MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
A. PAWE L WOJDA
Spis tre´
sci
1.
Wyk lad 1 - 3.III.2010
3
1.1.
Matematyka dyskretna
3
1.2.
Zasada indukcji matematycznej
3
1.3.
R´
ownania rekurencyjne
4
2.
Wyk lad 2 - 10.III.2010
5
2.1.
Wyznacznik Vandermonde’a
5
2.2.
R´
ownania rekurencyjne liniowe
5
2.3.
Metody zliczania
6
3.
Wyk lad 3 - 17.III.2010
8
3.1.
Metody zliczania c.d.
8
4.
Wyk lad 4 - 24.III.2010
9
4.1.
Metody zliczania c.dc.d.
9
4.2.
Arytmetyka modularna
10
5.
Wyk lad 5 - 31.III.2010
12
5.1.
Arytmetyka modularna c.d.
12
5.2.
Grupy
12
6.
Wyk lad 6 - 21.IV.2010
14
6.1.
Grupy c.d.
14
7.
Wyk lad 7 - 28.IV.2010
16
7.1.
Grupy c.d.c.d.
16
7.2.
Kwadratowe residua modulo
16
7.3.
Zasady kryptografii z kluczem publicznym
17
7.4.
Metoda Rabina
18
8.
Wyk lad 8 - 5.V.2010
20
8.1.
Metoda RSA
20
8.2.
Grupy c.d.
21
9.
Wyk lad 9 - 12.V.2010
23
9.1.
Lemat Burnside’a
23
9.2.
Teoria graf´
ow
23
10.
Wyk lad 10 - 19.V.2010
24
10.1.
Grafy eulerowskie c.d.
24
10.2.
Grafy p laskie i planarne
25
11.
Wyk lad 11 - 26.V.2010
26
11.1.
Garfy planarne c.d.
26
11.2.
Drzewa i lasy
26
12.
Wyk lad 12 - 2.VI.2010
28
12.1.
Drzewa c.d.
28
12.2.
Drzewa jako przestrzenie metryczne
28
1
2
A. PAWE L WOJDA
12.3.
Drzewa z korzeniem i drzewa binarne
28
12.4.
Dendryty
29
13.
Wyk lad 13 - 9.VI.2010
30
13.1.
Kolorowanie wierzcho lk´
ow grafu
Liczba chromatyczna
30
13.2.
Wielomiany chromatyczne
30
13.3.
Kolorowanie kraw
,
edzi
31
13.4.
Grafy skierowne i turnieje.
31
14.
Wyk lad 14 - 16.VI.2010
32
14.1.
Turnieje -ci
,
ag dalszy.
32
14.2.
Liczba nieizomorficznych turniej´
ow rz
,
edu n
32
Literatura
35
MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
3
1. Wyk lad 1 - 3.III.2010
1.1. Matematyka dyskretna. Przez matematyk
,
e dyskretn
,
a rozumie si
,
e dzia l ma-
tematyki, w kt´
orym nie stosuje si
,
e aparatu topologicznego, a w ka˙zdym razie w
kt´
orej ten aparat ma znaczenie raczej drugorz
,
edne
1
. Podczas wyk lad´
ow nie zoba-
czymy wi
,
ec ani pochodnych, ani ca lek. B
,
edziemy za to wykorzystywa´
c wiadomo´
sci
z algebry, teorii mnogo´
sci, teorii liczb. B
,
edziemy m´
owi´
c o kombinatoryce i teorii
graf´
ow.
Na wyk ladzie por´
ownywa lem matematyk
,
e ci
,
ag l
,
a z przemieszczaj
,
acy
,
a si
,
e wskaz´
ow-
k
,
a zegarka, za´
s matematyk
,
e dyskretn
,
a ze zmieniaj
,
ac
,
emi si
,
e cyframi zegarka elek-
tronicznego.
1.2. Zasada indukcji matematycznej. Zasada indukcji matematycznej jest stu-
dentom dobrze znana ze szko ly. Mo˙zna j
,
a sformu lowa´
c nast
,
epuj
,
aco.
Niech b
,
edzie dany ci
,
ag zda´
n (T
n
)
∞
n=k
(gdzie k jest pewn
,
a liczb
,
a naturaln
,
a).
• Je˙zeli zdanie T
k
jest prawdziwe oraz
• dla ka˙zdego n ≥ k z faktu, ˙ze T n jest prawdziwe wynika, ˙ze T
n+1
jest
prawdziwe,
w´
owczas dla wszystkich n ≥ k zdania T
n
s
,
a prawdziwe.
Zasad
,
e indukcji matematycznej mo˙zna przyj
,
a´
c jako pewnik.
My jednak za-
uwa˙zyli´
smy, ˙ze wynika ona z jeszcze latwiejszej do zaakceptowania zasady do-
brego uporz
,
adkowania zbioru liczb naturalnych. Zasada ta m´
owi, ˙ze ka˙zdy
podzbi´
or zbioru liczb naturalnych N ma element najmniejszy. W bardzo prosty
spos´
ob udowodnili´
smy, ˙ze z zasady dobrego uporz
,
adkowania zbioru liczb natural-
nych wynika zasada indukcji matematycznej.
Przyk lad 1. Wie ˙ze Hanoi (Brahmy)
Zabawka polega na tym, ˙ze dane s
,
a 3 patyczki nazwane A, B i C na podstawkach
oraz n k´
o leczek r´
o˙znej ´
srednicy z dziurkami w ´
srodku ka˙zdego. K´
o lka s
,
a na lo˙zone na
patyczek A tak, ˙ze nigdy ´
zadne wi
,
eksze k´
o lo nie le˙zy na k´
o lku mniejszym (czyli s
,
a
u lo˙zone od najwi
,
ekszego na dole do najmniejszego na wierzchu). K´
o lka przek lada
si
,
e po jednym tak, by korzystaj
,
ac z po´
sredniego patyczka B prze lo˙zy´
c wszystkie k´
o lka
na patyczek C ca ly czas trzymaj
,
ac si
,
e zasady, ˙ze nigdy k´
o lko wi
,
eksze nie mo˙ze by´
c
po lo˙zone na mniejszym.
Problem jest nast
,
epuj
,
acy: w ilu ruchach da si
,
e rozwi
,
aza´
c nasze zadanie?
Oznaczmy przez a
n
liczb
,
e koniecznych ruch´
ow przy n k´
o lkach. Z latwo´
sci
,
a stwier-
dzamy, ˙ze a
0
= 0, a
1
= 1 no i niezbyt trudno jest zauwa˙zy´
c, ˙ze a
n
= 2a
n−1
+ 1 (dla
n > 0). St
,
ad latwo obliczy´
c, ˙ze a
2
= 3, a
3
= 7, a
4
= 15. Te liczby sugeruj
,
a og´
olny
wz´
or. No i rzeczywi´
scie, indukcyjnie udowodnili´
smy, ˙ze
a
n
= 2
n
− 1
dla dowolnego n naturalnego.
Stara lem si
,
e przekona´
c s luchaczy, ˙ze to bardzo du˙zo (przek ladaj
,
ac 64 k´
o lka z szybko´
sci
,
a
1
Od tej regu ly s
,
a bardzo znacz
,
ace odst
,
epstwa. By´
c mo˙ze najcz
,
e´
sciej cytowany artyku l ma-
tematyczny, to praca dotycz
,
aca teorii graf´
ow Kazimierza Kuratowskiego charakteryzuj
,
aca grafy
planarna. Grafy to jeden z najwa˙zniejszych obiekt´
ow zainteresowa´
n matematyki dyskretnej. Ka-
zimierz Kuratowski za´
s to jeden z najwybitniejszych topolog´
ow.
4
A. PAWE L WOJDA
1 mikrosekundy jedno, mo˙zna z latwo´
sci
,
a oszacowa´
c czas potrzebny wsystkich k´
o lek
na grubo ponad 500 000 lat).
1.3. R´
ownania rekurencyjne. Niech b
,
edzie zadany ci
,
ag (a
n
) w nast
,
epuj
,
acy spos´
ob.
• Dane s
,
a warto´
sci a
0
, a
1
, ..., a
k−1
(a wi
,
ec k pierwszych wyraz´
ow ci
,
agu) oraz
wz´
or
• a
n
= f (a
n−1
, a
n−2
, ...a
n−k
), gdzie f jest pewn
,
a funkcj
,
a.
Zdefiniowany w taki spos´
ob ci
,
ag (a
n
) nazywamy rekurencyjnym stopnia k.
1.3.1. Ci
,
ag Fibonacciego. Ci
,
ag Fibonacciego
2
to z pewno´
sci
,
a najs lynniejszy ci
,
ag
rekurencyjny (drugiego stopnia). Pomijaj
,
ac tu anegdot
,
e o kr´
olikach, mo˙zna go
zdefiniowa´
c nast
,
epuj
,
aco:
• f
0
= 1
• f
1
= 1
• f
n+1
= f
n
+ f
n−1
dla n ≥ 2
Oczywi´
scie i tym razem mo˙zna z latwo´
sci
,
a wypisa´
c pierwszych kilka wyraz´
ow
ci
,
agu:
f
2
= 2, f
3
= 3, f
4
= 5, f
5
= 8, f
6
= 13, f
7
= 21, f
8
= 34, f
9
= 55, f
10
= 89
Tym razem jednak ci
,
ag kolejnych wyraz´
ow, nawet gdyby´
smy wypisali ich znacz-
nie wi
,
ecej, nie sugeruje ˙zadnego og´
olnego wzoru. Na nast
,
epnym wyk ladzie po-
znamy spos´
ob jak sobie z niekt´
orymi ci
,
agami rekurencyjnymi radzi´
c. Metoda kt´
or
,
a
poznamy obejmuje tak˙ze ci
,
ag Fibonacciego. Nie precyzuj
,
ac metody og´
olnej ci
,
ag
Fibonacciego jednak rozwi
,
azali´
smy. Okaza lo si
,
e, ˙ze
f
n
=
1
√
5
1 +
√
5
2
!
n+1
−
1 −
√
5
2
!
n+1
Tak skomplikowane rozwi
,
azanie oczywi´
scie wyja´
snia, dlaczego nie byli´
smy w
stanie odgadn
,
a´
c og´
olnego wzoru.
2
Postaci i znaczeniu Fibonacciego (1175-1250) po´
swi
,
eci lem na wyk ladzie chwilk
,
e. Warto po-
szpera´
c w wyszukiwarce i poczyta´
c o cz lowieku, kt´
ory poruszy l europejsk
,
a matematyk
,
e, napisa l
pierwsze znacz
,
ace dzie la matematyczne w Europie po 1000 lat zacofania.
MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
5
2. Wyk lad 2 - 10.III.2010
2.1. Wyznacznik Vandermonde’a. Z nast
,
epuj
,
acego twierdzenia dotycz
,
acego wy-
znacznik´
ow, b
,
edziemy korzysta´
c w najbli˙zszej przysz lo´
sci.
Twierdzenie 1.
det
1
1
...
1
x
1
x
2
...
x
n
...
x
n−1
1
x
n−1
2
...
x
n−1
n
=
Y
1≤i≤j≤n
(x
j
− x
i
)
2.2. R´
ownania rekurencyjne liniowe. R´
ownaniem rekurencyjnym linio-
wym jednorodnym stopnia k nazywamy r´
ownanie postaci
(1)
a
n
= f (a
n−1
, ..., a
n−k
)
gdzie f : R
k
→ R jest pewn
,
a funkcj
,
a liniow
,
a, oraz zadane s
,
a warto´
sci pierwszych
k wyraz´
ow ci
,
agu (a
n
), a
0
, a
1
, ..., a
k−1
. Przy tych zamych za lo˙zeniach r´
ownanie
(2)
a
n
= f (a
n−1
, ..., a
n−k
) + g(n)
Nazywamy r´
ownaniem liniowym niejednorodnym stopnia k (o funkcji g :
N → R, poza tym, ˙ze jest to funkcja okre´
slona w zbiorze liczb naturalnych i o
warto´
sciach rzeczywistych, niczego szczeg´
olnego nie zak ladamy). Dla tak og´
olnie
postawionego problemu nie b
,
edziemy w stanie tu przedstawi´
c metody rozwi
,
azania,
niemniej ta posta´
c u latwi pewne zapisy.
