=1

d

i

i−1

2

turniej´

ow

na kt´

orych permutacja σ jest sta la.

Teraz zajmijmy si

,

e mo˙zliw

,

a orientacj

,

a luk´

ow pomi

,

edzy cyklami tej samej d lugo´

sci

i (liczb

,

e tych cykli w turnieju oznaczyli´

smy przez d

i

. Mo˙zliwo´

sci wybnoru luk´

ow

pomi

,

edzy cyklami d lugo´

sci jest i, za´

s wszystkich par

d

i

2

. Mamy wi

,

ec 2(

dj

2

)

i

mo˙zliwo´

sci.

Rozpatrzmy teraz przypadek cykli o r´

o˙znych d lugo´

sciach i oraz j, powiedzmy

(a

1

, ..., a

i

) i (b

1

, ..., b

j

). Orbita dowolnego luku, powiedzmy, dla ustalenia uwagi,

(a

1

, b

1

) ma NWW(i, j) element´

ow. Poniewa˙z za´

s tych luk´

ow pomi

,

edzy {a

1

, ..., a

i

}

a {b

1

, ..., b

j

} jest i·j, to luk´

ow o kt´

orych orientacji mo˙zemy rozstrzyga´

c dowolnie jest

i·j

NWW

(i,j)

=NWD(i, j) = (i, j) (przypominam, ˙ze (i, j) to tylko inne oznaczenie

dla NWD). Mamy wi

,

ec 2

(i,j)

mo˙zliwo´

sci.

Ostatecznie turniej´

ow T spe lniaj

,

acych σ(T ) = T jest 2

t(d)

, gdzie

t(d) =

n

X

i=1

d

i

(i − 1)

2

+

n

X

i=1

d

i

2



i +

X

1≤i<j≤n

d

i

d

j

(i, j)

a po przeliczeniach ( latwych) otrzymamy, dla dowolnej permutacji σ typu 2

d

1

...n

d

n

,

(d = (d

1

, ..., d

n

) i d

2

= ... = 0):

t(d) =

1

2

X

i,j

d

i

d

j

(i, j) −

n

X

i=1

d

i

Twierdzenie 70 (Davis). Liczba nieizomorficznych turniej´

ow T (n) rz

,

edu n dana

jest wzorem

T (n) =

X

d

2

t(d)

Q i

d

i

di!

(gdzie t(d) jest okre´

slone w twierdzeniu poprzednim, za´

s

P


d

oznacza sum

,

e po

wszystkich d spe lniaj

,

acych d

1

+ 3d

3

+ 3d

+

... + nd

n

= n oraz d

2l

= 0 dla ka˙zdego l).

26

Tu dalej mamy do czynienia z cyklem permutacji (a

1

, ..., a

i

), co nie przeszkadza nam jednak

traktowa´

c {a

1

, ..., a

i

} jako wierzcho lk´

ow turniej´

ow i budowa´

c na nich cyklu z ci

,

eciwami!

background image

34

A. PAWE L WOJDA

Dow´

od. W dowodzie wykorzystamy

• lemat Burnside’a
• twierdzenie Cauchy’ego o tym, ˙ze wszystkich permutacji typu d = 1

d

1

2

d

2

...n

d

n

jest

n!

1

d

1

d

1

!2

d

2

d

2

!...n

d

n

d

n

!

Rzeczywi´

scie, wykorzystuj

,

ac twierdzenie 69, lemat Burnside’a i twierdzenie Cau-

chy’ego (twierdzenie 13) otrzymujemy:

T (n) =

1

n!

X

σ∈S

n

|Fix σ| =

X

d

n!

1

d

1

d

1

!...n

d

n

d

n

!

2

t(d)

=

X

d

2

t(d)

Q

i

i

d

i

d

i

!

background image

MATEMATYKA DYSKRETNA 2010

35

Literatura

[1] M. Aigner i G.M. Ziegler, Dowody z Ksi

,

egi, PWN, Warszawa 2002.

[2] W.J Gilbert, W.K. Nicholson, Algebra wsp´

o lczesna z zastosowaniami, WNT, Warszawa 2008.

[3] R.P. Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics - An Appiled Introduction, Addison-

Wesley 1994.

[4] N. Koblitz, Algebraiczne aspekty kryptografii, WNT, Warszawa 2000
[5] Zb. Palka i A. Ruci´

nski, Wyk lady z kombinatoryki, WNT 2004.

[6] K.A Ross i Ch.R.B. Wright, Matematyka dyskretna, PWN 2000.
[7] E.R. Scheinerman, Mathematics - Discrete Introduction, Brooks/Cole 2000.
[8] R.J. Wilson, Wprowadzenie do teorii graf´

ow, PWN 1998.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
matematyka dyskretna w 2 id 283 Nieznany
zmienne losowe dyskretne id 591 Nieznany
Matematyka dyskretna id 283281 Nieznany
Matematyka dyskretna 3 id 28329 Nieznany
matematyka dyskretna w id 28343 Nieznany
modzel dyskretna id 780277 Nieznany
Matematyka Dyskretna 2 id 28328 Nieznany
matematyka dyskretna w 2 id 283 Nieznany
zmienne losowe dyskretne id 591 Nieznany
Matematyka dyskretna id 283281 Nieznany
matma dyskretna 05 id 287941 Nieznany
matma dyskretna 04 id 287940 Nieznany
matma dyskretna 05 id 287941 Nieznany
matma dyskretna 04 id 287940 Nieznany
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
perf id 354744 Nieznany

więcej podobnych podstron