R´
ownaniem rekurencyjnym liniowym o sta lych wsp´
o lczynnikach jedno-
rodnym nazywamy r´
ownanie rekurencyjne postaci
(3)
a
n
= α
1
a
n−1
+ α
2
a
n−2
+ ... + α
k
a
n−k
za´
s r´
ownanie
(4)
a
n
= α
1
a
n−1
+ α
2
a
n−2
+ ... + α
k
a
n−k
+ g(n)
nazywamy r´
ownaniem rekurencyjnym liniowym o sta lych wsp´
o lczynnikach
niejednorodnym.
Dla r´
ownania (3) r´
ownanie
(5)
r
k
= α
1
r
k−1
+ α
2
r
k−2
+ ... + α
k−1
r + α
k
nazywamy r´
ownaniem charakterystycznym.
Podczas wyk ladu zauwa˙zyli´
smy nast
,
epuj
,
ace fakty.
• Je´sli dane s
,
a ci
,
agi b
,
ed
,
ace rozwi
,
azaniami r´
ownania (1), to tak˙ze dowolna
kombinacja liniowa tych ci
,
ag´
ow jest rozwi
,
azaniem (1) (inaczej m´
owi
,
ac,
zbi´
or rozwi
,
aza´
n r´
ownania (1) jest podprzestrzeni
,
a przestrzeni wszystkich
ci
,
ag´
ow rzeczywistych).
• Warunki pocz
,
atkowe (czyli warto´
sci ci
,
agu dla pierwszych k indeks´
ow) nale˙z
,
a
do k-wymiarowej podprzestrzeni przestrzeni wszystkich ci
,
ag´
ow rzeczywi-
stych.
• Dla ka˙zdego rozwi
,
azania r r´
ownania charakterystycznego (5) ci
,
ag (r
n
) jest
rozwi
,
azaniem r´
ownania (3) (pomijamy w tym rozumowaniu, na razie, wa-
runki pocz
,
atkowe).
6
A. PAWE L WOJDA
• Z twierdzenia o wyznaczniku Vandermonde’a mo˙zna wywnioskowa´
c, ˙ze
je´
sli r´
ownanie charakterystyczne (5) ma k r´
o ˙znych rozwi
,
aza´
n r
1
, r
2
, ..., r
k
,
w´
owczas rozwi
,
azanie (1) ma (jedyne) rozwi
,
azanie postaci
a
0
n
= c
1
r
n
1
+ c
2
r
n
2
+ ... + c
k
r
n
k
To oczywi´
scie oznacza, ˙ze w przypadku istnienia k r´
o˙znych pierwiastk´
ow r´
ownania
charakterystycznego problem r´
owna´
n liniowych jednorodnych o sta lych wsp´
o lczynnikach
jest teoretycznie rozwi
,
azany
3
.
Powiedzieli´
smy tak˙ze (ju˙z bez dowodu), ˙ze je´
sli r
0
jest l-krotnym rozwi
,
azaniem
r´
ownania charakterystycznego, w´
owczas takie rozwi
,
azanie dostarcza nam l nie-
zale˙znych rozwi
,
aza´
n (1), mianowicie r
n
0
, nr
n
0
, ..., n
l−1
r
n
0
.
R´
ownanie niejednorodne nauczyli´
smy si
,
e rozwi
,
azywa´
c stosuj
,
ac metod
,
e prze-
widywa´
n. Metoda ta polega na zastosowaniu nast
,
epuj
,
acego algorytmu post
,
epo-
wania.
• Metod
,
e stosujemy wy l
,
acznie do przypadku gdy w r´
ownaniu (4) funkcja g
jest postaci
g(n) = βq
n
• Przewidujemy rozwi
,
azanie postaci
a
00
n
= An
l−1
q
n
gdzie l jest krotno´
sci
,
a pierwiastka charakterystycznego q (czyli przewidu-
jemy rozwi
,
azanie postaci a
00
n
= Aq
n
je´
sli q nie jest pierwiastkiem charakte-
rystycznym).
• Teraz nadszed l moment uwzgl
,
ednienia faktu, ˙ze zadane mamy pierwsze k
wyrazy ci
,
agu: znajdujemy takie c
1
, c
2
, ..., c
k
by
a
n
= a
0
n
+ a
00
n
spe lnia ly warunki pocz
,
atkowe problemu, czyli tak, by
a
0
i
+ a
00
i
= a
i
dla i = 0, 1, ..., k − 1
Przyk lad 2. R´
ownania
a
n
− 3a
n−1
= 5 · 7
n
a
n
− 3a
n−1
= 5 · 3
n
a
0
= 4.
2.3. Metody zliczania.
3
W la´
sciwie by lby rozwi
,
azany, nie tylko teoretycznie, gdyby´
smy umieli rozwi
,
azywa´
c r´
ownania
algebraiczne. Tymczasem nie tylko tego nie umiemy, ale wiemy, ˙ze metoda rozwi
,
azywania takich
r´
owna´
n nie istnieje.
MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
7
2.3.1. Zasada w l
,
aczania-wy l
,
aczania (metoda sita).
Twierdzenie 2. (Formu la Sita
4
lub Zasada W l
,
aczania i Wy l
,
aczania) Niech
A
1
, A
2
, ..., A
n
b
,
ed
,
a zbiorami sko´
nczonymi. W´
owczas zachodzi wz´
or
|A
1
∪ A
2
∪ ... ∪ A
n
| =
X
1≤i
1
<i
2
<...<i
k
≤n
(−1)
k+1
|A
i
1
∩ A
i
2
∩ ... ∩ A
i
k
|.
Formu l
,
e sita wykazali´
smy metod
,
a indukcji matematycznej.
2.3.2. Miasta Parzyste i Nieparzyste. W mie´
scie P o 32 mieszka´
ncach kluby s
,
a
tworzone wed lug nast
,
epuj
,
acych zasad.
(i) Ka˙zdy klub ma parzyst
,
a liczb
,
e cz lonk´
ow.
(ii) Przeci
,
ecie dowolnych dw´
och klub´
ow ma parzyst
,
a liczb
,
e element´
ow.
Natomiast w mie´
scie N (tak˙ze o 32 mieszka´
ncach) kluby s
,
a tworzone wed lug tak,
by
(a) Ka˙zdy klub mia l nieparzyst
,
a liczb
,
e cz lonk´
ow.
(b) Przeci
,
ecie dowolnych dw´
och klub´
ow mia lo parzyst
,
a liczb
,
e element´
ow.
Problem. Jaka jest maksymalna liczba klub´
ow w P, a jaka w N?
Wykazali´
smy, ˙ze w P mo˙zna utworzy´
c co najmniej 2
16
≥ 65536 klub´
ow, podczas
gdy w N co najwy˙zej 32.
Bardzo si
,
e zdziwili´
smy!
Oszacowanie liczby klub´
ow w P znale´
zli´
smy stosuj
,
ac metody czysto kombinato-
ryczne. Dla oszacowania liczby klub´
ow w N stosowali´
smy podstawowe wiadomo´
sci
dotycz
,
ace wymiaru pewnej przestrzeni liniowej. Przyda la si
,
e wi
,
ec algebra liniowa.
4
Dok ladniej: ”sita Eratostenesa”. Eratostenes, (276-194 p.n.e) by l kustoszem Biblioteki Alek-
sandryjskiej i jednym z najwi
,
ekszych umys l´
ow staro ˙zytno´
sci. Sito Eratostenesa s lu ˙zy lo do ”od-
siewania” liczb pierwszych od ”plew” innych liczb. Jego innym, wielkim osi
,
agni
,
eciem by la pr´
oba
zmierzenia promienia Ziemi przez zmierzenie d lugo´
sci cieni rzucanych w po ludnie przez dwie
tyczki: jednej ustawionej w Aleksandrii, drugiej za´
s w Syene (dzisiejszy Asuan).
Wynik jaki
otrzyma l r´
o ˙zni l sie tylko o 1% od nam znanego, a by lo to w czasach kiedy w kulisto´
s´
c Ziemi
wierzy l ma lo kto!
8
A. PAWE L WOJDA
3. Wyk lad 3 - 17.III.2010
3.1. Metody zliczania c.d. Poza twierdzeniem Cantora (twierdzenie 9), o wszyst-
kich zbiorach wyst
,
epuj
,
acych poni˙zej zak ladamy, ˙ze s
,
a sko´
nczone.
3.1.1. Liczno´
s´
c zbioru par.
|A × B| = |A| · |B|
3.1.2. Wariacje z powt´
orzeniami. Niech B
A
= {f : A → B}. Wwczas
|B
A
| = |B|
|A|
(dow. indukcyjny ze wzgl
,
edu na |A| ).
3.1.3. —Wariacje bez powt´
orze´
n.
|{f : A → B|f − bijekcja}| = |B|(|B| − 1) · ... · (|B| − |A| + 1)
Wniosek 3. Liczba permutacji zbioru n elementowego: n!
3.1.4. Liczba k elementowych podzbior´
ow zbioru n elementowego. Niech
A
k
= {B ⊂
A : |B| = k}.
A
k
=
|A|
k
=
n!
k!(n − k)!
Wniosek 4.
(1) (a + b)
n
=
P
n
k=0
n
k
a
k
b
n−k
(2)
P
n
k=0
n
k
= 2
n
3.1.5. Wz´
or Cauchy’ego.
Twierdzenie 5.
p + q
m
=
m
X
k=0
p
k
q
m − k
3.1.6. Wybory z powt´
orzeniami. Wykorzystuj
,
ac model Lov´
asza-P´
elikana-Vesztera
wykazali´
smy nast
,
epuj
,
ace.
Twierdzenie 6. Istnieje dok ladnie
n+r−1
r
rozwi
,
aza´
n ca lkowitych nieujemnych
r´
ownania
x
1
+ x
2
+ ... + x
n
= r
3.1.7. Zasada Go l
,
ebnika (szufladkowa Dirichleta).
Twierdzenie 7. Niech A i B b
,
ed
,
a zbiorami sko´
nczonymi, f : A → B.
(1) Je´
sli A| > |B| w´
owczas f nie jest r´
o˙znowarto´
sciowa.
(2) Je´
sli |A| < |B| w´
owczas f nie jest suriekcj
,
a.
Wniosek 8 (Twierdzenia Erd˝
osa-Szek´
eresza). Niech n ∈ N. Ka˙zdy ci
,
ag r´
o˙znych
n
2
+ 1 liczb rzeczywistych zawiera n + 1 wyrazowy podci
,
ag monotoniczny.
Twierdzenie 9 (Cantor). Niech A b
,
edzie dowolnym (niekoniecznie sko´
nczonym!)
zbiorem. Nie istnieje suriekcja zbioru A na zbi´
or wszystkich podzbior´
ow zbioru A.
MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
9
4. Wyk lad 4 - 24.III.2010
4.1. Metody zliczania c.dc.d.
4.1.1. Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju. Przypomnieli´
smy co to jest permutacja,
jak zapisujemy permutacje w przypadku zbioru sko´
nczonego (wygl
,
ada lo na to, ˙ze
nie wszyscy wiedzieli!), co to jest cykl permutacji (permutacja cykliczna) i jak
rozk ladamy permutacj
,
e na iloczyn (z lo˙zenie) cykli.
c(n, k) - liczba permutacji zbioru n-elementowego, kt´
ore maj
,
a k cykli.
Twierdzenie 10. Niech k, n ∈ N, 0 < k ≤ n.
(1) c(n, k) = c(n − 1, k − 1) + (n − 1)c(n − 1, k).
(2) c(n, n) = 1
(3) c(n, 0) = c(0, k) = 0.
Dow. ...
Oznaczmy
[x]
n
= x(x − 1) · ... · (x − n + 2)(x − n + 1)
[x]
n
=
n
X
k=0
s(n, k)x
k
Wsp´
o lczynniki s(n, k) nazwyamy liczbami Stirlinga I-go rodzaju.
Twierdzenie 11. Niech k, n ∈ N, 0 < k < n. W´
owczas
(1) s(n, k) = s(n − 1, k − 1) − (n − 1)s(n − 1, k).
(2) s(n, n) = 1.
(3) s(n, 0) = s(0, k) = 0
Dow. ...
Twierdzenie 12. Niech n, k ∈ N, k ≤ n.
c(n, k) = (−1)
n+k
s(n, k)
Dow. ...
4.1.2. Liczba permutacji danego typu.
Definicja 1. Permutacj
,
e σ ∈ S
n
nazywamy typu 1
λ
1
2
λ
2
. . . n
λ
n
je˙zeli ma λ
i
cykli
d lugo´
sci i (w rozk ladzie kanonicznym na cykle roz l
,
aczne), dla i = 1, . . . , n.
Uwaga. Oczywi´
scie, je´
sli permutacja σ jest typu 1
λ
1
2
λ
2
. . . n
λ
n
, w´
owczas zacho-
dzi:
1λ
1
+ 2λ
2
+ · · · + nλ
n
= n
Twierdzenie 13 (Cauchy’ego). Je´
sli 1λ
1
+ 2λ
2
+ · · · + nλ
n
= n, w´
owczas liczba
permutacji typu 1
λ
1
2
λ
2
. . . n
λ
n
jest r´
owna
h(λ
1
, ..., λ
n
) =
n!
1
λ
1
2
λ
2
. . . n
λ
n
λ
1
!λ
2
!...λ
n
!
Dow. ...
10
A. PAWE L WOJDA
4.1.3. Liczba podzia l´
ow zbioru.
Definicja 2. Rodzina
5
{A
i
}
i=1,...,n
jest podzia lem zbioru X je˙zeli:
(1) X =
S
i=1,...,n
A
i
,
(2) A
i
∩ A
j
dla i 6= j.
Definicja 3. Podzia l zbioru n-elementowego jest typu 1
λ
1
2
λ
2
...n
λ
n
je´
sli zawiera λ
i
zbior´
ow liczno´
sci i (dla i = 1, ..., n).
Uwaga: Je´
sli istnieje podzia l n-elementowego zbioru typu 1
λ
1
2
λ
2
...n
λ
n
, w´
owczas
1λ
1
+ 2λ
2
+ ... + nλ
n
= n.
Twierdzenie 14. Je´
sli 1λ
1
+ 2λ
2
+ ... + nλ
n
= n w´
owczas liczba podzia l´
ow typu
1
λ
1
2
λ
2
...n
λ
n
dana jest wzorem
P (λ
1
, ..., λ
n
) =
n!
λ
1
!λ
2
!...λ
n
!(1!)
λ
1
(2!)
λ
2
. . . (n!)
λ
n
Dow. ...
4.1.4. Liczby Stirlinga II rodzaju.
Definicja 4. Liczb
,
a Stirlinga II rodzaju nazywamy S(n, k) – liczb
,
e podzia l´
ow zbioru
n-elementowego na k podzbior´
ow niepustych.
Twierdzenie 15.
S(n, k) =
X
λ
1
+...+λ
n
=k; λ
1
+...+nλ
n
=n
n!
λ
1
!λ
2
!...λ
n
!(1!)
λ
1
(2!)
λ
2
. . . (n!)
λ
n
Twierdzenie 16. (Zale˙zno´
s´
c rekurencyjna dla liczb Stirlinga II rodzaju)
(1) S(n, n) = 1 (dla n ≥ 0),
(2) S(n, 0) = 0 dla n > 0,
(3) S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + kS(n − 1, k) dla 0 < k < n
Dow. ...
4.2. Arytmetyka modularna.
4.2.1. Twierdzenie o dzieleniu liczb ca lkowitych i jego konsekwencje.
Twierdzenie 17. Dla dowolnych liczb ca lkowitych a i b, b > 0 istniej
,
a jednoznacz-
nie wyznaczone liczby q, r ∈ Z takie, ˙ze a = bq + r, przy czym 0 ≤ r < b.
Liczby q oraz r nazywamy, odpowiednio, ilorazem i reszt
,
a dzielenia a przez b.
Warto podkre´
sli´
c, ˙ze twierdzenie 17 nie jest tym, kt´
ore wi
,
ekszo´
s´
c student´
ow
pami
,
eta ze szko ly
6
.
M´
owimy, ˙ze d jest najwi
,
ekszym wsp´
olnym dzielnikiem liczb ca lowitych a i
b je˙zeli
• d|a i d|b oraz
• dla ka˙zdego c ∈ Z: c|a ∧ c|b ⇒ c|d
5
Inaczej: zbi´
or zbior´
ow.
6
Sprawd´
z, jaki jest wynik dzielenia liczby −9 przez 7?
MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
11
Algorytm Euklidesa
Niech a, b ∈ Z, a, b 6= 0.
Tworzymy rekurencyjnie ci
,
ag (r
n
):
r
0
= a, r
1
= b
r
n−1
= q
n
r
n
+ r
n+1
, gdzie 0 ≤ r
n+1
< r
n
.
Twierdzenie 18. Niech a, b ∈ Z, a, b 6= 0. Istnieje takie k ca lkowite, ˙ze r
k
6= 0,
r
k+1
= 0 (gdzie ci
,
ag (r
n
) jest wyznaczony przy pomocy algorytmu Euklidesa). Co
wi
,
ecej, mamy w´
owczas r
k
=NWD(a, b).
12
A. PAWE L WOJDA
5. Wyk lad 5 - 31.III.2010
5.1. Arytmetyka modularna c.d.
Twierdzenie 19 (O postaci NWD). Niech a, b ∈ Z nie r´
owne r´
ownocze´
snie zero.
W´
owczas
N W D(a, b) = min{c > 0 : c = αa + βb, α, β ∈ Z}
Dow. ...
Uwaga. Zauwa˙zmy, ˙ze dzi
,
eki twierdzeniu 19 oraz algorytmowi Euklidesa, dla
dowolnych liczb ca lkowitych a i b umiemy nie tylko efektywnie policzy´
c ich NWD,
ale tak˙ze przedstawi´
c w postaci
d = αa + βb
W najbli˙zszej przesz lo´
sci ta umiej
,
etno´
s´
c bardzo nam si
,
e przyda.
Definicja 5. M´
owimy, ˙ze dwie liczby ca lkowite a i b s
,
a wzgl
,
ednie pierwsze, je´
sli
N W D(a, b) = 1.
Piszemy w´
owczas a ⊥ b.
5.2. Grupy.
5.2.1. Przypomnienie poj
,
ecia grupy. Zbi´
or G z dzia lanem ∗ nazywamy grup
,
a je˙zeli
∗ jest w G dzia laniem
• l
,
acznym,
• posiadaj
,
acym element neutralny e, oraz
• takim, ˙ze dla dowolnego g ∈ G istnieje g
0
∈ G spe lniaj
,
acy
g ∗ g
0
= g
0
∗ g = e
(element odwrotny elementu g).
Je´
sli dzia lanie ∗ jest w G przemienne, w´
owczas G nazywamy przemienn
,
a lub
abelow
,
a.
Przyk lady: grupa Kleina, Z
n
(dla r´
o˙znych n).
5.2.2. Grupy Z
∗
n
. D lu˙zsz
,
a chwil
,
e po´
swi
,
ecili´
smy zbiorowi Z
n
(n naturalne i wi
,
eksze
od 1) z dzia laniem mno˙zenia. Do´
s´
c oczywistym jest, ˙ze elementem neutralnym
dla mno˙zenia w Z
n
jest 1. Latwo si
,
e okaza lo, ˙ze dla niekt´
orych n do niekt´
orych
element´
ow Z
n
nie ma element´
ow odwrotnych. Tak wi
,
ec, cho´
c dla dodawania Z
n
zawsze jest grup
,
a przemienn
,
a, dla mno˙zenia nigdy grup
,
a nie jest (bo 0 nie ma
elementu odwrotnego). Postanowili´
smy tak zmodyfikowa´
c Z
n
, by jednak grup
,
e
multyplikatywn
,
a (t.j. z dzia laniem mno˙zenia) otrzyma´
c. Rych lo okaza lo si
,
e, ˙ze
z Z
n
nie wystarczy usun
,
a´
c zera. Na szcz
,
e´
scie uda lo si
,
e udowodni´
c nast
,
epuj
,
ace
twierdzenie.
Twierdzenie 20. Element a ∈ Z
n
ma w Z
n
element odwrotny ze wzgl
,
edu na
mno˙zenie wtedy i tylko wtedy gdy a ⊥ n
Dow. ...
St
,
ad ju˙z tylko krok do nast
,
epnego, wa˙znego twierdzenia.
Twierdzenie 21. Niech Z
∗
b
,
edzie zbiorem element´
ow Z
n
wzgl
,
ednie pierwszych z
n. W´
owczas Z
∗
n
jest grup
,
a przemienn
,
a z mno˙zeniem.
Uwaga. Znowu, dzi
,
eki algorytmowi Euklidesa, umiemy do dowolnego elementu
a ∈ Z
∗
n
efektywnie znale´
z´
c element odwrotny.
MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
13
5.2.3. Chi´
nskie Twierdzenie o Resztach.
Twierdzenie 22 (Sun Ze ok. 450 r.). Niech a, b, n, k b
,
ed
,
a liczbami ca lkowitymi,
n, k > 0, n ⊥ k. W´
owczas istnieje dok ladnie jedno rozwi
,
azanie x
0
∈ Z, 0 ≤ x
0
< nk
uk ladu r´
owna´
n:
x
≡
a
( mod n)
x
≡
b
( mod k)
Co wi
,
ecej, ka˙zde rozwi
,
azanie tego uk ladu r´
o˙zni si
,
e od x
0
o wielokrotno´
s´
c nk.
Dow. ... (Warto zna´
c, bo zawiera algorytm roawi
,
azywania uk lad´
ow modular-
nych, o kt´
orych m´
owi twierdzenie!)
Na koniec wyk ladu by la anegdota o cesarzu (chi´
nskim), a de facto pewne za-
stosowanie twierdzenia do policzenia liczno´
sci zbioru, bez liczenia wszystkich jego
element´
ow.
14
A. PAWE L WOJDA
6. Wyk lad 6 - 21.IV.2010
Uwaga: Napis DOM! na marginesie oznacza, ˙ze zdanie podane w tek´
scie
pozostawione zosta lo do udowodnienia (ca lkowicie lub cz
,
e´
sciowo) w domu lub na
´
cwiczeniach.
6.1. Grupy c.d.
6.1.1. Homomorfizmy grup. Niech (G; ∗) i (H, ◦) b
,
ed
,
a grupami. Odwzorowanie
φ : G → H nazywamy homomorfizmem grup je´
sli dla wowolnych a, b ∈ G
spe lniony jest warunek
φ(a ∗ b) = φ(a) ◦ φ(b)
Je´
sli, dodatkowo, φ jest bijekcj
,
a, w´
owczas homomorfizm ten nazywamy izomorfi-
zmem. W´
owczas grupy nazywamy izomorficznymi.
Przyk lad. Sprawdzili´
smy, ˙ze
φ : Z
5
3 k → k ∈ Z
nie jest homomorfizmem, za´
s
ψZ 3 k → k
[5]
∈ Z
5
homomorfizmem jest
7
.
Inne przyk lady te˙z by ly.
6.1.2. Podgrupy. Niech (G; ∗) b
,
edzie grup
,
a. H ⊂ G jest podgrup
,
a grupy G je´
sli
H z dzia laniem ∗
|
H
(czyli z dzia lanie ∗ zacie´
snionym do zbioru H) jest grup
,
a.
Przyk lad. {0, 2, 4, 6} jest podgrup
,
a grupy Z
8
(addytywnej).
Q, Z s
,
a podgrupami addytywnej grupy R.
Przyk lad. Sprawdzili´
smy, ˙ze grupa Kleina jest izomorficzna z pewn
,
a podgrup
,
a
grupy permutacji czterech element´
ow a tak˙ze, ˙ze grupa izometrii sze´
scianu wykonal-
DOM!
nych bez zniszczenia tego sze´
scianu, jest podgrup
,
a grupy permutaci zbioru o´
smio-
elementowego (wierzcho lk´
ow sze´
scianu).
Twierdzenie 23. Niech G b
,
edzie grup
,
a multyplikatywn
,
a, H ⊂ G, H 6= ∅. H jest
podgrup
,
a grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych element´
ow a, b ∈ H
ab
−1
∈ H
Dow... co´
s chyba m´
owi lem, ale bardzo szybko, a wi
,
ec −→...
DOM!
Krotno´
s´
c i pot
,
ega elementu w grupie.
Niech G b
,
edzie grup
,
a addytywn
,
a. Krotno´
s´
c elementu a ∈ G definiujemy nast
,
epuj
,
aco.
(1) 0a = 0
Nale˙zy zwr´
oci´
c uwag
,
e na fakt, ˙ze 0 z lewej strony r´
owno´
sci oznacza liczb
,
e
ca lkowit
,
a 0, za´
s 0 z prawej strony r´
owno´
sci jest elementem neutralnym
grupy G. Mog
,
a to by´
c (i na og´
o l s
,
a) zupe lnie r´
o˙zne elementy, kt´
ore ozna-
czamy tym samym symbolem.
(2) Dla n ∈ N:
(n + 1)a = na + a
7
Przez k
[n]
oznaczamy reszt
,
e z dzielenia k przez n (inaczej m´
owi
,
ac, obcinamy k modulo n).
MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
15
(3) Dla n ∈ Z, n < 0:
na = (−n)(−a)
Je´
sli H jest grup
,
a multyplikatywn
,
a, w´
owczas definiujemy pot
,
egi ca lkowite elementu
a ∈ H.
(1) a
0
= 1
1 oznacza tu oczywi´
scie element neutralny grupy H.
(2) Dla n ∈ N:
a
n+1
= a · a
n
(3) Dla n ∈ Z i n < 0:
a
n
= (a
−1
)
−n
Uwaga 1. Zbi´
or wszystkich ca lkowitych krotno´
sci pewnego elementu a dowolnej
grupy addytywnej jest podgrup
,
a tej grupy.
Podobnie:
Zbi´
or wszystkich ca lkowitych pot
,
eg elementu a grupy multyplikatywnej jest podgrup
,
a.
DOM!
Podgrup
,
e pot
,
eg elementu a (w grupie multyplikatywnej) nazywamy podgrup
,
a
generowan
,
a przez ten element. Oczywi´
scie rz
,
ad elementu i rz
,
ad podgrupy gene-
rowanej przez ten element s
,
a identyczne.
Rz
,
ad elementu w grupie.
Niech G b
,
edzie grup
,
a multyplikatywn
,
a, a ∈ G.
M´
owimy, ˙ze a jest rz
,
edu k je˙zeli
k = min{n ∈ N − {0} : a
n
= 1}
Zauwa˙zyli´
smy, ˙ze w Z
8
rz
,
ad elementu 2 jest r´
owny 4 (przenosz
,
ac przy okazji
poj
,
ecie rz
,
edu na grupy addytywne).
W grupie Z ˙zaden, poza 0, element nie ma rz
,
edu (w takiej sytuacji m´
owimy tak˙ze,
˙ze rz
,
edem elementu jest ∞).
Twierdzenie 24. W dowolnej grupie sko´
nczonej G ka˙zdy element ma rz
,
ad sko´
nczony.
Dow. ...
6.1.3. Grupy transformacji i Twierdzenie Cayleya. Niech X b
,
edzie dowolnym zbio-
rem niepustym.
Ka˙zd
,
a podgrup
,
e grupy S(X) permutacji zbioru X nazywamy
grup
,
a transformacji.
Przyk lady ...
Twierdzenie 25 (Cayley). Ka˙zda grupa jest izomorficzna z pewn
,
a grup
,
a transfor-
macji.
Dow. ...
16
A. PAWE L WOJDA
7. Wyk lad 7 - 28.IV.2010
Uwaga: Egzamin I termin: 22 czerwca 2010 w U2
Godz. 9.00
7.1. Grupy c.d.c.d.
7.1.1. Twierdzenie Lagrange’a.
Twierdzenie 26 (Lagrange’a). Niech H b
,
edzie podgrup
,
a grupy sko´
nczonej G, a =
|H|, b = |G|. W´
owczas a|b.
Definicja 6 (Przystawanie modulo p´
o lgrupa). Niech H b
,
edzie podgrup
,
a grupy G,
a, b ∈ G. M´
owimy, ˙ze a przystaje do b modulo H (piszemy a ≡ b (mod H) lub
aR
H
b) je˙zeli ab
−1
∈ H.
Lemat 27. Je˙zeli H jest podgrup
,
a G w´
owczas relacja przystawania modulo H jest
w G relacj
,
a r´
ownowa˙zno´
sci.
Lemat 28. Niech G b
,
edzie dowoln
,
a grup
,
a, za´
s H jej podgrup
,
a. W´
owczas klas
,
a
elementu neutralnego grupy G modulo H jest zbi´
or H.
Lemat 29. Niech G b
,
edzie dowoln
,
a grup
,
a, za´
s H jej podgrup
,
a. W´
owczas dowolne
dwie klasy r´
ownowa˙zno´
sci modulo H s
,
a r´
ownoliczne (bijektywne)
8
.
Oczywi´
scie twierdzenie Lagrange’a wynika natychmiast z lematu 29.
7.1.2. Wnioski z twierdzenia Lagrange’a.
Wniosek 30. Ka˙zdy element grupy sko´
nczonej G ma rz
,
ad b
,
ed
,
acy dzielnikiem rz
,
edu
grupy G.
Twierdzenie 31 (Eulera). Je´
sli liczby naturalne a, n s
,
a wzgl
,
ednie pierwsze, w´
owczas
a
ϕ(n)
≡ 1 (mod n)
Twierdzenie 32 (Ma le Twierdzenie Fermata). Je´
sli p jest liczb
,
a pierwsz
,
a, a ∈ Z,
to
a
p
≡ a( mod p)
7.2. Kwadratowe residua modulo.
Twierdzenie 33. Niech p b
,
edzie liczb
,
a pierwsz
,
a i niech a ∈ Z
p
. W´
owczas a ma
co najwy˙zej dwa pierwiastki kwadratowe w Z
p
.
Niech n ∈ N, a ∈ Z
n
. M´
owimy, ˙ze a jest kwadratowym residuum modulo
n, je˙zeli istnieje b ∈ Z
n
takie, ˙ze a = b
2
(mod n).
Twierdzenie 34. Niech p ∈ N b
,
edzie liczb
,
a pierwsz
,
a, p ≡ 3 (mod 4) i niech a
b
,
edzie residuum kwadratowym w Z
p
. W´
owczas pierwiastkami kwadratowymi a z Z
p
s
,
a a
p+1
4
(mod p) oraz −a
p+1
4
(mod p).
8
W przypadku gdy G jest grup
,
a sko´
nczon
,
a oznacza to, ˙ze dowolne dwie klasy r´
ownowa ˙zno´
sci
modulo H maj
,
a tak
,
a sam
,
a liczb
,
e element´
ow.
MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
17
7.3. Zasady kryptografii z kluczem publicznym. Wyobra´
zmy sobie, ˙ze mamy
trzy osoby: Alicj
,
e, Boba i Ew
,
e. Alicja chce przesla´
c Bobowi pewne informacje
tak, by Ewa (ani nikt inny poza Bobem) nie m´
og l odgadn
,
a´
c ich tre´
sci mimo, ˙ze
informacje te przekazywane s
,
a w spos´
ob jawny
9
. Warto w tym miejscu zda´
c sobie
spraw
,
e, ˙ze ka˙zd
,
a informacj
,
e mo˙zna traktowa´
c jako liczb
,
e. Standardowym zapisem
jest powszechnie znany kod ASCII kt´
ory mo˙zna z latwo´
sci
,
a zdoby´
c, na przyk lad
za pomoc
,
a internetu (w kodzie tym ka˙zdemu znakowi odpowiada 3-cyfrowa liczba,
a to 097, spacja to 032, o to 111 itd). Kod ASCII ma jednak oczywist
,
a wad
,
e:
wszyscy go znaj
,
a, a w ka˙zdym razie wiedz
,
a jak sie w niego zaopatrzy´
c. Tak wi
,
ec
Alicja i Bob b
,
ed
,
a musieli przesy lane dane zaszyfrowa´
c (funkcj
,
e szyfruj
,
ac
,
a oznacza´
c
b
,
edziemy przez E
10
, na dodatek wychodz
,
ac z za lo˙zenia, ˙ze wszystkie przesy lane
wiadomo´
sci s
,
a pods luchiwane (przez Ew
,
e).
By osi
,
agn
,
a´
c sw´
oj cel, Alicja i Bob b
,
ed
,
a post
,
epowali wed lug nast
,
epuj
,
acego sche-
matu:
1
Bob znajduje funkcj
,
e koduj
,
ac
,
a (szyfruj
,
ac
,
a) E oraz dekoduj
,
ac
,
a D,
a wi
,
ec takie by D(E(l)) = l
2
Bob przesy la tekstem otwartym (Ewa widzi przekaz) funkcj
,
e E Alicji
3
Alicja koduje informacj
,
e kt´
or
,
a chce przes la´
c Bobowi wed lug
otrzymanej przez niego instrukcji (t
,
e instrukcje zna tak˙ze Ewa).
Inaczej m´
owi
,
ac Alicja oblicza warto´
s´
c m = E(l)
4
Alicja wysy la Bobowi m
(Ewa oczywi´
scie tak˙ze widzi przesy lan
,
a informacj
,
e)
5
Bob liczy D(m) i poznaje tre´
s´
c przesy lki Alicji
Wydaje si
,
e, ˙ze znalezienie w tej sytuacji skutecznej metody szyfrowania chroni
,
acej
przesy lane informacje przed niezdrow
,
a
11
ciekawo´
sci
,
a Ewy b
,
edzie bardzo trudne.
Okazuje si
,
e, ˙ze taka metoda istnieje, cho´
c opiera si
,
e na bardzo, na poz´
or, kruchej
podstawie. T
,
a podstaw
,
a jest przekonanie (hipoteza), ˙ze nie istnieje skuteczna me-
toda faktoryzacji liczb naturalnych. Rzeczywi´
scie, cho´
c pomno˙zenie r
,
ecznie, a wi
,
ec
bez u˙zycia komputera dw´
och du˙zych, powiedzmy o 500 pozycjach dziesi
,
etnych liczb,
wydaje si
,
e czynno´
sci
,
a k lopotliw
,
a, wymagaj
,
ac
,
a du˙zej ilo´
sci czasu i papieru, dla kom-
putera jest proste i odbywa si
,
e w mgnieniu oka, daj
,
ac w rezultacie liczb
,
e o 1000
miejscach dziesi
,
etnych. Nawet naszemu domowemu komputerowi taka czynno´
s´
c
zajmie mniej ni˙z sekund
,
e. Je´
sli jednak odwr´
ocimy zagadnienie, czyli je´
sli otrzy-
mamy 1000-pozycyjn
,
a liczb
,
e n = pq, gdzie p i q s
,
a nieznanymi nam liczbami pierw-
szymi, i zadanie nasze b
,
edzie polega lo na znalezieniu p i q, to b
,
edziemy musieli
wykona´
c liczb
,
e dziele´
n (pr´
ob) rz
,
edu 10
500
, co nawet najszybszemu komputerowi
zajmie niewyobra˙zaln
,
a ilo´
s´
c czasu
12
. Na dodatek, gdyby wynaleziono komputery o
wiele szybsze ni˙z znane do tej pory, wystarczy zwi
,
ekszy´
c liczb
,
e cyfr znacz
,
acych n
9
Rozszyfrujmy kilka spraw. Dlaczego Alicja, Bob i Ewa? To proste. Alicja, bo na liter
,
e A,
Bob bo na liter
,
e B, E bo po angielsku pods luchiwacz to eavesdropper (a wi
,
ec na liter
,
e E, jak Ewa
(Eve)). Rozs
,
adnie jest tak˙ze za lo˙zy´
c, ˙ze wszystkie przesy lane informacje mog
,
a by´
c ´
sledzone. Czy˙z
nie tak jest gdy wyjmujemy pieni
,
adze z bankomatu lub, w jeszcze wi
,
ekszym stopniu, gdy p lacimy
za zakupy dokonywane za po´
srednictwem internetu?
10
E od angielskiego encoding
11
A przede wszystkiem niebezpieczn
,
a dla Alicji i Boba!
12
Sam sprawd´
z. Przyjmij, ˙ze jedno dzielenie wymaga 1 mikrosekundy, a dla u latwienia obli-
cze´
n, ˙ze minuta ma 100 sekund, doba 100 godzin, rok 1000 dni.
18
A. PAWE L WOJDA
z 1000 do 2000 by liczba operacji potrzebnych do znalezienia faktoryzacji wzros la
10
1000
krotnie.
Poni˙zej poka˙zemy w jaki spos´
ob rozwa˙zania na temat z lo˙zono´
sci obliczeniowej
mno˙zenia i znajdowania rozk ladu liczb na czynniki pierwsze mog
,
a by´
c przydatne
w kryptografii.
7.4. Metoda Rabina. Metod
,
e kodowania Rabina
13
mo˙zna opisa´
c nast
,
epuj
,
aco.
Niech n b
,
edzie ustalon
,
a, wystarczaj
,
aco du˙z
,
a (powiedzmy 300-cyfrow
,
a) liczb
,
a.
Funkcj
,
a koduj
,
ac
,
a jest
E(l) = l
2
( mod n)
Oznacza to tyle, ˙ze Bob prze´
sle Alicji liczb
,
e n i funkcj
,
e koduj
,
ac
,
a. Alicja obliczy
l
2
(mod n), prze´
sle t
,
e informacje Bobowi. Ewa, pods luchiwaczka, b
,
edzie zna la
zar´
owno l
2
jak i n, a jednak, z powod´
ow opisanych wy˙zej, nie b
,
edzie w stanie obli-
czy´
c l. Zauwa˙zmy. ˙ze tak ´
swietnie licz
,
ace pierwiastki kalkulatory (czy komputery)
s
,
a w tej sytuacji zupe lnie bezu˙zyteczne. Na przyk lad gdyby´
smy obliczyli przy po-
mocy kalkulatora
√
10 to otrzymaliby´
smy 3.1621..., co nijak ma si
,
e do pierwiastka
z 10 (mod 13) (dwie liczby daj
,
a w kwadracie 10 (mod 13), mianowicie 6 i 7). Jak
to jednak mo˙zliwe, ˙ze Bob b
,
edzie w stanie zrobi´
c to, czego nie jest w stanie uczyni´
c
Ewa, to znaczy obliczy´
c l?
Oto opis metody.
(1) Bob wybiera dwie du˙ze liczby pierwsze p i q takie, by p ≡ q ≡ 3 (mod 4).
Nast
,
epnie oblicza n = pq i przesy la Alicji (a wszystko to podgl
,
ada Ewa).
(2) Alicja konwertuje swoj
,
a wiadomo´
s´
c w kodzie ASCII otrzymuj
,
ac liczb
,
e l i
oblicza m = l
2
(mod n). Nast
,
epnie przesy la Bobowi m. Ewa widzi m, zna
ju˙z n, nie umie jednak obliczy´
c p i q, bo to jest w la´
snie trudny problem
faktoryzacji.
(3) Bob znajduje pierwiastki z m obliczaj
,
ac wpierw a = m
p+1
4
(mod p), b =
−m
p+1
4
(mod p), c = m
q+1
4
(mod q) oraz d = −m
q+1
4
(mod q), a nast
,
epnie
rozwi
,
azuj
,
ac cztery uk lady r´
owna´
n modularnych:
x
≡
a
(mod p)
x
≡
c
(mod q)
x
≡
a
(mod p)
x
≡
d
(mod q)
x
≡
b
(mod p)
x
≡
c
(mod q)
x
≡
b
(mod p)
x
≡
d
(mod q)
Uk lady r´
owna´
n modularnych maj
,
a jednoznaczne rozwi
,
azania modulo n = pq
dzi
,
eki lematowi chi´
nskiemu. Otrzymamy wi
,
ec a˙z cztery rozwiazania, cho´
c wiemy,
˙ze dobre jest tylko jedno z nich. To jednak, by w´
sr´
od rozwi
,
aza´
n odr´
o˙zni´
c w la´
sciwe
b
,
edzie dla Boba bardzo proste. Po przej´
sciu z kodu ASCII na litery otrzyma jedn
,
a
wiadomo´
s´
c sensown
,
a i trzy ci
,
agi znak´
ow nie maj
,
acych sensu.
Przyk lad. Alicja ma wiadomo´
s´
c w = 15. Bob wybiera n = 209 = 11 · 19
(zauwa˙zmy, ˙ze 11, 19 ≡ 3 (mod 4).
Alicja liczy: 15
2
= 225 ≡ 16 (mod 209)
i przesy
,
a Bobowi, kt´
ory oblicza:
16
11+1
4
= 16
3
≡ 5
3
≡ 25 · 5 ≡ 3 · 5 = 15 ≡ 4 (mod 11)
16
19+1
4
= 16
5
= 16
2
·16
2
·16 = 256·256·16 ≡ 9·9·16 = 81·16 ≡ 5·16 ≡ 5·16 = 80 ≡ 4
(mod 19)
13
Nazwa od tw´
orcy metody: Michaela Rabina
MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
19
Bob rozwi
,
azuje teraz (oczywi´
scie korzystaj
,
ac z chi´
nskiego twierdzenia o resztach)
cztery uk lady r´
owna´
n modularnych:
x
≡
4
(mod 11)
x
≡
4
(mod 19)
x
≡
4
(mod 11)
x
≡
15
(mod 19)
x
≡
7
(mod 11)
x
≡
4
(mod 19)
x
≡
7
(mod 11)
x
≡
15
(mod 19)
Rzeczywi´
scie, latwo sprawdzi´
c, ˙ze jeden z tych uk lad´
ow ma rozwi
,
azanie, r´
owne 15.
20
A. PAWE L WOJDA
8. Wyk lad 8 - 5.V.2010
8.1. Metoda RSA. O ile metoda Rabina wykorzystuje Ma le Twierdzenie Fer-
mata, to metoda RSA
14
opiera si
,
e na twierdzeniu Eulera.
Opis metody RSA.
(1) Bob:
(a) Znajduje 2 du˙ze liczby pierwsze p, q, liczy n = pq oraz ϕ(n) = (p −
1)(q − 1).
(b) Wybiera (dowolne) e ∈ Z
∗
ϕ(n)
(a wi
,
ec e jest wzgl
,
ednie pierwsze z ϕ(n)).
(c) Oblicza d = e
−1
w Z
∗
ϕ(n)
.
(2) Ewa: Widzi! Widzi zar´
owno n jak i e. Wie tak˙ze jaka jest funkcja szy-
fruj
,
aca.
(3) Alicja:
(a) Liczy l = m
e
(mod n)
(b) Wysy la l Bobowi.
Bob: Liczy
(6)
l
d
= (m
e
)
d
≡ m
Prawdziwo´
s´
c wzoru 6 wymaga uzasadnienia. Oto one.
(a) Przypadek: m ⊥ n. Skoro ed ≡ 1 (mod ϕ(n)) mamy: ed = 1 + kϕ(n)
(gdzie n jest pewn
,
a liczb
,
a ca lkowit
,
a. W´
owczas
m
ed
= m
1+kϕ(n)
= m(m
ϕ(n)
)
k
≡ m( mod n)
(b) Przypadek: m i n nie s
,
a wzgl
,
ednie pierwsze. Wtedy albo p|m albo q|m
(gdyby p|m i q|m to mieliby´
smy sprzeczno´
s´
c z za lo˙zeniem, ´
ze m < n
15
).
Za l´
o˙zmy, ˙ze p|m oraz q 6 |m.
Mamy teraz: m
ed
= m
1+k(p−1)(q−1)
= m(m
q−1
)
k(p−1)
. Ale q ⊥ m (bo
q jest liczb
,
a pierwsz
,
a i q nie dzieli m). Wiemy ˙ze, ϕ(q) = q − 1. A
wi
,
ec m
ed
≡ m · 1
k(p−1)
= m (mod q).
Ostatecznie otrzymali´
smy
m
ed
≡ m (mod q)
Mamy tak˙ze
m
ed
≡ m (mod p)
(bo m ≡ 0 (mod p). Z chi´
nskiego twierdzenia o resztach m jest jedy-
nym rozwi
,
azaniem uk ladu r´
owna´
n
m ≡ l
d
(mod q)
m ≡ 0 (mod p)
(tak czy inaczej mamy m ≡ l
d
(mod n), niezale˙znie od tego, czy m ⊥ n,
czy te˙z nie).
14
Nazwa metody od pierwszych liter nazwisk jej tw´
orc´
ow: Rivest, Shamir i Adleman.
15
Zak ladamy, ˙ze liczby szyfrowane s
,
a mniejsze od n, w przeciwnym przypadku ulega lyby
obci
,
eciu modulo n, a wi
,
ec zniekszta lceniu. Takie szyfrowanie by loby bez sensu!
MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
21
8.2. Grupy c.d.
8.2.1. Lemat Burnside’a. Definicja. Niech G b
,
edzie grup
,
a multyplikatywn
,
a. M´
owimy,
˙ze G dzia la na zbiorze X je´
sli jest okre´
slone odwzorowanie ϕ : G × X → X
spe lniaj
,
ace nast
,
epuj
,
ace dwa warunki (piszemy g(x) zamiast ϕ(g, x)):
(1) dla dowolnych g
1
, g
2
∈ G oraz dla ka˙zdego x ∈ X (g
1
· g
2
)(x) = g
1
(g
2
(x))
(2) dla dowolnego x ∈ X e(x) = x (gdzie e jest elementem neutralnym grupy
G).
Przyk lady: grupa Kleina jako podgrupa permutacji na zbiorze {1, 2, 3, 4}.
Twierdzenie 35. Je´
sli grupa G dzia la na zbiorze X, g ∈ G, to g jest bijekcj
,
a.
Dla grupy G dzia laj
,
acej na zbiorze X oraz el. x ∈ X stabilizatorem x nazy-
wamy
Stab x = {g ∈ G : g(x) = x}
Przyk lad ..
Twierdzenie 36. Stabilizator dowolnego elementu x ∈ X jest podgrup
,
a grupy G.
Przyk lad. Grupa obrot´
ow sze´
scianu (foremnego).
Orbit
,
a elementu x ∈ X nazywamy zbi´
or
Orb x = {g(x) : g ∈ G}
Relacja R okre´
slona przez
xRy ⇐⇒ ∃g ∈ G : g(x) = y
jest w X r´
ownowa˙zno´
sciowa.
Twierdzenie 37. Je´
sli sko´
nczona grupa G dzia la na zbiorze X, w´
owczas dla
ka˙zdego x ∈ X
|G| = |Stab x| · |Orb x|
Dow´
od.
Niech x ∈ X. Oznaczmy przez H stabilizator elementu x (czyli: H =
Stab x). Na mocy twierdzenia 36 wiemy, ˙ze H jest podgrup
,
a grupy G. Mo˙zemy
wic, podobnie jak w dowodzie twierdzenia Lagrange’a (tw. 26), rozwa˙za´
c warstwy
grupy G modulo podgrupa H (czyli zbi´
or klas abstrakcji relacji R zdefiniowanej
przez gRh ⇔ gh
−1
∈ H). Przypomnijmy, ˙ze w dowodzie twierdzenia Lagrange’a
zbi´
or warstw G modulo H oznaczyli´
smy przez G/H i wykazali´
smy, ˙ze
• Warstwa dowolnego elementu a ∈ G jest postaci Ha,
• Wszystkie warstwy s
,
a r´
ownoliczne (a poniewa˙z warstw
,
a elementu neutral-
nego jest H, w przypadku sko´
nczonym ka˙zda warstwa ma tyle samo ele-
ment´
ow co podgrupa H).
Tym razem wyka˙zemy, ˙ze ka˙zda warstwa jest r´
ownoliczna ze orbit
,
a elementu x.
Zdefiniujmy funkcj
,
e
ϕ : G/H 3 Hg → g
−1
(x) ∈ Orb x
Nim wyka˙zemy, ˙ze ϕ jest bijekcj
,
a, musimy udowodni´
c, ˙ze
• g
−1
(x) ∈ Orb x
• ϕ jest dobrze okre´slona czyli, ˙ze je˙zeli Hg = Hh, to
22
A. PAWE L WOJDA
Rzeczywi´
scie, w orbicie elementu x s
,
a wzystkie warto´
sci funkcji z G na elemencie
x, no a przecie˙z g
−1
jest elementem G.
Przypu´
s´
cmy teraz, ˙ze Hg = Hh. Poniewa˙z e ∈ H, musi w H istnie´
c taki element
f , ˙ze g = f h A wobec tego
g
−1
(x) = (f h)
−1
(x) ⇒ g
−1
(x) = (h
−1
f
−1
)(x) = h
−1
(f
−1
(x))
Ale f ∈ H, za´
s H jest stabilizatorem x, czyli f
−1
(x) = x i otrzymujemy ostatecznie
g
−1
(x) = h
−1
(x), czyli ϕ(hg) = ϕ(Hh).
• ϕ jest iniektywna: ϕ(Hg) = ϕ(Hh) ⇒ g
−1
(x) = h
−1
(x) ⇒ h ◦ g
−1
(x) =
x ⇒ hg
−1
∈ H ⇒ Hg = Hh
• ϕ jest suriektywna: Niech y ∈ Orb x. W´
owczas istnieje g ∈ G takie, ˙ze
y = g(x), a wtedy y = h
−1
(x) dla h = g
−1
, czyli y = ϕ(Hh).
Przyk lad – ilustracja funkcjonowania twierdzenia 37.
Grupa izometrii pi
,
eciok
,
ata.
Przyk lad. Grupa izometrii wykonalnych sze´
scio´
scianu: 24-elementowa
MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
23
9. Wyk lad 9 - 12.V.2010
9.1. Lemat Burnside’a. Dla danej grupy G dzia laj
,
acej na zbiorze X oraz ginG
zbi´
or punkt´
ow sta lych g oznaczamy przez F ix g:
F ix g = {x ∈ X : g(x) = x}
Twierdzenie 38 (Lemat Burnside’a). Niech G b
,
edzie grup
,
a sko´
nczon
,
a dzia laj
,
a-
c
,
a na zbiorze sko´
nczonym X. W´
owczas liczba N orbit zbioru X ze wzgl
,
edu na G
wynosi
N =
1
|G|
X
g∈G
|F ix g|
Przyk lady ...
Dow´
od (metod
,
a podw´
ojnego zliczania)...
9.2. Teoria graf´
ow. Definicja grafu prostego. Rz
,
ad (ozn. |G|) i rozmiar (ozn.
k G k) grafu G. Wierzcho lki po l
,
aczone, wierzcho lki i krawdzie incydentne. Sto-
pie´
n wierzcho lka v (ozn. d
G
(v)) w grafie G.
Twierdzenie 39. Je´
sli G = (V ; E) jest grafem zwyk lym sko´
nczonym, w´
owczas
k G k=
1
2
X
v∈V
d
G
(v)
Wniosek 40. W dowolnym grafie sko´
nczonym liczba wierzcho lk´
ow stopni stopni
nieparzystych jest parzysta.
Twierdzenie 41 (O podawaniu r
,
ak
16
). W dowolnym grafie zwyk lym (prostym)
istniej
,
a co najmniej dwa wierzcho lki tego samego stopnia.
Dow. ...
Definicje trasy, ´
scie ˙zki, drogi, cyklu w grafie. Graf sp´
ojny.
Twierdzenie 42. Je´
sli graf G ma dok ladnie dwa wierzcho lki stopnia nieparzystego,
to wierzcho lki te po l
,
aczone s
,
a ´
scie˙zk
,
a (a co za tym idzie, s
,
a we wsp´
olnej sk ladowej).
Dow. ...
9.2.1. Grafy eulerowskie. Definicja multigrafu (grafu)
Definicja cyklu Eulera, graf´
ow eulerowskich. Anegdota o mostach kr´
olewieckich.
Twierdzenie 43 (Eulera). Multigraf bez wierzcho lk´
ow izolowanych jest eulerowski
wtedy i tylko wtedy gdy
(1) jest sp´
ojny,
(2) stopie´
n dowolnego wierzcho lka jest parzysty.
Dow. ...
16
Handshaking Theorem
24
A. PAWE L WOJDA
10. Wyk lad 10 - 19.V.2010
10.1. Grafy eulerowskie c.d.
Wniosek 44. W multigrafie G bez wierzcho lk´
ow izolowanych istnieje (otwarta)
droga eulerowska wtedy i tylko wtedy, gdy
(1) G jest sp´
ojny,
(2) dok ladnie dwa wierzcho lki G s
,
a stopnia nieparzystego.
Dow. ...
Algorytm Fleury’ego znajdowania cyklu Eulera.
Algorytm ten znajduje cykl Eulera w grafie
17
spe lniaj
,
acym warunki twierdzenia
Eulera (graf sp´
ojny, stopnie wszystkich wierzcho lk´
ow parzyste).
Algorytm dzia la wed lug nast
,
epuj
,
acych regu l.
(1) Algorytm rozpoczyna swoje dzia lanie od dowolnego wierzcho lka u (od tego
jednak momentu ju˙z ustalonego).
(2) Tworzymy ci
,
ag ES, do kt´
orego w ka˙zdej kolejnej iteracji dopisujemy nast
,
epn
,
a
kraw
,
ed´
z e tworzonego cyklu eulerowskiego, kt´
or
,
a z kolei wyrzucamy ze
zbioru kraw
,
edzi grafu, tworz
,
ac w ten spos´
ob bie˙z
,
acy graf G
0
. Je´
sli w wy-
niku tej operacji w grafie pojawia si
,
e wierzcho lek izolowany (stopnia zero),
w´
owczas usuwamy go tak˙ze.
Powiedzmy, ˙ze ostatnim wierzcho lkiem, do kt´
orego dotarli´
smy jest wierzcho lek
v nie izolowany w bie˙z
,
acym grafie G
0
. Niech e b
,
edzie kraw
,
edzi
,
a G
0
tak
,
a, ˙ze
• jednym z jej ko´
nc´
ow jest v a drugim, powiedzmy, w.
• G
0
− {e} jest dalej sp´
ojny (chyba, ˙ze stopie´
n v w G
0
jest r´
owny 1).
Uwaga: To, ˙ze e mo˙zna tak w la´
snie wybra´
c, udowodnimy p´
o´
zniej.
• Do ci
,
agu ES dopisujemy e, G
0
(graf bie˙z
,
acy) zast
,
epujemy przez G
0
− {e}
(je´
sli v sta l si
,
e po tej operacji izolowany, to usuwamy go z grafu r´
ownie˙z).
Je´
sli w jest w nowym grafie G
0
izolowany, algorytm si
,
e ko´
nczy. Skonstru-
owali´
smy cykl Eulera. Je´
sli nie, kontynuujemy od wierzcho lka w.
Jest oczywistym, ˙ze algorytm si
,
e ko´
nczy, gdy graf G
0
nie ma ju˙z kraw
,
edzi, a wi
,
ec
gdy ES jest ci
,
agiem kraw
,
edzi tworz
,
acym cykl Eulera.
Pozostaje jednak wykaza´
c, ˙ze algorytm jest wykonalny, to znaczy, ˙ze w ka˙zdym
etapie mo˙zna w G
0
wybra´
c tak
,
a kraw
,
ed´
z e o ko´
ncu w v, ˙ze G
0
− {e} jest sp´
ojny
chyba, ˙ze v w G
0
− {e} jest izolowany (wtedy v tak˙ze z G
0
usuwamy i w dalszym
ci
,
agu mamy, rzecz jasna, graf sp´
ojny)
18
.
W tym celu zauwa˙zmy, ˙ze graf G
0
jest sp´
ojny (z konstrukcji) oraz, ˙ze w G
0
albo
(i) s
,
a dok ladnie 2 wierzcho lki stopnia nieparzystego (jednym z nich jest wtedy
u a drugim v),
albo
(ii) wszystkie wierzcho lki s
,
a stopnia parzystego (tak b
,
edzie jesli v = u).
W przypadku (i) do l
,
aczamy do G
0
now
,
a kraw
,
ed´
z l
,
acz
,
ac
,
a u i v (wierzcho lki stopni
nieparzystych).
W dugim przypadku nie robimy nic
19
.
W obu przypadkach w efekcie otrzymujemy graf, kt´
ory jest sp´
ojny (bo G
0
taki
17
Zamiast m´
owi´
c (pisa´
c) multigraf najcz
,
e´
sciej m´
owimy i piszemy graf
18
Prosz
,
e zauwa ˙zy´
c, ˙ze ten dow´
od jest, niewiele ale jednak, r´
o ˙zny od tego, kt´
ory by l podany
ma wyk ladzie. Oba s
,
a dobre.
19
Czyli to, co lubimy najbardziej!
MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
25
by l) i ma wszystkie wierzcho lki stopnia parzystego. Jest wi
,
ec eulerowski (na mocy
twierdzenia Eulera). Latwo stwierdzi´
c teraz, ˙ze mo˙zna tak wybra´
c e, kraw
,
ed´
z o
jednym ko´
ncu w v, by G
0
−{e} by l sp´
ojny (chyba, ˙ze d
G
0
(v) = 1, lecz ten przypadek,
to najmniejszy problem, opisany zosta l ju˙z powy˙zej).
10.2. Grafy p laskie i planarne. Definicja graf´
ow p laskich i planarnych.
Regiony. Stopie´
n regionu (podczas wyk ladu stopie´
n oznacza le inaczej, lepiej jest
jednak oznacza´
c tak jak poni˙zej, czyli przez deg R).
Twierdzenie 45 (Euler). Je´
sli G jest grafem p laskim rz
,
edu n o rozmiarze m i o
f regionach, w´
owczas
n = m − f + 2
Dow. ...
Definicja stopnia regionu: stopniem regionu deg R nazywamy d lugo´
s´
c (liczb
,
e
kraw
,
edzi) najkr´
otszej drogi stanowi
,
acej jego brzeg.
Twierdzenie 46. Je´
sli G jest grafem p laskim o regionach R
1
, . . . , R
f
oraz rozmia-
rze m, w´
owczas
f
X
i=1
deg R
i
= 2m
26
A. PAWE L WOJDA
11. Wyk lad 11 - 26.V.2010
11.1. Garfy planarne c.d. Udowodnili´
smy nast
,
epuj
,
acy wniosek z twierdzenia 45
(Eulera).
Wniosek 47. Je´
sli G jest grafem planarnym sp´
ojnym bez p
,
etli i kraw
,
edzi wielo-
krotnych rz
,
edu n, rozmiaru m i o f regionach, w´
owczas
(1) 3f ≤ 2m
(2) m ≤ 3n − 6
Wniosek 48. Grafy K
5
i K
3,3
nie s
,
a planarne.
Def. bry ly regularnej.
Siatki wielo´
scian´
ow.
Twierdzenie 49 (O bry lach plato´
nskich). Jedynymi bry lami regularnymi s
,
a czworo´
scian,
sze´
scian, o´
smio´
scian, dwunasto´
scian i dwudziesto´
scian.
Dow´
od....
Twierdzenie 50 (K. Kuratowski). Graf prosty G jest planarny wtedy i tylko wtedy
gdy nie zawiera podgraf´
ow homeomorficznych z K
5
ani z K
3,3
.
11.2. Drzewa i lasy. Drzewem nazywamy dowolny graf prosty (tzn. bez p
,
etli
i kraw
,
edzi wielokrotnych) sp´
ojny i bez cykli. Las to graf, kt´
orego ka˙zda sk ladowa
jest drzewem.
Twierdzenie 51. Graf prosty jest drzewem wtedy i tylo wtedy, gdy dowolne dwa
jego wierzcho lki po l
,
aczone s
,
a dok ladnie jedn
,
a ´
scie˙zk
,
a.
Dow´
od. ...
Twierdzenie 52. Je´
sli graf T jest drzewem, w´
owczas k T k= |T | − 1.
Dow´
od. ...
Twierdzenie 53 (O w lasno´
sciach drzew). Niech T = (V ; E) b
,
edzie grafem zwyk lym.
Nast
,
epuj
,
ace warunki s
,
a r´
ownowa˙zne.
(1) T jest drzewem.
(2) T jest sp´
ojny i dla dowolnego e ∈ E graf T − e nie jest sp´
ojny.
(3) T nie zawiera cykli i |T | =k T k +1
(4) T jest sp´
ojny i |T | =k T k +1
(5) T nie zaweiera cykli i dla dowolnych niepo l
,
aczonych wierzcho lk´
ow a, b grafu
T graf T ∪ {ab} zawiera dok ladnie jeden cykl.
Uwaga: T ∪ {ab} to graf otrzymany z T przez dodanie kraw
,
edzi ab (inaczej:
przez po laczenie wierzcho lk´
ow a i b kraw
,
edzi
,
a).
Dow. ...
Twierdzenie 54. Niech T b
,
edzie dowolnym drzewem za´
s v jego dowolnym wierz-
cho lkiem. W´
owczas istnieje taka numeracja wierzcho lk´
ow T : v = v
1
, v
2
, . . . , v
n
oraz kraw
,
edzi e
1
, e
2
, . . . , e
n−1
, ˙ze wierzcho lek v
i+1
jest po l
,
aczony z dok ladnie jed-
nym spo´
sr´
od wierzcho lk´
ow v
1
, ..., v
i−1
kraw
,
edzi
,
a e
i
.
Przyk lad...
MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
27
Macierz incydencji grafu G. M = (a
ij
) nazywamy macierz
,
a incydencji grafu
G o zbiorach wierzcho lk´
ow {v
1
, . . . , v
n
} i kraw
,
edzi {e
1
, . . . , e
m
} je˙zeli
a
ij
=
1
je´
sli wierzcho lek v
i
jest jednym z ko´
nc´
ow kraw
,
edzi e
j
,
0
w przeciwnym przypadku
Przyk lad...
28
A. PAWE L WOJDA
12. Wyk lad 12 - 2.VI.2010
Uwaga egzamin!
Przypominam:
Egzamin pisemny 22-go czerwca w U2, 9-12
Egzamin ustny dla s´
ob zwolnionych z pisemnego na podstawie
wysokich ocen z zalicze´
n:
22-go czerwca w B.7, na I pi
,
etrze w moim pokoju od godz. 8.00
(numeru pokoju nie pami
,
etam, jestem w nim zaledwie 12 ostatich lat, ale ka˙zde
dziecko wska˙ze)
lista szczeg´
o lowa, z orientacyjnym terminem rozpocz
,
ecia egzaminu uka˙ze si
,
e w
terminie p´
o´
zniejszym.
II termin: 20 wrze´
snia, 9-12, w s. 1.8 paw. B7 (Czarnowiejska 70, za
budynkiem Metalurgii)
III termin: 27 wrze´
snia w s. 2.1 B7
12.1. Drzewa c.d.
Wniosek 55. Macierz incydencji drzewa rz
,
edu n jest rz
,
edu n − 1.
Dow. ...
12.2. Drzewa jako przestrzenie metryczne. Niech G b
,
edzie grafem prostym.
Odleg lo´
sci
,
a wierzcho lk´
ow a i b nazywamy liczb
,
e dist
G
(a, b) r´
own
,
a d lugo´
sci
najkr´
otszej ´
scie˙zki z a do b.
dist
G
spe lnia warunki metryki.
Ekscentryczno´
sci
,
a wierzcho lka a grafu G = (V ; E) nazywamy
Ec
G
= max{dist
G
(a, b) : b ∈ V }
Wierzcho lek centralny to wierzcho lek o ekscentryczno´
sci najmniejszej w grafie,
peryferyjny to taki, kt´
ory ma ekscentryczno´
s´
c maksysmaln
,
a. Centrum grafu to
zbi´
or wierzcho lk´
ow centralnych.
Twierdzenie 56 (D˝
ones K˝
onig). Ka˙zde drzewo ma centrum z lo˙zone z jednego lub
dw´
och po l
,
aczonych wierzcho lk´
ow.
Dow´
od - ladny i latwy. Podczas wyk ladu nie powiedzia lem, ˙ze twierdzenie to
jako pierwszy udowodni l D˝
ones K˝
onig
20
.
12.3. Drzewa z korzeniem i drzewa binarne. Korze´
n drzewa T - dowolny,
wyr´
o˙zniony wierzcho lek.
Drzewo binarne - drzewo, w kt´
orym korze´
n jest wierzcho lkiem stopnia 2, pozo-
sta le wierzcho lki s
,
a stopnia 3 lub 1 (li´
scie)
Poziom wierzcho lka w drzewie (z korzeniem) - odleg lo´
s´
c od korzenia.
Wysoko´
s´
c drzewa - maksymalna odleg lo´
s´
c wiercho lka od korzenia.
20
W
,
egierski matematyk, kt´
ory w 1935 roku opublikowa l w la´
sciwie pierwsz
,
a monografi
,
e z teorii
graf´
ow. Ta ksi
,
a˙zka jest bardzo szczeg´
olna tak´
ze dlatego, ˙ze zawiera wiele nowych twierdze´
n. St
,
ad
wi
,
ekszo´
s´
c wynik´
ow K˝
oniga ma dat
,
e 1935. Opublikowanie jego monografii spowodowa lo ogromne
zwi
,
ekszenie zainteresowania teori
,
a graf´
ow. Pewno K˝
onig jest w znacznie wi
,
ekszym stopniu ojcem
teorii graf´
ow ni˙z Euler. Ale po co te rozwa ˙zania? Czy mo˙zna by´
c bardziej ojcem czego´
s ni˙z kto
inny? :)
MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
29
Przyk lad 3. Model funkcjonowania automatu rozpoznaj
,
acego monety - drzewo bi-
narne o 9 wierzcho lkach.
Twierdzenie 57. Ka˙zde drzewo binarne ma rz
,
ad nieparzysty.
Dow. ...
Twierdzenie 58. W dowolnym drzewie binarnym T rz
,
edu n jest p =
n+1
2
li´
sci i
k =
n−3
2
wierzcho lk´
ow stopnia 3.
Twierdzenie 59. Niech T b
,
edzie drzewem binarnym o p li´
sciach i wysoko´
sci h.
W´
owczas h ≥ dlog pe.
12.4. Dendryty. Dendrytem grafu G nazywamy podgraf T tego grafu, kt´
ory
jest drzewem i |T | = |G|.
Twierdzenie 60. Graf G jest sp´
ojny wtedy i tylko wtedy gdy ma dendryt.
ALGORYTM DRZEWO
Grafy z wagami. Problem minimalnego dendrytu. Algorytmy Kruskala i
Prima
21
znajdowania dendrytu minimalnego.
Podczas wyk ladu obieca lem, ˙ze w tych notatkach podam te algorytmy (jeszcze raz,
bo podczas wyk ladu (chyba?) poda lem) i na dodatek napisz
,
e dowody. Przepra-
szam, ale nie zd
,
a˙ze. Mam inn
,
a propozycj
,
e. T
,
e cz
,
e´
s´
c wyk ladu realizuj
,
e wed lug
ksi
,
a˙zki Rossa i Wrighta [6]. Je´
sli jeste´
scie ciekawi (mam nadziej
,
e, ˙ze jeste´
scie,
wiem, ˙ze nie wszyscy), zar´
owno algorytmy jak i dowody ich funkcjonowania na
stronach 382-291 tej ksi
,
a˙zki. Tam te˙z algorytm DRZEWO.
21
Zaniepokoi lo mnie, ˙ze nie wiedzia lem podczas wyk ladu kim by l Prim i w zwi
,
azku z tym, jak
nale ˙zy czyta´
c jego nazwisko. Ju˙z wiem! To ameryka´
nski matematyk (Princeton), Robert Clay
Prim (1921 - ) - chyba ˙zyj
,
acy, bo Wikipedia podaje tylko dat
,
e urodzenia. A wi
,
ec czytamy to
nazwisko po angielsku. Dowiedzia lem si
,
e tak˙ze innych, ciekawych rzeczy (w [3] - to naprawd
,
e
´
swietna ksi
,
a ˙zka!). Ot´
o˙z znacznie przed Kruskalem i Primem blisko podania algorytm´
ow znaj-
dowanie dendryt´
ow optymalnych byli czeski matematyk Otakar Bor ˙uvka (1899-1995, nad u jest
k´
o lko, nie kropka, ale nie umiem) oraz Jan Czekanowski (1882-1965). W tym drugim przypadku
najciekawsze jest nie to, ˙ze Czekanowski byl Polakiem (innym te ˙z to si
,
e zda˙za), lecz fakt, ˙ze to
antropolog (cho´
c matematyk
,
e te ˙z studiowa l - ciekawe informacje o nim w Wikipedii).
30
A. PAWE L WOJDA
13. Wyk lad 13 - 9.VI.2010
13.1. Kolorowanie wierzcho lk´
ow grafu
Liczba
chromatyczna. Kolorowaniem
wierzcho lk´
ow grafu (prostego
22
)
G = (V ; E) nazywamy dowoln
,
a funkcj
,
e
c : E → C
gdzie C jest sko´
nczonym zbiorem, nazywanym zbiorem kolor´
ow.
Kolorowanie jest w la´
sciwe je´
sli spe lnia warunek xy ∈ E ⇒ c(x) 6= c(y).
Liczba chromatyczna grafu G:
χ(G) = min{k : ∃c : E → [1, k], c - kolorowanie w la´
sciwe grafu G}
Przyk lad 4. χ(C
2k
) = 2,
χ(C
2k+1
) = 3, χ(K
n
) = n
Problem i twierdzenie o 4-kolorowalno´
sci graf´
ow planarnych (historia problemu
czterech kolor´
ow).
Przyk lady...
Definicja 7. κ(G) = max{k : G jest k − sp´
ojny}
∆(G) = max{d
G
(v) : v ∈ V }
Twierdzenie 61 (???
23
). Dla dowolnego grafu prostego G prawdziwa jest nier´
owno´
s´
c
χ(G) ≤ ∆(G).
Dow. ...
Twierdzenie 62 (Brooks). Je´
sli G jest grafem sp´
ojnym i nie jest ani cyklem
nieparzystym ani grafem pe lnym, to χ(G) ≤ ∆(G)
Dow´
od twierdzenia Brooksa nie poda lem podczas wyk ladu.
13.2. Wielomiany chromatyczne. Oznaczmy przez d
i
liczb
,
e pokolorowa´
n w la-
´
sciwych wierzcho lk´
ow grafu (prostego) G rz
,
edu n. W´
owcza wierzcho lki G mo˙zna
pokolorowa´
c (w spos´
ob w la´
sciwy) d
i
λ
i
kolorami. St
,
ad oczywi´
scie istnieje
(7)
P
G
(λ) =
n
X
i=1
d
i
λ
i
r´
o˙znych pokolorowa´
n w la´
sciwych wierzcho lk´
ow grafu G. Zauwa˙zmy, ˙ze nie istnieje
pokolowanie 0 kolorami ani wi
,
ecej ni˙z n kolorami, st
,
ad rzeczywi´
scie we wzorze (7)
sumowanie mo˙zna rozpocz
,
a´
c od i = 0 i zako´
nczy´
c na i − n. P
G
(λ) zdefiniowane
wzorem (7) nazywamy wielomianem charakterystycznym grafu G
24
Przyk lad.
22
Mo ˙zna m´
owi´
c o kolorowaniu wierzcho lk´
ow, a tak ˙ze kraw
,
edzi, graf´
ow niekoniecznie pro-
stych, szczeg´
olnie ma to sens w przypadku kolorowania kraw
,
edzi multigraf´
ow, kraw
,
edzi i/lub
wierzcho lk´
ow graf´
ow skierowanych. O tego typu kolorowaniach nie b
,
ed
,
e jednak m´
owi l w trakcie
wyk lad´
ow.
23
To twierdzenie jest powszechnie znane, nie wiadomo kto je jako pierwszy udowodni l. W
literaturze angielskoj
,
ezycznej pisze si
,
e w takich przypadkach folclore. Mo˙ze mi kto´
s podpowie,
jak to mo ˙zna okre´
sli´
c po polsku?
24
We wzorze (7) λ oznacza r´
ownocze´
snie liczb
,
e kolor´
ow i zmienn
,
a nieokre´
slon
,
a wielomianu
(zazwyczaj oznaczan
,
a przez x). Ta podw´
ojna rola, kt´
or
,
a odgrywa tu λ formalnie jest niezupe lnoie
poprawna, nie prowadzi jednak do nieporozumie´
n.
MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
31
Twierdzenie 63. P
K
n
(λ) = λ(λ − 1) · ... · (λ − n + 1)
Dow. ...
Twierdzenie 64. P
P
n
(λ) = λ(λ − 1)
n−1
Niech a i b b
,
ed
,
a dwoma wierzcho lkami nie po l
,
aczonymi w grafie G. Przez G
0
oznaczmy graf powsta ly z G przez po l
,
aczenie wierzcho lk´
ow a i b kraw
,
edzi
,
a, za´
s przez
G
00
graf powsta ly przez zast
,
apienie w G wierzcho lk´
ow a i b jednym wierzcho lkiem
c po l
,
aczonym z wszystkimi wierzcho lkami po l
,
aczonymi w G z a lub z b.
Twierdzenie 65 (Whitney).
P
G
(λ) = P
G
0
(λ) + P
G
00
(λ)
Dow. ...
Przyk lad...
Zauwa˙zyli´
smy, ˙ze twierdzenie Whitneya daje metod
,
e (co prawda kompletnie algo-
rytmicznie nieefektywn
,
a) znajdowania wielomianu chromatycznego grafu.
13.3. Kolorowanie kraw
,
edzi. Kolorowaniem krw
,
edzi grafu prostego G =
(V ; E) nazywamy dowoln
,
a funkcj
,
e
c : E → C
Kolorowanie kraw
,
edzi jest w la´
sciwe je´
sli kraw
,
edzie incydentne s
,
a r´
o˙znych kolor´
ow.
Minimaln
,
a liczb
,
e kolor´
ow konieczn
,
a do pokolorowania w la´
sciwego kraw
,
edzi grafu
G nazywamy indeksem chromatycznym i oznaczamy przez χ
0
(G).
Twierdzenie 66 (Twierdzenie Vizinga). Dla dowolnego grafu prostego
∆(G) ≤ χ
0
(G) ≤ ∆(G) + 1
Dow´
od twierdzenia Vizinga nie by l podany podczas wyk ladu.
13.4. Grafy skierowne i turnieje.
Definicja 8. Grafem prostym skierowanym nazywamy G = (V ; E), gdzie
E ⊂ V × V − {(x, x) : x ∈ V }.
Elementy zbioru V nazywamy wierzcho lkami za´
s elementy zbioru E lukami grafu
G.
Turniejem nazywamy graf skierowany w kt´
orym dowolne dwa wierzcho lki po l
,
aczone
s
,
a dok ladnie jednym lukiem.
Przyk lady.
Definicja 9. ´
Scie ˙zka o pocz
,
atku w x i ko´
ncu w y, to ci
,
ag
(x = a
1
, e
1
, a
2
, e
2
, ..., a
k−1
e
k−1
, a
k
= y)
wierzcho lk´
ow a
1
, ..., a
k
i luk´
ow e
1
, ..., e
k−1
takich, ˙ze e
i
= (a
i
, a
i+1
) dla i = 1, ..., k
oraz a
i
6= a
j
dla i 6= j.
´
Scie˙zk
,
e nazywamy hamiltonowsk
,
a (albo Hamiltona) je´
sli zawiera wszystkie wierz-
cho lki grafu.
Twierdzenie 67 (R´
edei). Ka˙zdy turniej zawiera ´
scie˙zk
,
e (skierowan
,
a) Hamiltona.
Dow. ...
32
A. PAWE L WOJDA
14. Wyk lad 14 - 16.VI.2010
Terminy egzamin´
ow:
I (i oby ostatni): 22 czerwca godz. 9.00 w U2 - pisemny
Dla tych, kt´
orzy z pisemnej cz
,
e´
sci egzaminu b
,
ed
,
a zwolnieni, cz
,
e´
s´
c
ustna w B7, tak ˙ze 22-go od (zapewne) 9.00
szczeg´
o ly og losz
,
e, gdy b
,
ed
,
e wiedzia l dok ladnie kto jest zwolniony
II i III termin: 20 o 9.00 i 27 wrze´
snia o 13.30 w B7
Szczerze, troch
,
e egoistycznie, ˙zycz
,
e powodzenia!!!
14.1. Turnieje -ci
,
ag dalszy.
Definicja 10. W dowolnym grafie skierowanym G oznaczamy d
+
G
(v) = |{u ∈ V :
(v, u) ∈ E}|. i nazywamy p´
o lstopniem wierzcho lka v. Je´
sli G jest turniejem,
w´
owczas wektor (a
1
≤ a
2
≤ ... ≤ a
n
) p´
o lstopni wierzcho lk´
ow G nazywamy wekto-
rem wynik´
ow turnieju G..
Twierdzenie 68 (Landau). Ci
,
ag niemalej
,
acy (a
1
≤ a
2
≤ ... ≤ a
n
) jest wektorem
wynik´
ow pewnego turnieju wtedy i tylko wtedy gdy
k
X
i=1
a
i
≤
n
k
dla ka˙zdego k, 1 ≤ k ≤ n, przy czym dla k = n zachodzi r´
owno´
s´
c.
Dowodu nie b
,
ed
,
e podaswa l, cho´
c ladny. Jako ciekawostk
,
e mog
,
e jednak poda´
c,
˙ze autor twierdzenia, Landau, nie by l matematykiem.
Nie jest to tak˙ze znany
fizyk o tym nazwisku. Chodzi o biologa. Twierdzenie Landaua bywa cytowane
w pracach biologicznych. Sam czyta lem kiedy´
s prac
,
e naukow
,
a o zachowaniu ma-
kak´
ow (to takie ma lpy). Turniejami w pracy o makakach by ly walki pomi
,
edzy
makakami. Uczony bada l, czy jest jaka´
s relacja pomi
,
edzy wynikami (niegro´
znych)
walk makak´
ow a cz
,
esto´
sci
,
a wzajemnych pieszczot (polegaj
,
acymi na wzajemnym
pozbawianiu si
,
e dokuczliwych insekt´
ow).
14.2. Liczba nieizomorficznych turniej´
ow rz
,
edu n.
Twierdzenie 69. Niech σ ∈ S
n
b
,
edzie permutacj
,
a typu d = 1
d
1
2
d
2
...n
d
n
dzia laj
,
ac
,
a
na zbiorze turniej´
ow rz
,
edu n. Je´
sli σ ma cykl
25
d lugo´
sci parzystej (czyli je´
sli d
2k
> 0
dla pewnego k) |F ix σ| = 0. W przeciwnym przypadku |F ix σ| = 2
t(d)
, gdzie
t(d) =
1
2
n
X
i,j=1
(i, j)d
i
d
j
−
n
X
i=1
d
i
Uwaga. (i, j) to, jak pami
,
etamy, NWD(i, j). W dowodzie s
,
a wykorzystywane
lemat Burnside’a oraz twierdzenie Cauchyego. Warto wi
,
ec sobie te twierdzenia
przypomnie´
c.
Dow.
Najpierw wyka˙zemy, ˙ze gdy jeden z cykli jest parzysty, w´
owczas |F ix σ| = 0. Rze-
czywi´
scie, przypu´
s´
cmy, ˙ze istnieje cykl (a
1
, a
2
, ..., a
2i
). Bez straty og´
olno´
sci mo˙zemy
25
Oczywi´
scie mowa tu o cyklach permutacji σ w rozk ladzie na cykle (permutacje cykliczne)
roz l
,
aczne. Pami
,
etamy, ˙ze taki rozk lad istnieje i jest jednoznaczny.
MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
33
za lo˙zy´
c, ˙ze (a
1
, a
1+
i
2
) ∈ E(T ). Gdyby σ(T ) = T w´
owczas σ(a
1
, a
1+
i
2
) ∈ E(T ),
σ
2
(a
1
, a
1+
i
2
) ∈ E(T ), etc. W szczeg´
olno´
sci σ
i
2
(a
1
, a
1+
i
2
) ∈ E(T ). Tymczasem
σ
i
2
(a
1
, a
1+
i
2
) = (a
1+
i
2
, a
1
), a to jest sprzeczne z za lo˙zeniem, ˙ze T jest turniejem
(w turnieju dwa wierzcho lki s
,
a po l
,
aczone dok ladnie jednym lukiem, a nie dwoma,
przeciwnie skierowanymi lukami.
Od tego momentu b
,
edziemy zak ladali, ˙ze wszystkie cykle permutacji σ s
,
a niepa-
rzyste (inaczej: d
2
= d
4
= ... = 0).
Niech wi
,
ec b
,
edzie cykl (nieparzysty) (a
1
, ..., a
i
) permutacji σ. Na wierzcho lkach tego
cyklu mo˙zna zbudowa´
c 2
i−1
2
r´
o˙znych turniej´
ow T
i
(rz
,
edu i) takich, ˙ze σ(T
i
) = T
i
.
Bierze si
,
e to st
,
ad, ˙ze ka˙zd
,
a ci
,
eciw
,
e tego cyklu
26
a
1
, a
α
mo˙zna nada´
c jedn
,
a z dw´
och
orientacji (kt´
ore zostaj
,
a zachowane po wzi
,
eciu na nich warto´
sci permutacji σ i jej
kolejnych pot
,
eg).
Dla wszystkich cykli d lugo´
sci (nieparzystej!) i otrzymamy 2
d
i
i−1
2
turniej´
ow T
i
ta-
kich, ˙ze σ(T
i
) = T
i
. A dla wszystkich cykli permutacji lacznie 2
P
n
i=1
d
i
i−1
2
turniej´
ow
na kt´
orych permutacja σ jest sta la.
Teraz zajmijmy si
,
e mo˙zliw
,
a orientacj
,
a luk´
ow pomi
,
edzy cyklami tej samej d lugo´
sci
i (liczb
,
e tych cykli w turnieju oznaczyli´
smy przez d
i
. Mo˙zliwo´
sci wybnoru luk´
ow
pomi
,
edzy cyklami d lugo´
sci jest i, za´
s wszystkich par
d
i
2
. Mamy wi
,
ec 2(
dj
2
)
i
mo˙zliwo´
sci.
Rozpatrzmy teraz przypadek cykli o r´
o˙znych d lugo´
sciach i oraz j, powiedzmy
(a
1
, ..., a
i
) i (b
1
, ..., b
j
). Orbita dowolnego luku, powiedzmy, dla ustalenia uwagi,
(a
1
, b
1
) ma NWW(i, j) element´
ow. Poniewa˙z za´
s tych luk´
ow pomi
,
edzy {a
1
, ..., a
i
}
a {b
1
, ..., b
j
} jest i·j, to luk´
ow o kt´
orych orientacji mo˙zemy rozstrzyga´
c dowolnie jest
i·j
NWW
(i,j)
=NWD(i, j) = (i, j) (przypominam, ˙ze (i, j) to tylko inne oznaczenie
dla NWD). Mamy wi
,
ec 2
(i,j)
mo˙zliwo´
sci.
Ostatecznie turniej´
ow T spe lniaj
,
acych σ(T ) = T jest 2
t(d)
, gdzie
t(d) =
n
X
i=1
d
i
(i − 1)
2
+
n
X
i=1
d
i
2
i +
X
1≤i<j≤n
d
i
d
j
(i, j)
a po przeliczeniach ( latwych) otrzymamy, dla dowolnej permutacji σ typu 2
d
1
...n
d
n
,
(d = (d
1
, ..., d
n
) i d
2
= ... = 0):
t(d) =
1
2
X
i,j
d
i
d
j
(i, j) −
n
X
i=1
d
i
Twierdzenie 70 (Davis). Liczba nieizomorficznych turniej´
ow T (n) rz
,
edu n dana
jest wzorem
T (n) =
∗
X
d
2
t(d)
Q i
d
i
di!
(gdzie t(d) jest okre´
slone w twierdzeniu poprzednim, za´
s
P
∗
d
oznacza sum
,
e po
wszystkich d spe lniaj
,
acych d
1
+ 3d
3
+ 3d
+
... + nd
n
= n oraz d
2l
= 0 dla ka˙zdego l).
26
Tu dalej mamy do czynienia z cyklem permutacji (a
1
, ..., a
i
), co nie przeszkadza nam jednak
traktowa´
c {a
1
, ..., a
i
} jako wierzcho lk´
ow turniej´
ow i budowa´
c na nich cyklu z ci
,
eciwami!
34
A. PAWE L WOJDA
Dow´
od. W dowodzie wykorzystamy
• lemat Burnside’a
• twierdzenie Cauchy’ego o tym, ˙ze wszystkich permutacji typu d = 1
d
1
2
d
2
...n
d
n
jest
n!
1
d
1
d
1
!2
d
2
d
2
!...n
d
n
d
n
!
Rzeczywi´
scie, wykorzystuj
,
ac twierdzenie 69, lemat Burnside’a i twierdzenie Cau-
chy’ego (twierdzenie 13) otrzymujemy:
T (n) =
1
n!
X
σ∈S
n
|Fix σ| =
∗
X
d
n!
1
d
1
d
1
!...n
d
n
d
n
!
2
t(d)
=
∗
X
d
2
t(d)
Q
i
i
d
i
d
i
!
MATEMATYKA DYSKRETNA 2010
35
Literatura
[1] M. Aigner i G.M. Ziegler, Dowody z Ksi
,
egi, PWN, Warszawa 2002.
[2] W.J Gilbert, W.K. Nicholson, Algebra wsp´
o lczesna z zastosowaniami, WNT, Warszawa 2008.
[3] R.P. Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics - An Appiled Introduction, Addison-
Wesley 1994.
[4] N. Koblitz, Algebraiczne aspekty kryptografii, WNT, Warszawa 2000
[5] Zb. Palka i A. Ruci´
nski, Wyk lady z kombinatoryki, WNT 2004.
[6] K.A Ross i Ch.R.B. Wright, Matematyka dyskretna, PWN 2000.
[7] E.R. Scheinerman, Mathematics - Discrete Introduction, Brooks/Cole 2000.
[8] R.J. Wilson, Wprowadzenie do teorii graf´
ow, PWN 1998.